2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數概念與性質章末綜合檢測（三） 新人教A版必修第一冊

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1、章末綜合檢測(三) (時間：120分鐘，滿分：150分) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．函數f(x)＝的定義域為(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞) 解析：選D.根據題意有 解得x≥1且x≠2. 2．函數y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：選B.由題意知，函數y＝的定義域為x∈R，則x2＋1≥1，所以y≥1. 3．已知f＝2x＋3，則f(6)的值為(　　) A．15 B．7 C．3

2、1 D．17 解析：選C.令－1＝t，則x＝2t＋2. 將x＝2t＋2代入f＝2x＋3， 得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7. 所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31. 4．若函數f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a，2a]上的偶函數，則該函數的最大值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：選A.因為函數f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a，2a]上的偶函數，所以－1－a＋2a＝0，所以a＝1，所以函數的定義域為[－2，2]．因為函數圖象的對稱軸為x＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，所以x＝±2時函數取得最大值，最大值為5

3、. 5．已知函數f(x)＝則f的值為(　　) A. B．－ C. D．18 解析：選C.由題意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－ ＝. 6．已知冪函數f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，則實數a的取值范圍是(　　) A．(3，＋∞) B．(3，5) C．(－∞，3) D．(－1，3) 解析：選B.f(x)＝x＝(x＞0)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)為減函數．又f(a＋1)＜f(10－2a)， 所以所以 所以3＜a＜5.故a的取值范圍為(3，5)． 7．函數f(x)＝的圖象不可能是(　　) 解析：選D.函數表達式中含有參數a，要對

4、參數進行分類討論．若a＝0，則f(x)＝＝，選項C符合；若a＞0，則函數定義域為R，選項B符合；若a＜0，則x≠±，選項A符合，所以不可能是選項D. 8．(2019·長沙檢測)函數f(x)＝|x－1|與g(x)＝x(x－2)的單調遞增區(qū)間分別為(　　) A．[1，＋∞)，[1，＋∞) B．(－∞，1]，(1，＋∞) C．(1，＋∞)，(－∞，1] D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞) 解析：選A.f(x)＝|x－1|＝故f(x)在[1，＋∞)上單調遞增， g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 故g(x)在[1，＋∞)上單調遞增． 9．已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝4x－5，則

5、使得f(h(x))＝g(x)成立的h(x)＝(　　) A．2x＋3 B．2x－11 C．2x－4 D．4x－5 解析：選C.由f(x)＝2x＋3， 得f(h(x))＝2h(x)＋3， 則f(h(x))＝g(x)可化為2h(x)＋3＝4x－5，解得h(x)＝2x－4. 10．函數y＝f(x)與函數y＝g(x)的圖象如圖，則函數y＝f(x)·g(x)的圖象可能是(　　) 解析：選A.由圖象知y＝f(x)為偶函數，y＝g(x)為奇函數，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數且x≠0.由圖象知x∈時，f(x)>0，g(x)<0，x∈時，f(x)<0，g(x)<0，所以x∈時，y＝f(

6、x)·g(x)<0，x∈時，y＝f(x)·g(x)>0.故A正確． 11．某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數)可以表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：選B.當x除以10的余數為0，1，2，3，4，5，6時，由題設知y＝，且易驗證此時＝. 當x除以10的余數為7，8，9時，由題設知y＝＋1，且易驗證此時＋1＝. 綜上知，必有y＝.故選B. 12．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，給出

7、下列四個結論： ①f(0)＝0； ②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，則f(x)在(－∞，0]上有最大值1； ③若f(x)在[1，＋∞)上為增函數，則f(x)在(－∞，－1]上為減函數； ④若x＞0時，f(x)＝x2－2x，則x＜0時，f(x)＝－x2－2x. 其中正確結論的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.由奇函數在x＝0處有定義知，f(0)＝0，故①正確； 由圖象的對稱性可知②正確； 由于奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同，故③不正確； 對于④，當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x， 所以－

8、f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，所以f(x)＝－x2－2x，故④正確． 綜上可知，正確結論的序號為①②④，共3個． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上． 13．已知f(x)為奇函數，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，則f(2)＝________． 解析：根據已知條件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)為奇函數，所以f(－2)＝－f(2)，則3＝－f(2)＋9，解得f(2)＝6. 答案：6 14．設函數f(x)＝為奇函數，則實數a＝________． 解析：f(x)＝＝x＋＋a＋1， 因此有f(－x)＝－x＋＋a＋1， 因為f(

