2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 坐標系與參數(shù)方程 理 選修4-4

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1、專題限時集訓(十五)　選修4－4　坐標系與參數(shù)方程 (建議用時：20分鐘) 1．(2019·長春高三質(zhì)量監(jiān)測一)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α＜π)，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ2＋1＝2ρcos θ＋4ρsin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)若直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求α的值． [解](1)圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x－4y＋1＝0. (2)將直線l的參數(shù)方程代入到圓C的直角坐標方程中，有t2－4tsin α＝0，設(shè)A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝4sin α，t1t2

2、＝0.由|AB|＝|t1－t2|＝＝|t1＋t2|＝4sin α＝2，得sin α＝，所以α＝或α＝. 2．在平面直角坐標系中，將曲線C1向左平移2個單位長度，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求曲線C2的參數(shù)方程； (2)已知點M在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周長的最大值，并求周長最大時點M的坐標． [解](1)由ρ＝4cos θ得曲線C1的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4，經(jīng)過變換后的曲線對應的方程

3、為＋y2＝1，即曲線C2的普通方程， ∴曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)設(shè)四邊形MNPQ的周長為l，點M(2cos α，sin α)， 則l＝8cos α＋4sin α＝4＝4sin(α＋φ)，其中cos φ＝＝，sin φ＝＝. ∵0＜α＜，∴φ＜α＋φ＜＋φ，∴sin＜sin(α＋φ)≤1， ∴當α＋φ＝＋2kπ，k∈Z時，l取得最大值，此時α＝－φ＋2kπ，k∈Z，lmax＝4， ∴2cos α＝2sin φ＝，sin α＝cos φ＝，M. 3．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin

4、 θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝8，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值及此時B點的極坐標． [解](1)設(shè)P的極坐標為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝8，得＝8，所以C2的極坐標方程為ρ＝2(sin θ＋cos θ)(ρ＞0)． 所以C2的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB，α)(ρB＞0)，由題設(shè)及(1)知|OA|＝4，ρB＝2(

5、sin α＋cos α)， 于是△OAB的面積S＝·|OA|·ρB·sin∠AOB ＝·4·2(sin α＋cos α)· ＝4 ＝2|cos 2α| ≤2， 當α＝0時，S取得最大值2，此時ρB＝2(sin 0＋cos 0)＝2. 所以△OAB面積的最大值為2，此時B點的極坐標為(2,0)． 押題依據(jù) 內(nèi)容 直線與圓的位置關(guān)系、直線的參數(shù)方程的幾何意義、最值問題 直線與圓的位置關(guān)系是高考的熱點之一，而參數(shù)方程的幾何意義是考查的重點，應用三角函數(shù)的知識求最值是高考的熱點，符合高考模式. 【押題】　在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．在以O(shè)為極點，x

6、軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ＝4cos θ. (1)當m＝－2，α＝時，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系； (2)當m＝1時，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)P(1,0)，當||PA|－|PB||取得最大值時，求直線l的傾斜角． [解](1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，將代入，得曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓． 由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為x－y＋2＝0. 所以圓心(2,0)到直線l的距離d＝＝2，又圓C的半徑為2， 故直線l與曲線C相切． (2)由題知，直線l為經(jīng)過點P(1,0)且傾斜角為α的直線，把代入(x－2)2＋y2＝4，整理得t2－2tcos α－3＝0，Δ＝(－2cos α)2＋12＞0， 設(shè)點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2cos α，t1·t2＝－3＜0，所以t1，t2異號， 則||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cos α|≤2， 當|cos α|＝1，即α＝0時，||PA|－|PB||取得最大值2. 所以當||PA|－|PB||取得最大值時，直線l的傾斜角α＝0. - 3 -