2020版高考數(shù)學一輪復習 課時規(guī)范練13 函數(shù)模型及其應用 理 北師大版

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1、課時規(guī)范練13　函數(shù)模型及其應用 基礎(chǔ)鞏固組 1.如圖,下面的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對應的圖像表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系,其中不正確的有(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.在某個物理實驗中,測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù),如下表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 則對x,y最適合的擬合函數(shù)是(　　) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 3.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元

2、)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0

3、一套設備,該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元,此外每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低,該企業(yè)　　　　　年后需要更新設備.? 6.如圖,動物園要建造一面靠墻的兩間相同的矩形熊貓居室,如果可供建造圍墻的材料總長是30 m. (1)用寬x(單位:m)表示所建造的兩間熊貓居室的面積y(單位:m2); (2)怎么設計才能使所建造的熊貓居室面積最大?并求出每間熊貓居室的最大面積? 7.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用

4、,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:μg)與時間t(單位:h)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線. (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t); (2)據(jù)進一步測定:當每毫升血液中含藥量不少于0.25 μg時,治療有效.求服藥一次后治療有效的時間. 綜合提升組 8.某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3 000元時,這70套公寓能全租出去;當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子租不出去.設租出的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設租不出去的房子不需要

5、花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應定為 (　　) A.3 000元 B.3 300元 C.3 500元 D.4 000元 9.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是(　　) A.40萬元 B.60萬元 C.120萬元 D.140萬元 10.某商人購貨,進價已按原價a扣去25%.他希望對貨物訂一新價,以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤,則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按

6、新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為　　　　　.? 11.某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖①;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖②(注:利潤和投資單位:萬元). 圖① 圖② (1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式; (2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部資金投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中.①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?②如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元? 創(chuàng)新應用組 12.(2018江蘇蘇北四

7、市模擬,17)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設計,可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓O的半徑為10 cm,設∠BAO=θ,0<θ<,圓錐的側(cè)面積為S cm2. (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式; (2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度. 參考答案 課時規(guī)范練13　函數(shù)模型及其應用 1.A　水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反

8、映出來,圖①應該是勻速的,故下面的圖像不正確,②中的變化率是越來越慢的,正確;③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有①是錯誤的.故選A. 2.D　根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計算,可以排除B、C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.故選D. 3.C　設利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0

9、=t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=t2-6t+25= (t-6)2+7. 當t=6時,d取得最小值7. 5.10　由題意可知x年的維護費用為2+4+…+2x=x(x+1), 所以x年的平均費用y==x++1.5,由基本不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,當且僅當x=,即x=10時取等號,所以該企業(yè)10年后需要更新設備. 6.解 (1)設熊貓居室的寬為x(單位:m),由于可供建造圍墻的材料總長是30 m,兩間熊貓居室的長為30-3x(單位:m),所以兩間熊貓居室的面積y=x(30-3x), 又得0

10、(2)由(1)知,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,二次函數(shù)圖像開口向下,對稱軸x=5,且x∈(0,10),當x=5時,所建造的熊貓居室面積最大,其中每間熊貓居室的最大面積為 m2. 7.解 (1)根據(jù)所給的曲線, 可設y= 當t=1時,由y=4,得k=4, 由=4,得a=3. 則y= (2)由y≥0.25,得或 解得≤t≤5. 因此服藥一次后治療有效的時間為5-=(h). 8.B　由題意,設利潤為y元,租金定為(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N), 則y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2 900+50x)(70-x)

11、=50(58+x)(70-x) ≤50=204 800, 當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立, 故每月租金定為3 000+300=3 300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B. 9.C　甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C. 10.y=x(x∈N+)　設新價為b,依題意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化

12、簡得b=a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N+). 11.解 (1)設A,B兩種產(chǎn)品都投資x萬元(x≥0),所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元,由題意可設f(x)=k1x,g(x)=k2, 根據(jù)題圖可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0). (2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故總利潤y=8.25(萬元). ②設B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元, 則y=(18-x)+2,0≤x≤18. 令=t,t∈[0,3 ], 則y=(-t2+8t+18) =-(t-4)2+. 故當t=

13、4時,ymax==8.5, 此時x=16,18-x=2. 所以當A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時,可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元. 12.解 (1)設AO交BC于點D,過O作OE⊥AB,垂足為E,如下圖. 在△AOE中,AE=10cos θ,AB=2AE=20cos θ, 在△ABD中,BD=AB·sin θ=20cos θ·sin θ, 所以S=π·20sin θcos θ·20cos θ=400πsin θcos2θ,0<θ<. (2)要使側(cè)面積最大,由(1)得, S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ), 設f(x)=x-x3(00,當x∈時,f'(x)<0, 所以f(x)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減, 所以f(x)在x=時取得極大值,也是最大值, 所以當sin θ=時,側(cè)面積S取得最大值, 此時等腰三角形的腰長AB=20cos θ=20=20=. 即側(cè)面積S取得最大值時,等腰三角形的腰AB的長度為 cm. 8