2018-2019年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 課時跟蹤訓練2 兩個計數(shù)原理的綜合應用 新人教A版選修2-3

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1、課時跟蹤訓練(二) 兩個計數(shù)原理的綜合應用 (時間45分鐘) 題型對點練(時間20分鐘) 題組一　選(抽)取與分配問題 1．某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方法有(　　) A．6種 B．7種 C．8種 D．9種 [解析]　可按女生人數(shù)分類：若選派一名女生，有2×3＝6種不同的選派方法；若選派2名女生，則有3種不同的選派方法．由分類加法計數(shù)原理，共有9種不同的選派方法． [答案]　D 2．把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有(　　) A．4種 B．5種 C．6種 D．7種

2、 [解析]　共有4種方法．列舉如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4. [答案]　A 3．有4位教師在同一年級的4個班中各教1個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有(　　) A．8種 B．9種 C．10種 D．11種 [解析]　設4位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D,4個班級分別為a，b，c，d，假設A監(jiān)考b，則余下3人監(jiān)考剩下的3個班，共有3種不同方法．同理A監(jiān)考c或d時，也分別有3種不同方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，監(jiān)考的方法共有3＋3＋3＝9(種)． [答案]　B 題組二　用計數(shù)原理解決組數(shù)問題 4．由數(shù)字1,2,3,4組成的

3、三位數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“134”)或嚴格遞減(如“421”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 [解析]　由題意分析知，嚴格遞增的三位數(shù)只要從4個數(shù)中任取3個，共有4種取法；同理嚴格遞減的三位數(shù)也有4個，所以符合條件的數(shù)的個數(shù)為4＋4＝8. [答案]　B 5．現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________． [解析]　因為正整數(shù)m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(種)，其中m，n都取到奇數(shù)的情況有4×5＝20(種)，因此所求概率為.

4、[答案]　 6．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字回答) [解析]　用數(shù)字2,3可以組成24＝16個四位數(shù)．其中，只由2可構成1個四位數(shù)，只由3可構成1個四位數(shù)，故數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的四位數(shù)的個數(shù)為16－1－1＝14. [答案]　14 題組三　用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題 7．如圖所示，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案最多有(　　) A．180種 B．240種 C．360種 D．420種 [解析]　區(qū)域2,3,4,5地位相同

5、(都與其他4個區(qū)域中的3個區(qū)域相鄰)，故應先種區(qū)域1，有5種種法，再種區(qū)域2，有4種種法，接著種區(qū)域3，有3種種法，種區(qū)域4時應注意：區(qū)域4與區(qū)域2同色時區(qū)域4有1種種法，此時區(qū)域5有3種種法；區(qū)域4與區(qū)域2不同色時區(qū)域4有2種種法，此時區(qū)域5有2種種法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種栽種方案．故選D. [答案]　D 8．湖北省(鄂)分別與湖南(湘)、安徽(皖)、陜西(陜)三省交界(如圖)，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有五種不同顏色可供選用，則不同的涂色方法有________種． [解析]　由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)問題，第

6、一步涂陜西，有5種結果，再涂湖北，有4種結果，第二步涂安徽，有4種結果，再涂湖南有4種，即5×4×4×4＝320(種)． [答案]　320 9．用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆．問：該板報有多少種書寫方案？ [解]　第一步，選英語角用的彩色粉筆，有6種不同的選法；第二步，選語文學苑用的彩色粉筆，不能與英語角用的顏色相同，有5種不同的選法；第三步，選理綜視界用的彩色粉筆，與英語角和語文學苑用的顏色都不能相同，有4種不同的選法；第四步，選數(shù)學天地用的彩色粉筆，只需與理綜視界的顏色不同即可，有5種不同的選法，共有6×5×4×5＝6

7、00種不同的書寫方案． 綜合提升練(時間25分鐘) 一、選擇題 1．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 [解析]　分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面．故可以確定8＋5＝13個不同的平面． [答案]　C 2．一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不重復(除交匯點O外)的不同游覽線路有(　　) A．6種 B．8種 C．12種

8、 D．48種 [解析]　每個景區(qū)都有2條線路，所以游覽第一個景點有6種選法，游覽第二個景點有4種選法，游覽第三個景點有2種選法，故共有6×4×2＝48種不同的游覽線路． [答案]　D 3．用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，比3542大的四位數(shù)的個數(shù)是(　　) A．360 B．240 C．120 D．60 [解析]　因為3542是能排出的四位數(shù)中千位為3的最大的數(shù)，所以比3542大的四位數(shù)的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120個比3542大的四位數(shù)． [答案]　C 二、填空題 4．5只不同的球，放入2個不同的箱子中，每箱不空，共有_____

9、___種不同的放法． [解析]　第1只球有2種放法，第2只球有2種放法，…，第5只球有2種放法，總共有25＝32種放法，但要每箱不空，故有2種情況不合要求，因此，符合要求的共有25－2＝30種不同的放法． [答案]　30 5．直線方程Ax＋By＝0，若從0,1,2,3,5,7這六個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為系數(shù)A、B的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是________． [解析]　若A＝0，則B從1、2、3、5、7中任取一個，均表示直線y＝0；同理，當B＝0時，表示直線x＝0；當A≠0且B≠0時，能表示5×4＝20條不同的直線．故方程表示直線的條數(shù)是1＋1＋20＝22. [答案]　22

10、 三、解答題 6．如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)． [解]　解法一：由題意，四棱錐S－ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當S，A，B染色確定時，不妨設其顏色分別為1,2,3.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法． 由分類加法計數(shù)原理，當S，A，B已染確定時，C，D有7種染法． 由分步乘法計數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種)． 解法二：第

11、一步，S點染色，有5種方法．第二步，A點染色，由于A與S在同一條棱上，所以有4種方法．第三步，B點染色，由于B與S，A分別在同一條棱上，所以有3種方法．第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類．當A與C同色時，D點有3種染色方法，由分步乘法計數(shù)原理，有5×4×3×1×3＝180(種)方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法，再由分步乘法計數(shù)原理，有5×4×3×2×2＝240(種)方法．由分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法共有180＋240＝420(種)． 解法三：第一類，5種顏色全用，有5

12、×4×3×2×1＝120(種)不同的染色方法；第二類，只有4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C或B與D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(種)不同的染色方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，有5×4×3＝60(種)不同的染色方法． 由分類加法計數(shù)原理得，不同的染色方法共有120＋240＋60＝420(種)． 7．用1,2,3,4四個數(shù)字組成可有重復數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)從小到大構成數(shù)列{an}． (1)這個數(shù)列共有多少項？ (2)若an＝341，求n的值． [解]　(1)由題意，知這個數(shù)列的項數(shù)就是由1,2,3,4四個數(shù)字組成的可有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)． 由于每個數(shù)位上的數(shù)都有4種取法， 由分步乘法計數(shù)原理，得滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為4×4×4＝64， 即數(shù)列{an}共有64項． (2)比341小的數(shù)分為兩類： 第一類，百位上的數(shù)是1或2，有2×4×4＝32個三位數(shù)； 第二類，百位上的數(shù)是3，十位上的數(shù)可以是1,2,3中的任一個，個位上的數(shù)可以是1,2,3,4中的任一個，有3×4＝12個三位數(shù)． 所以比341小的三位數(shù)的個數(shù)為32＋12＝44， 因此341是這個數(shù)列的第45項，即n＝45. 6