2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習 理 北師大版

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1、第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù) [基礎題組練] 1．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則a的值為(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．0 C．1 D．－2 解析：選D.函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a的對稱軸為直線x＝2，開口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上是增加的，則當x＝0時，f(x)的最小值為f(0)＝a＝－2. 2．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐標系中的圖象大致是(　　) 解析：選C.若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；

2、若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側，故可排除B.故選C. 3．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，則(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 解析：選A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先減后增，于是a>0，故

3、選A. 4.冪函數(shù)y＝xm2－4m(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C.因為y＝xm2－4m (m∈Z)的圖象與坐標軸沒有交點，所以m2－4m<0，即0

4、)＝x－2為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，且f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以n＝1滿足題意；當n＝－3時，函數(shù)f(x)＝x18為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，而f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以n＝－3不滿足題意，舍去．故選B. 6．已知二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，對稱軸為x＝3，與y軸交于點(0，3)，則它的解析式為________． 解析：由題意知，可設二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－3)2，又圖象與y軸交于點(0，3)， 所以3＝9a，即a＝. 所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3. 答案：y＝x2－2x＋3 7．若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1，2

5、]上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是減函數(shù)，所以a≤1，又因為g(x)＝在[1，2]上是減函數(shù)，所以a>0，所以0

6、 (1)當a＝2，x∈[－2，3]時，求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值． 解：(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 對稱軸x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函數(shù)f(x)的值域為. (2)對稱軸為x＝－. ①當－≤1，即a≥－時， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－滿足題意； ②當－>1，即a<－時， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1， 即a＝－1滿足題意． 綜上

7、可知，a＝－或－1. 10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當∈[－1，1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因為當x∈[－1，1]時，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方， 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立； 即x

8、2－3x＋1>m在區(qū)間[－1，1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－， 因為g(x)在[－1，1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m<－1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)． [綜合題組練] 1．(2020·湖南4月聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m與函數(shù)g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的單調性，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：選B.易知定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m是減少的，所以函數(shù)g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上是減

9、少的，所以拋物線的對稱軸x＝≥1，所以k≥2.故選B. 2．(2020·湖北荊州質量檢查(一))若對任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 解析：選B.因為(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上遞增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因為對任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范圍是(－∞，－1]，故選B. 3.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋

10、bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正確；對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤；結合圖象，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0時，f(x)＝(x－

11、1)2，若當x∈時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為____________． 解析：當x<0時，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因為x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1. 答案：1 5．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1， F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍． 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0， 且－＝－1， 解得a＝1，b＝2， 所以f(x)＝(x＋1)2. 所以F(x)＝ 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由題意知f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立． 又當x∈(0，1]時，－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.所以－2≤b≤0. 故b的取值范圍是[－2，0]． 6