《2020高考數(shù)學總復習 第七章 立體幾何 課時作業(yè)46 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020高考數(shù)學總復習 第七章 立體幾何 課時作業(yè)46 理(含解析)新人教A版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、課時作業(yè)46 空間向量的運算及應用
1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則實數(shù)λ的值為( D )
A.-2 B.-
C. D.2
解析:由題意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.
2.若A,B,C不共線,對于空間任意一點O都有=++,則P,A,B,C四點( B )
A.不共面 B.共面
C.共線 D.不共線
解析:由已知可得
-=-++,
即-=-++-,
可得=-(-)+(-)=-+=(+),
所以,,共面但不共線,故P,A,B,C四點共面.
3.A,B,C,D是空間不
2、共面的四點,且滿足·=0,·=0,·=0,M為BC的中點,則△AMD是( C )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.不確定
解析:∵M為BC的中點,∴=(+).
∴·=(+)·
=·+·=0.
∴AM⊥AD,即△AMD為直角三角形.
4.如圖,已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是對邊OA,BC的中點,點G在線段MN上,且分MN所成的比為2,現(xiàn)用基向量,,表示向量,設=x+y+z,則x,y,z的值分別是( D )
A.x=,y=,z= B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z= D.x=,y=,z=
解析:設=a,=
3、b,=c,
∵G分MN的所成比為2,∴=,
∴=+=+(-)=a+=a+b+c-a=a+b+c,即x=,y=,z=.
5.已知空間向量a,b滿足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為,O為空間直角坐標系的原點,點A,B滿足=2a+b,=3a-b,則△OAB的面積為( B )
A. B.
C. D.
解析:||===,
同理||=,則cos∠AOB===,從而有sin∠AOB=,
∴△OAB的面積S=×××=,故選B.
6.如圖,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,則OA與BC所成角的余弦值為( A )
4、
A. B.
C. D.
解析:因為=-,
所以·=·-·
=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-16+24.
所以cos〈,〉===.
即OA與BC所成角的余弦值為.
7.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,則以b,c為方向向量的兩直線的夾角為 60° .
解析:由題意,得(2a+b)·c=0+10-20=-10,
即2a·c+b·c=-10.
又∵a·c=4,∴b·c=-18,
∴cos〈b,c〉===-,
又∵〈b,c〉∈[0°,180°],
∴〈b
5、,c〉=120°,∴兩直線的夾角為60°.
8.已知O點為空間直角坐標系的原點,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當·取得最小值時,的坐標是 .
解析:∵點Q在直線OP上,∴設點Q(λ,λ,2λ),
則=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),
·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-.
即當λ=時,·取得最小值-.
此時=.
9.已知V為矩形ABCD所在平面外一點,且VA=VB=VC=VD,=,=,=.則VA與平面PMN的位置關系是 VA∥平面P
6、MN .
解析:如圖,設=a,=b,=c,
則=a+c-b,
由題意知=b-c,
=-=a-b+c.
因此=+,
∴,,共面.
又∵VA?平面PMN,∴VA∥平面PMN.
10.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,E,F(xiàn),G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點.
(1)試用向量,,表示;
(2)用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C.
解:(1)設=a,=b,
=c.
由圖得=++
=c+b+=a+b+c
=++.
(2)證明:由題圖,得=+=a+b,
=+=b+a=,
∵EG與AC無公共點,∴EG∥AC,
∵E
7、G?平面AB1C,AC?平面AB1C,
∴EG∥平面AB1C.
又∵=+=a+c,
=+=c+a=,
∵FG與AB1無公共點,∴FG∥AB1,
∵FG?平面AB1C,AB1?平面AB1C,
∴FG∥平面AB1C,
又∵FG∩EG=G,F(xiàn)G,EG?平面EFG,
∴平面EFG∥平面AB1C.
11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上,且=,N為B1B的中點,則||為( A )
A.a B.a
C.a D.a
解析:以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a), N.
設M(x,y,z)
8、,因為點M在AC1上,且=,
則(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),
得x=a,y=,z=,即M,
所以||==a.
12.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.
(1)求的模;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求證:A1B⊥C1M.
解:(1)如圖,以點C作為坐標原點O,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系.
由題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以||==.
(2)由題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
所以=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,||=,||=,
所以cos〈,〉==.
(3)證明:由題意得C1(0,0,2),M,
=(-1,1,-2),=,
所以·=-++0=0,
所以⊥,
即A1B⊥C1M.
8