2020高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課時作業(yè)46 直線與圓、圓與圓的位置關系 文

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1、課時作業(yè)46 直線與圓、圓與圓的位置關系 [基礎達標] 一、選擇題 1.[2019·菏澤模擬]已知圓(x-1)2+y2=1被直線x-y=0分成兩段圓弧,則較短弧長與較長弧長之比為(  ) A.1:2  B.1:3 C.1:4 D.1:5 解析:(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1.圓心到直線的距離d==,所以較短弧所對的圓心角為,較長弧所對的圓心角為,故兩弧長之比為1:2.選A. 答案:A 2.直線kx+y-2=0(k∈R)與圓x2+y2+2x-2y+1=0的位置關系是(  ) A.相交 B.相切 C.相離 D.與k值有關 解析:圓心為

2、(-1,1),所以圓心到直線的距離為=,所以直線與圓的位置關系和k值有關,故選D. 答案:D 3.圓x2+y2+4x=0與圓x2+y2-8y=0的公共弦長為(  ) A. B. C. D. 解析:解法一 聯(lián)立得得x+2y=0,將x+2y=0代入x2+y2+4x=0,得5y2-8y=0,解得y1=0,y2=,故兩圓的交點坐標是(0,0),,則所求弦長為 =,故選C. 解法二 聯(lián)立得得x+2y=0,將x2+y2+4x=0化為標準方程得(x+2)2+y2=4,圓心為(-2,0),半徑為2,圓心(-2,0)到直線x+2y=0的距離d==,則所求弦長為2=,選C. 答案:C 4.若圓

3、(x+1)2+y2=m與圓x2+y2-4x+8y-16=0內(nèi)切,則實數(shù)m的值為(  ) A.1 B.11 C.121 D.1或121 解析:圓(x+1)2+y2=m的圓心為(-1,0),半徑為;圓x2+y2-4x+8y-16=0,即(x-2)2+(y+4)2=36,故圓心為(2,-4),半徑為6.由兩圓內(nèi)切得=|-6|,解得m=1或121.故選D. 答案:D 5.[2018·全國卷Ⅲ]直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,

4、3] 解析:設圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點P到直線x+y+2=0的距離為d,則圓心C(2,0),r=,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知條件可得AB=2,所以△ABP面積的最大值為AB·dmax=6,△ABP面積的最小值為AB·dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6].故選A. 答案:A 二、填空題 6.[2019·洛陽模擬]已知過點(2,4)的直線l被圓C:x2+y2-2x-4y-5=0截得的弦長為6,則直線l的方程為__________. 解析:圓C:x2+y2-2x-4y-5=0的

5、圓心坐標為(1,2),半徑為.因為過點(2,4)的直線l被圓C截得的弦長為6,所以圓心到直線l的距離為1,①當直線l的斜率不存在時,直線方程為x-2=0,滿足圓心到直線的距離為1;②當直線l的斜率存在時,設其方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,所以=1,所以k=,所求直線l的方程為3x-4y+10=0.故直線l的方程為x-2=0或3x-4y+10=0. 答案:x-2=0或3x-4y+10=0 7.[2019·福建師大附中聯(lián)考]與圓C:x2+y2-2x+4y=0外切于原點,且半徑為2的圓的標準方程為________. 解析:所求圓的圓心在直線y=-2x上,所以可設所求圓的

6、圓心為(a,-2a)(a<0),又因為所求圓與圓C:x2+y2-2x+4y=0外切于原點,且半徑為2,所以=2,可得a2=4,則a=-2或a=2(舍去).所以所求圓的標準方程為(x+2)2+(y-4)2=20. 答案:(x+2)2+(y-4)2=20 8.[2018·江蘇卷,12]在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·=0,則點A的橫坐標為________. 解析:本題考查直線與圓的位置關系. 設A(a,2a),a>0,則C, ∴圓C的方程為2+(y-a)2=+a2, 得 ∴·=(5-a,-

7、2a)·=+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0, ∴a=3,∴點A的橫坐標為3. 一題多解  由題意易得∠BAD=45°. 設直線DB的傾斜角為θ,則tanθ=-, ∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3, ∴kAB=-tan∠ABO=-3. ∴AB的方程為y=-3(x-5), 由得xA=3. 答案:3 三、解答題 9.已知圓C經(jīng)過點A(2,-1),和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上. (1)求圓C的方程; (2)已知直線l經(jīng)過原點,并且被圓C截得的弦長為2,求直線l的方程. 解析:(1)設圓心的坐標為C(a,-2a),則=. 化

8、簡,得a2-2a+1=0,解得a=1. ∴C(1,-2),半徑r=|AC|==. ∴圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2. (2)①當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0, 此時直線l被圓C截得的弦長為2,滿足條件. ②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx,由題意得=1,解得k=-, ∴直線l的方程為y=-x. 綜上所述,直線l的方程為x=0或y=-x. 10.圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心坐標為(2,1). (1)若圓O1與圓O2外切,求圓O2的方程; (2)若圓O1與圓O2相交于A,B兩點,且|AB|=2,求圓O2的方程. 解

9、析:(1)因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=4, 所以圓心O1(0,-1),半徑r1=2. 設圓O2的半徑為r2,由兩圓外切知|O1O2|=r1+r2. 又|O1O2|==2, 所以r2=|O1O2|-r1=2-2. 所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=12-8. (2)設圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r, 又圓O1的方程為x2+(y+1)2=4, 相減得AB所在的直線方程為4x+4y+r-8=0. 設線段AB的中點為H, 因為r1=2,所以|O1H|==. 又|O1H|==, 所以=,解得r=4或r=20. 所以圓O2的方程為(x-2)2+

10、(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. [能力挑戰(zhàn)] 11.已知以點C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,其中O為原點. (1)求證:△OAB的面積為定值; (2)設直線y=-2x+4與圓C交于點M、N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程. 解析:(1)證明:∵圓C過原點O,∴|OC|2=t2+. 設圓C的方程是(x-t)2+2=t2+, 令x=0,得y1=0,y2=; 令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=|OA|·|OB|=·|2t|·=4, 即△OAB的面積為定值. (2)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=.∴直線OC的方程是y=x. ∴=t,解得t=2或t=-2. 當t=2時,圓心C的坐標為(2,1),OC=, 此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=<, 則圓C與直線y=-2x+4相交于兩點. 當t=-2時,圓心C的坐標為(-2,-1),OC=,此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=>, 則圓C與直線y=-2x+4相離, ∴t=-2不符合題意,舍去. ∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 4

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