2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)60 參數(shù)方程 文（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)(六十)　 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．已知P為半圓C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為. (1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)； (2)求直線AM的參數(shù)方程． [解]　(1)由已知，點(diǎn)M的極角為， 且點(diǎn)M的極徑等于， 故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為. (2)由(1)知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)． 故直線AM的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． 2．(2019·南昌模擬)已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＋＝2，現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸

2、建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C1的普通方程； (2)若曲線C2為曲線C1關(guān)于直線l的對稱曲線，點(diǎn)A，B分別為曲線C1、曲線C2上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，求|AP|＋|BP|的最小值． [解]　(1)∵ρsin＝2，∴ρcos θ＋ρsin θ＝2， 即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. ∵，∴曲線C1的普通方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝4. (2)∵點(diǎn)P在直線x＋y＝4上，根據(jù)對稱性，|AP|的最小值與|BP|的最小值相等， 又曲線C1是以(－1，－2)為圓心，半徑r＝

3、2的圓， ∴|AP|min＝|PC1|－r＝－2＝3， 則|AP|＋|BP|的最小值為2×3＝6. 3．已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． [解]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－

4、1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 4．已知直線的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)，m為常數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)． (1)若|AB|＝，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若m＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，求＋的值． [解]　(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＝2ρsin θ， 轉(zhuǎn)化為普通方程可得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1. 把代入x2＋(y－1)2＝1并整理可得 t2－(m＋)t＋m2＝0，(*) 由條件可得Δ＝(m＋)2－4

5、m2＞0，解得－＜m＜. 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝m＋，t1t2＝m2≥0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 解得m＝或. (2)當(dāng)m＝1時，(*)式變?yōu)閠2－(1＋)t＋1＝0， t1＋t2＝1＋，t1t2＝1， 由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)知P在直線上，可得 ＋＝＋＝＝＝1＋. B組　能力提升 1．(2019·湖南長郡中學(xué)聯(lián)考)已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值．

6、 [解]　(1)由C1消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝1. 同理曲線C2的普通方程為＋＝1. C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當(dāng)t＝時，P(－4,4)，又Q(8cos θ，3sin θ)． 故M， 又C3的普通方程為x－2y－7＝0， 則M到直線C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|3sin θ－4cos θ＋13| ＝|5sin(θ－φ)＋13|. 所以d的最小值為. 2．(2019·安徽蕪湖期末)平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為

7、(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知與直線l平行的直線l′過點(diǎn)M(2,0)，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試求|AB|. [解]　(1)由l的參數(shù)方程得其普通方程為x－y－＋1＝0.將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直線方程得ρcos θ－ρsin θ－＋1＝0.由ρ＝可得ρ2(1－cos2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2x. (2)∵直線l的傾斜角為，∴直線l′的傾斜角也為.又直線l′過點(diǎn)M(2,0)，∴直線l′的參數(shù)方程為(t′為參數(shù))，將其代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得3t′2－4t′－16＝0，設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t′1，t′2.由根與系數(shù)的關(guān)系知t′1t′2＝－，t′1＋t′2＝， ∴|AB|＝|t′1－t′2|＝＝＝. - 5 -