《2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓18 利用導數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓18 利用導數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 理 北師大版(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓18
利用導數(shù)解決不等式恒(能)成立問題
建議用時:45分鐘
1.(2019·西安質檢)已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=x-1.
(1)求函數(shù)y=f(x)的圖像在x=1處的切線方程;
(2)若不等式f(x)≤ag(x)對任意的x∈(1,+∞)均成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1.
又∵f(1)=0,
∴所求切線的方程為y-f(1)=f′(1)(x-1),
即為x-y-1=0.
(2)易知對任意的x∈(1,+∞),f(x)>0,g(x)>0.
①當a≥1時,f(x)<g(x)≤ag(x);
②當a≤0時,f(x)>
2、0,ag(x)≤0,不滿足不等式f(x)≤ag(x);
③當0<a<1時,設φ(x)=f(x)-ag(x)=ln x-a(x-1),
則φ′(x)=-a(x>1),
令φ′(x)=0,得x=,
當x變化時,φ′(x),φ(x)的變化情況如下表:
x
φ′(x)
+
0
-
φ(x)
極大值
∴φ(x)max=φ>φ(1)=0,
不滿足不等式f(x)≤ag(x).
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
2.已知函數(shù)f(x)=(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)若任意x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求實數(shù)a
3、的取值范圍.
[解] (1)f′(x)=,
當a≤-時,x2-2x-2a≥0,f′(x)≥0,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.
當a>-時,令x2-2x-2a=0,
解得x1=1-,x2=1+.
∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,1-)和(1+,+∞),單調遞減區(qū)間為(1-,1+).
(2)f(x)>-1?>-1?2a>x2-ex,
由條件知,2a>x2-ex對任意x≥1恒成立.
令g(x)=x2-ex,h(x)=g′(x)=2x-ex,
∴h′(x)=2-ex.
當x∈[1,+∞)時,h′(x)=2-ex≤2-e<0,
∴h(x)=g′(x)=2x-e
4、x在[1,+∞)上單調遞減,
∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,
即g′(x)<0,
∴g(x)=x2-ex在[1,+∞)上單調遞減,
∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e,
故若f(x)>-1在[1,+∞ )上恒成立,
則需2a>g(x)max=1-e.
∴a>,即實數(shù)a的取值范圍是.
3.設f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.
(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(2)如果對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
3.設f(x)=+xln x,g(x)
5、=x3-x2-3.
(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(2)如果對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等價于[g(x1)-g(x2)]max≥M.
由g(x)=x3-x2-3,得g′(x)=3x2-2x=3x.
令g′(x)>0得x<0或x>,
令g′(x)<0得0<x<,
又x∈[0,2],
所以g(x)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,
所以g(x)min=g=-,
又g(0)=-3,g(2)=
6、1,
所以g(x)max=g(2)=1.
故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=≥M,
則滿足條件的最大整數(shù)M=4.
(2)對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,等價于在區(qū)間上,函數(shù)f(x)min≥g(x)max,
由(1)可知在區(qū)間上,g(x)的最大值為g(2)=1.
在區(qū)間上,f(x)=+xln x≥1恒成立等價于a≥x-x2ln x恒成立.
設h(x)=x-x2ln x,
h′(x)=1-2xln x-x,
令m(x)=xln x,由m′(x)=ln x+1>0得x>.
即m(x)=xln x在上是增函數(shù),
可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù),
又h′(1)=0,
所以當1<x<2時,h′(x)<0;
當<x<1時,h′(x)>0.
即函數(shù)h(x)=x-x2ln x在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間(1,2)上單調遞減,
所以h(x)max=h(1)=1,
所以a≥1,
即實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
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