2019高考數(shù)學大二輪復習 專題8 解析幾何 第2講 綜合大題部分真題押題精練 文

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1、第2講　綜合大題部分 1. (2017·高考全國卷Ⅰ)設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解析：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝.設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4

2、m＝0. 當Δ＝16(m＋1)>0， 即m>－1時，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設知|AB|＝2|MN|， 即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. 2．(2018·高考全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝2x，點A(2,0)，B(－2,0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點． (1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程； (2)證明：∠ABM＝∠ABN. 解析：(1)當l與x軸垂直時，l的方程為x＝2，可得點M的坐標為(2,2)或(2，－2)． 所以直線BM的方程為y＝x＋1或y＝－x－1. (2)證明：當l與x軸垂直時

3、，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN. 當l與x軸不垂直時，設l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＞0，x2＞0. 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直線BM，BN的斜率之和為kBM＋kBN＝＋＝.① 將x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表達式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM＝∠ABN. 綜上，∠ABM＝∠ABN. 3．(2017·高考全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2

4、＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝ . (1)求點P的軌跡方程； (2)設點Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 解析：(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝ 得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上， 所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋

5、tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2， 故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ， 所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 1. 已知動圓M恒過點(0,1)，且與直線y＝－1相切． (1)求圓心M的軌跡方程； (2)動直線l過點P(0，－2)，且與點M的軌跡交于A，B兩點，點C與點B關于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點． 解析：(1)由題意得點M與點(0,1)的距離始終等于點M與直線y＝－1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點，直線y＝－1為準線的拋物線，則＝1，p＝2. ∴圓心M的軌跡方程為x2＝4

6、y. (2)證明：由題意知直線l的斜率存在，設直線l：y＝kx－2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－x2，y2)， 由得x2－4kx＋8＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8. kAC＝＝＝，直線AC的方程為y－y1＝(x－x1)． 即y＝y(tǒng)1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋， ∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2， 則直線AC恒過點(0,2)． 2．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)，過點(0,1)且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)設直線l：y＝x＋m與橢圓E交于A，C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，問B，N兩點間的距離是

7、否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由． 解析：(1)由題意可知，橢圓的焦點在x軸上，橢圓過點(0,1)，則b＝1. 由橢圓的離心率e＝＝ ＝，解得a＝2， 所以橢圓E的標準方程為＋y2＝1. (2)設A(x1，y1)，C(x2，y2)， 線段AC的中點為M(x0，y0)． 由 整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0. 由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0， 解得－

8、－2m,0)， 所以|MN|＝ ＝ ， 所以|BN|2＝|BM|2＋|MN|2＝|AC|2＋|MN|2＝.故B，N兩點間的距離為定值. 3. 已知矩形EFCD，|EF|＝2，|FC|＝，以EF的中點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy. (1)求以E，F(xiàn)為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標準方程； (2)在(1)的條件下，過點F作直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，設＝λ，點T的坐標為(2,0)，若λ∈[－2，－1]，求|＋|的取值范圍． 解析：(1)由題意得E(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，C(1，)， 設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)， 則2a＝|CE|＋|CF|＝

9、2>2， 所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1， 故橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)易知直線l的斜率不為0，故可設直線l的方程為x＝ky＋1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得，(k2＋2)y2＋2ky－1＝0. 由根與系數(shù)的關系，得y1＋y2＝－， ① y1y2＝－， ② 因為＝λ，所以＝λ且λ<0， 將①的平方除以②，得＋＋2＝－， 所以λ＋＋2＝－， 由λ∈[－2，－1]，得－≤λ＋≤－2， 所以－≤λ＋＋2≤0， 即－≤－≤0，解得k2≤， 即0≤k2≤. 因為＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)， 又y1＋y2＝－，x1＋x2－4＝k(y1＋y2)－2＝－. 故|＋|2＝(x1＋x2－4)2＋(y1＋y2)2 ＝＋ ＝ ＝16－＋. 令t＝，因為0≤k2≤， 所以≤≤，即≤t≤， 則|＋|2＝16－28t＋8t2＝8(t－)2－， 因為≤t≤，所以|＋|2∈[4，]， 所以|＋|∈[2，]． 即|＋|的取值范圍為[2，]． 6