2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)46 拋物線（含解析）理

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(四十六) (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為( ) A. B．－ C．4 D．－4 B　[由y＝ax2，變形得x2＝y(tǒng)＝2×y，∴p＝.又拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.] 2．若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是( ) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x D　[依題意可知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x＝－4的距離，因此點(diǎn)M的軌

2、跡是拋物線，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，p＝8，∴點(diǎn)M的軌跡的方程為y2＝16x，故選D.] 3．已知AB是拋物線y2＝8x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝16，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是( ) A．3 B．4 C．6 D．8 6　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是＝6.] 4．以x軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)P(1，m)到焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線的方程是( ) A．y＝4x2 B．y＝12x2 C．y2＝6x D．y2＝12x

3、 D　[設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方程為x＝－，由題知1＋＝4，∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝12x，故選D.] 5．(2019·湖北荊州模擬)從拋物線y2＝4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝9，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則直線PF的斜率為( ) A. B. C. D. C　[設(shè)P(x0，y0)，由拋物線y2＝4x，可知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4)，所以kPF＝＝.] 二、填空題 6．(2019·泰安期末)若拋物線x2＝4y上的點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離

4、為10，則點(diǎn)A到x軸的距離是________． 9　[根據(jù)題意，拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為10，故點(diǎn)A到x軸的距離是9.] 7．(2019·營口期末)直線y＝k(x－1)與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，則k＝________. ±　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝，所以x1＋x2＝.聯(lián)立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以x1＋x2＝＝，所以k＝±.] 8．(2018·北京高考)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段

5、長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________． (1,0)[由題知直線l的方程為x＝1，則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1，±2)(a>0)．又直線被拋物線截得的線段長為4，所以4＝4，即a＝1.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．] 三、解答題 9．(2019·襄陽模擬)已知點(diǎn)F，M(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與到直線y＝－的距離相等． (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)是否存在定直線y＝a，使得以PM為直徑的圓與直線y＝a的相交弦長為定值？若存在，求出定直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由． [解]　(1)設(shè)P(x，y)，由題意得＝，化簡得y＝x2. ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝y(tǒng). (2)假

6、設(shè)存在定直線y＝a，使得以PM為直徑的圓與直線y＝a的相交弦長為定值， 設(shè)P(t，t2)，則以PM為直徑的圓方程為2＋2＝， ∴以PM為直徑的圓與直線y＝a的相交弦長為 l＝2 ＝2 若a為常數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)y，l為定值的條件是a－＝0，即a＝時(shí)，l＝. ∴存在定直線y＝，以PM為直徑的圓與直線y＝的相交弦長為定值． 10．如圖，已知點(diǎn)F為拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|＝3. (1)求拋物線E的方程； (2)已知點(diǎn)G(－1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：GF為∠AGB的平分線． [解]　(1)由拋物線定義可得|A

7、F|＝2＋＝3，解得p＝2. ∴拋物線E的方程為y2＝4x. (2)證明：∵點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上， ∴m2＝4×2，解得m＝±2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)，由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)， ∴直線AF的方程為y＝2(x－1)， 由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B. 又G(－1,0)， ∴kGA＝，kGB＝－， ∴kGA＋kGB＝0， ∴∠AGF＝∠BGF. ∴GF為∠AGB的平分線． B組　能力提升 1．(2019·雞西模擬)已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l.設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m＋|

8、PC|的最小值為( ) A．5 B. C.－2 D．4 B　[由題意得，圓C的圓心坐標(biāo)為(－3，－4)，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)．根據(jù)拋物線的定義，得m＋|PC|＝|PF|＋|PC|≥|FC|＝.] 2．(2019·長春模擬)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于( ) A. B. C. D. A　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝＝，所以x1＋x2＝.又x1x2＝，可得x2＝p，x1＝，則＝＝

9、.故選A.] 3．(2019·山東棗莊期末)已知拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F與雙曲線C2：－＝1(b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，若點(diǎn)F到雙曲線C2的一條漸近線的距離為1，則C1的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為________． 4　[根據(jù)題意，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，它到一條漸近線y＝x的距離為＝b＝1，所以焦點(diǎn)F(2,0)，所以拋物線方程為y2＝8x，其準(zhǔn)線方程為x＝－2，故C1的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4.] 4．(2019·江西吉安模擬)已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)與圓C2：x2＋y2＝5的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4. (1)求p的值； (2)設(shè)過拋物線C1的焦點(diǎn)F且斜

10、率為k的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與圓C2交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)k∈[0,1]時(shí)，求|AB|·|CD|的取值范圍． [解]　(1)由題意知，交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,1)，(2,1)，代入拋物線C1：x2＝2py，解得p＝2. (2)由(1)知，拋物線C1方程為x2＝4y，故拋物線C1的焦點(diǎn)F(0,1)．設(shè)直線方程為y＝kx＋1，與拋物線C1：x2＝4y聯(lián)立化簡得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴|AB|＝·＝·＝4(1＋k2)．∵圓心C2到直線y＝kx＋1的距離為d＝，∴|CD|＝2＝2＝2.∴|AB|·|CD|＝4(1＋k2)×2＝8＝8.又k∈[0,1]，∴|AB|·|CD|的取值范圍為[16,24]． - 5 -