《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 平面向量
專題復(fù)習(xí)檢測
A卷
1.已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,則λ=( )
A.3 B.-3
C. D.-
【答案】B
2.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),則a⊥b的充要條件是( )
A.x=- B.x=-1
C.x=5 D.x=0
【答案】D
3.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A. B.2
C.5 D.10
【答案】C
4.(2019年山東模擬)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),則向量a在b方向上的投影為( )
A.1 B.
2、
C. D.
【答案】D
【解析】由a⊥(a-b),可得a·(a-b)=a2-a·b=0,所以a·b=a2=1.所以向量a在b方向上的投影為|a|cos 〈a,b〉===.故選D.
5.(2019年湖南懷化模擬)在△ABC中,D為BC上一點,E是AD的中點,若=λ,=+μ,則λ+μ=( )
A. B.-
C. D.-
【答案】B
【解析】如圖所示,由=λ,可得-=λ(-),則=+.又E是AD的中點,所以=+=-+=+.又=+μ,AB,AC不共線,所以=,=μ,解得λ=,μ=-,則λ+μ=-.故選B.
6.(2017年新課標Ⅰ)已知向量a,b的夾角為60°,|a
3、|=2,|b|=1,則|a+2b|=________.
【答案】2
【解析】|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×cos 60°+4=12,∴|a+2b|==2.
7.(2019年新課標Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-b,則cos 〈a,c〉=________.
【答案】
【解析】a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,c2=(2a-b)2=4a2-4a·b+5b2=9,則
|c|=3.所以cos 〈a,c〉==.
8.(2018年內(nèi)蒙古呼和浩特一模)在△ABC中,AB=,BC=2AC=2,滿足|-t|≤||的實數(shù)t的取值范圍是
4、________.
【答案】
【解析】由題意,得AC=1,cos〈,〉===.由|-t|≤||,得2-2t||||cos〈,〉+t22≤32,即3-2t×2×+4t2≤3,解得0≤t≤.
9.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°.
(1)求|a+b|的值;
(2)當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時,求k的值.
【解析】(1)由已知,得a·b=4×8×=-16,
∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,
∴|a+b|=4.
(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0.
∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0
5、,
即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7.
10.已知向量a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x),函數(shù)f(x)=a·b.
(1)把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a≠0,a與b共線時,求f(x)的值.
【解析】(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin xcos x
=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,
∴g(x)=sin+1
=sin+1.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k
6、∈Z.
(2)∵a≠0,a與b共線,∴cos x≠0.
∴sin xcos x-4cos2x=0.∴sin x=4cos x,tan x=4.
則f(x)=2cos2x+2sin xcos x===.
B卷
11.(2017年新課標Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是( )
A.-2 B.-
C.- D.-1
【答案】B
【解析】如圖,以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線DA所在直線為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,則A(0,),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P(x,y),則=(-x,-y),=(-1-x
7、,-y),=(1-x,-y),∴+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+22-≥-,當(dāng)x=0,y=,即P時,·(+)有最小值-.
12.(2018年四川成都模擬)已知A,B是圓O:x2+y2=4上的兩個動點,||=2,=-.若M是線段AB的中點,則·的值為( )
A.3 B.2
C.-2 D.-3
【答案】A
【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1,y1),=(x2,y2),=,=(x2-x1,y2-y1).∴=-=.由||=2,得(x2-x1)2+(y2-y1)2=4.① 又A,B在圓O上,∴x+y=4,x+y=4.②
8、聯(lián)立①②得x1x2+y1y2=2,∴·=·,化簡得(x+y)-(x+y)+(x1x2+y1y2)=×4-×4+×2=3.
13.(2019年浙江)已知正方形ABCD的邊長為1,當(dāng)每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________,最大值是________.
【答案】0 2
【解析】由正方形ABCD的邊長為1,可得+=,=-,·=0,
∴|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=|λ1+λ2-λ3-λ4+λ5+λ5+λ6-λ6|=|(λ1-λ3+λ5-λ6)·+(λ2-λ4+λ5+λ6)|.要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+
9、λ6|最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此時只需取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此時所求最小值為0.又|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)·|2=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2=8+4+2(λ+λ)=12+4=20,當(dāng)且僅當(dāng)λ1-λ3,λ5-λ6均非負或均非正,并且λ
10、2-λ4,λ5+λ6均非負或均非正,可取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,則所求最大值為=2.
14.(2019年四川眉山模擬)已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若m⊥p,邊長c=2,角C=,求△ABC的面積.
【解析】(1)證明:因為m=(a,b),n=(sin B,sin A),m∥n,
所以asin A=bsin B.
結(jié)合正弦定理,可得a2=b2,即a=b,
所以△ABC為等腰三角形.
(2)因為m=(a,b),p=(b-2,a-2),m⊥p,
所以m·p=a(b-2)+b(a-2)=0,則a+b=ab.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,其中c=2,C=,
所以a2+b2-ab=4,則(a+b)2-3ab-4=0.
所以(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(ab=-1舍去).
所以S△ABC=absin C=×4×sin=.
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