2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題6 解析幾何 第2講 直線與圓錐曲線的位置關系練習 理

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1、第2講 直線與圓錐曲線的位置關系 專題復習檢測 A卷 1．(2019年東北三校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為(　　) A．＋＝1　 B．＋＝1 C．＋＝1　 D．＋y2＝1 【答案】B 【解析】由題意得解得∴橢圓C的方程為＋＝1. 2．(2019年福建福州模擬)拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B兩點，若P(1,1)為線段AB的中點，則拋物線C的方程為(　　) A．y＝2x2　 B．y2＝2x C．x2＝2y　 D．y2＝－2x 【答案】B

2、【解析】由題意可知A，B兩點中必有一點是原點，不妨設A(0,0)．由P(1,1)是線段AB的中點，可得B(2,2)．設拋物線方程為y2＝ax，將B(2,2)代入，可得22＝2a，解得a＝2，即拋物線方程為y2＝2x. 3．若一個圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標準方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝1　 B．x2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋y2＝2　　　　 D．x2＋(y－1)2＝2 【答案】D 【解析】拋物線x2＝4y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)．∵該圓與直線y＝x＋

3、3相切，∴r＝＝.∴該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝2. 4．(2019年上海嘉定區(qū)期末)過點P(1,1)作直線與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線(　　) A．存在一條，方程為2x－y－1＝0 B．存在兩條，方程為2x±(y＋1)＝0 C．存在無數(shù)條 D．不存在 【答案】D 【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x－y＝1，x－y＝1.兩式相減，得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2.故所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x

4、－1.聯(lián)立化簡得2x2－4x＋3＝0，無解，故這樣的直線不存在．故選D． 5．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點．若向量＋與向量a＝(3，－1)共線，則該橢圓的離心率為(　　) A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D． 【答案】B 【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(－c,0)．直線l的方程為y＝x＋c，聯(lián)立化簡得(a2＋b2)x2＋2ca2x＋a2c2－a2b2＝0，∴x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝.∴向量＋＝.∵向量＋與向量a＝(3，－1)共線，∴－－3×＝0，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.故選B． 6．(2019

5、年江西南昌模擬)已知P(1,1)為橢圓＋＝1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦交橢圓于A，B兩點，且此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________． 【答案】x＋2y－3＝0 【解析】易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0.∴x1＋x2＝.又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 7．雙曲線C：－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2，且交雙曲線C的右支于A，B兩點(點A在點B上方

6、)，若＋2＋3＝0，則直線l的斜率k＝________. 【答案】 【解析】由題意知雙曲線的焦點為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB：y＝k(x－2)，代入雙曲線方程，整理得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，∴x1＋x2＝－，① x1x2＝.② ∵＋2＋3＝0，∴x1＋2x2－6＝0.③ 由①②③可得k＝或k＝－(舍去)． 8．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________. 【答案】8 【解析】由題意，直線l的方程為x＝－2，焦點

7、F為(2,0)，設A點的坐標為(－2，c)，則＝－，解得c＝4.又PA⊥l，∴P點的縱坐標為4.由(4)2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋＝8. 9．已知M(3，y0)(y0>0)為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，且|MF|＝5. (1)求拋物線C的方程； (2)MF的延長線交拋物線于另一點N，求N的坐標． 【解析】(1)∵|MF|＝3＋＝5，∴p＝4. ∴拋物線方程為y2＝8x. (2)由題意知MF不垂直于x軸，故設MF所在直線方程為y＝k(x－2)， 聯(lián)立整理得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0. ∴xM·xN＝＝4.∵xM＝3，∴xN＝.

8、 ∵N為MF的延長線與拋物線的交點，可知yN<0. ∴yN＝－＝－，∴N. 10．(2019年貴州貴陽適應性考試)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB斜率為0時，AB＝4. (1)求橢圓的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直線AB的方程． 【解析】(1)由題意知e＝＝，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝. ∴橢圓方程為＋＝1. (2)當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件． 當兩弦所在直線的斜率

9、均存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－(x－1)． 將直線AB方程代入橢圓方程中， 整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. ∴x1＋x2＝，x1·x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝. 同理，|CD|＝＝. ∴|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1. ∴直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. B卷 11．(2017年新課標Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　)

10、 A．　 B．2　　 C．2　 D．3 【答案】C 【解析】由題知F(1,0)，則MF所在直線的方程為y＝(x－1)，與拋物線聯(lián)立，化簡，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，∴M(3,2)．由MN⊥l可得N(－1,2)，又F(1,0)，則NF所在直線的方程為x＋y－＝0，∴M到直線NF的距離d＝＝2.故選C． 12．(2019年山西太原五中模擬)中心為坐標原點，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓方程為(　　) A．＋＝1　 B．＋＝1 C．＋＝1　 D．＋＝1 【答案】C 【解析】由已知c＝5，設橢圓的方程為＋＝1，聯(lián)立消

11、去y，得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0.設直線y＝3x－2與橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝.由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以該橢圓方程為＋＝1. 13．(2019年新課標Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 【答案】2 【解析】如圖，由＝，可得點A為BF1的中點．又點O為F1F2的中點，所以OA∥BF2.由·＝0，可得BF1⊥BF2

12、，所以OA⊥BF1.因為漸近線OA，OB的方程分別為y＝－x，y＝x，所以直線BF1的斜率為. 方法一：直線BF1的方程為y＝(x＋c)． 聯(lián)立解得 即A.聯(lián)立解得 即B.又由點A為BF1的中點，可得＝2·，化簡得b2＝3a2，所 以c2＝a2＋b2＝4a2，e＝＝＝2. 方法二：由直角三角形的性質(zhì)可得∠BOF2＝2∠BF1F2，所以tan ∠BOF2＝tan 2∠BF1F2，即＝，化簡得b2＝3a2，以下同方法一． 14．(2019年北京)已知拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)． (1)求拋物線C的方程及其準線方程； (2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為

13、0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點． 【解析】(1)拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)，可得4＝2p，即p＝2， 所以拋物線C的方程為x2＝－4y，準線方程為y＝1. (2)證明：拋物線C：x2＝－4y的焦點為F(0，－1)． 設直線l方程為y＝kx－1(k≠0)． 由可得x2＋4kx－4＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4. 直線OM的方程為y＝x. 令y＝－1，得x＝－，即A. 同理可得B. 設y軸上的點D(0，n)，則＝，＝， 則·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，則n＝1或－3. 綜上所述，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1)和(0，－3)． - 7 -