9、x)為奇函數， 所以f(－x)＋f(x)＝0， 即2a＋2＝0，所以a＝－1. 答案：－1 15．已知函數f(x)＝若f(a)＜－3，則a的取值范圍是________． 解析：當a≤－2時，f(a)＝a＜－3，此時不等式的解集是(－∞，－3)； 當－2＜a＜4時，f(a)＝a＋1＜－3，此時不等式無解； 當a≥4時，f(a)＝3a＜－3，此時不等式無解． 所以a的取值范圍是(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3) 16．具有性質f＝－f(x)的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數： ①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中滿足“倒負”變換的函數是________(填序號)

10、． 解析：對于①：f＝－x ＝－＝－f(x)， 所以①滿足； 對于②：f＝＋x≠－f(x)， 所以②不滿足； 對于③：當01， 則f＝－x＝－f(x)， 當x＝1時，顯然滿足， 當x>1時，0<<1， 則f＝＝－f(x)，所以③滿足． 答案：①③ 三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)已知函數f(x)＝2x－，且f＝3. (1)求實數a的值； (2)判斷函數f(x)在(1，＋∞)上的單調性，并用定義證明． 解：(1)因為f(x)＝2x－， 且f＝3， 所以f＝1－2a＝3，解得a

11、＝－1. (2)由(1)得f(x)＝2x＋，f(x)在(1，＋∞)上單調遞增． 證明如下： 設x1＞x2＞1， 則f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－＝(x1－x2). 因為x1＞x2＞1， 所以x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0， 所以f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)上單調遞增． 18.(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ (1)在圖中畫出函數f(x)的大致圖象； (2)寫出函數f(x)的最大值和單調遞減區(qū)間． 解：(1)函數f(x)的大致圖象如圖所示． (2)由函數f(x)的圖象得出，f(x)的最大值為2，函數f(x)

12、的單調遞減區(qū)間為[2，4]． 19．(本小題滿分12分)已知f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2－x－1. (1)求f(x)的解析式； (2)作出函數f(x)的圖象(不用列表)，并指出它的單調遞增區(qū)間． 解：(1)設x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1. 又因為函數f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1. 當x＝0時，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0， 所以f(x)＝ (2)作出函數圖象，如圖所示． 由函數圖象易得函數f(x)的單調遞增區(qū)間為 ，. 20

13、．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝(a≠1)． (1)若a＞0，求f(x)的定義域； (2)若f(x)在區(qū)間(0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍． 解：(1)當a＞0且a≠1時，由3－ax≥0得x≤，即函數f(x)的定義域是. (2)當a－1＞0，即a＞1時，要使f(x)在(0，1]上是減函數，則需3－a×1≥0，此時1＜a≤3. 當a－1＜0，即a＜1時，要使f(x)在(0，1]上是減函數，則需－a＞0，且3－a×1≥0，此時a＜0. 綜上所述，所求實數a的取值范圍是(－∞，0)∪(1，3]． 21．(本小題滿分12分)已知二次函數f(x)的最小值為1，且f(0)＝f

14、(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調，求實數a的取值范圍； (3)在區(qū)間[－1，1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1圖象的上方，試確定實數m的取值范圍． 解：(1)由題意設f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)， 將點(0，3)的坐標代入得a＝2， 所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)由(1)知f(x)的對稱軸為直線x＝1， 所以2a<10對于任意x∈[－1，1]恒成立

15、， 所以x2－3x＋1>m對于任意x∈[－1，1]恒成立， 令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]， 則g(x)min＝g(1)＝－1， 所以m<－1. 22．(本小題滿分12分)某化學試劑廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是萬元． (1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求x的取值范圍； (2)要使生產120千克該產品獲得的利潤最大，則該工廠應該選取何種生產速度？并求出最大利潤． 解：(1)由題意可知， 2≥30. 所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0， 所以x≤－或x≥3. 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. (2)易知獲得的利潤 y＝ ＝120，x∈[1，10]， 令t＝∈，則y＝120(－3t2＋t＋5)． 當t＝，即x＝6時，ymax＝610， 故該工廠應該選取6千克/小時的生產速度，此時利潤最大，且最大利潤為610萬元． - 9 -