2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第3講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)練習(xí) 理 北師大版

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1、第3講 直線、平面平行的判定與性質(zhì) [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·河北衡水模擬一)已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，α∥β的充分條件是(　　) A．m∥n，mα，nβ B．m∥n，m⊥α，n⊥β C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m⊥n，m⊥α，n⊥β 解析：選B.對于A，兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，這兩個平面可能平行， 也可能相交，因此A中條件不是α∥β的充分條件；對于B，因為m∥n，m⊥α，所以n⊥α，結(jié)合n⊥β，知α∥β，因此B中條件是α∥β的充分條件；對于C，由m⊥n，m∥α知nα，或n∥α，或n與α相交，結(jié)合n∥β

2、，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中條件不是α∥β的充分條件；對于D，由m⊥n，m⊥α知nα，或n∥α，結(jié)合n⊥β，知α⊥β，所以D中條件不是α∥β的充分條件．綜上可知．選B. 2．(2020·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(　　) A．若m∥n，nα，則m∥α B．若mα，nβ，α∥β，則m∥n C．若α∥β，m⊥α，則m⊥β D．若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β 解析：選C.若m∥n，nα，則m∥α或mα，所以選項A不正確；若mα，nβ，α∥β，則m∥n或m與n異面，所以選項B不正確；若

3、mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β或α與β相交，所以選項D不正確．故選C. 3．(2020·湖南長沙模擬)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題： ①若a∥c，b∥c，則a∥b； ②若a∥b，b∥α，則a∥α； ③若a∥α，b∥α，則a∥b； ④若aα，bβ，α∥β，則a∥b. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A.由題意，對于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命題；對于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行，相交或異面，故③是假命題；對于④，

4、根據(jù)aα，bβ，α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題．所以真命題的個數(shù)是1.故選A. 4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則(　　) A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形 解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊B

5、D，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形． 5. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推斷正確的序號是(　　) A．①③　　 B．①④ C．②③　　 D．②④ 解析：選A.因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，因為BC1∥AD1，所以FG∥AD1， 因為FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA

6、1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正確； 因為EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯誤； 因為E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點， 所以FG∥BC1，因為FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1， 所以FG∥平面BC1D1，故③正確； 因為EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A. 6．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________． 解析：如圖，取CD的中點E，連接AE，BE， 則EM∶MA＝1∶2， E

7、N∶BN＝1∶2， 所以MN∥AB. 因為AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC， 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 答案：平面ABD與平面ABC 7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 解析：因為EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC， 所以EF∥AC，所以點F為DC的中點． 故EF＝AC＝. 答案： 8.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C

8、1D1，D1D，DC的中點，N是 BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況) 解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN＝H，DD1∩BD＝D， 所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1. 答案：點M在線段FH上(或點M與點H重合) 9.在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′. (1)要經(jīng)過平面A′B′C′D′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？

9、(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 解：(1)過點P作B′C′的平行線， 交A′B′，C′D′于點E，F(xiàn)， 連接BE，CF. 作圖如下： (2)EF∥平面ABCD.理由如下： 因為BC∥平面A′B′C′D′， 又因為平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′， 所以BC∥B′C′，因為EF∥B′C′，所以EF∥BC， 又因為EF平面ABCD，BC平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD. 10．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)

10、平面BDE∥平面MNG. 證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O，連接AE，則AE必過點O， 連接MO，則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO. 因為BE平面DMF，MO平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點， 所以DE∥GN. 因為DE平面MNG，GN平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因為M為AB的中點， 所以MN為△ABD的中位線， 所以BD∥MN. 因為BD平面MNG，MN平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線， 所以平面BDE∥平面

11、MNG. [綜合題組練] 1．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題： ①沒有水的部分始終呈棱柱形； ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值； ③棱A1D1始終與水面所在的平面平行； ④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值． 其中正確的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.由題圖，顯然①是正確的，②是錯的； 對于③因為A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)． 所

12、以③是正確的； 因為水是定量的(定體積V)． 所以S△BEF·BC＝V， 即BE·BF·BC＝V. 所以BE·BF＝(定值)，即④是正確的，故選C. 2.(2020·江西吉安一模)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　) A. B． C. D． 解析：選B.如圖1，取B1C1的中點E，C1D1的中點F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面內(nèi)，連接ME，因為M，E分別為A1D1，B

13、1C1的中點，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因為BE平面BDFE， AM平面BDFE， 所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因為AM∩AN＝A， 所以平面AMN∥平面BDFE， BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如圖2， 過E，F(xiàn)作BD的垂線，垂足分別為G，H，則四邊形EFGH為矩形，所以FG＝＝＝， 故所得截面的面積為××＝，故選B. 3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1.則以下四個說法： ①MN∥平面A

14、PC； ②C1Q∥平面APC； ③A，P，M三點共線； ④平面MNQ∥平面APC. 其中說法正確的是________(填序號)． 解析： ①連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN， 易得AM，CN交于點P，即MN平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的； ②由①知M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，AN平面APC， 所以C1Q∥平面APC是正確的； ③由①知A，P，M三點共線是正確的； ④由①知MN平面APC， 又MN平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的． 答案：②③ 4.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，

15、點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________． 解析：因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1， 所以B1D1∥PQ. 又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ， 設(shè)PQ∩AB＝M，因為AB∥CD， 所以△APM∽△DPQ. 所以＝＝2，即PQ＝2PM. 又知△APM∽△ADB， 所以＝＝， 所以PM＝BD，又BD＝a， 所以PQ＝a. 答案：a 5.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝

16、2BC，O，E分別為AD，PD的中點． (1)設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，請作圖確定l的位置并說明你的理由； (2)若Q為直線CE上任意一點，證明：OQ∥平面PAB. 解：(1)分別延長AB和DC交于點R，連接PR，則直線PR就是l的位置； R∈AB平面PAB，R∈CD平面PCD， 所以P、R是平面PAB和平面PCD的兩個公共點， 由公理1可知，過P、R的直線就是兩個平面的交線l. (2)證明：連接OE、OC，因為BC∥AD，且BC＝AD， 又AO＝AD，所以BC∥AO， 且BC＝AO，所以四邊形ABCO為平行四邊形， 所以O(shè)C∥AB，則OC∥平面PAB；

17、又OE為△PAD的中位線，則OE∥AP， 所以O(shè)E∥平面PAB， 又OE平面OEC，OC平面OEC，且OE∩OC＝O， 所以平面PAB∥平面OEC， 又OQ平面OEC， 所以O(shè)Q∥平面PAB. 6．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明B1D1∥l. 證明：(1)由題設(shè)知BB1綊DD1， 所以四邊形BB1D1D是平行四邊形， 所以BD∥B1D1. 又BD平面CD1B1， B1D1平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因為A1D1綊B1C1綊BC， 所以四邊形A1BCD1是平行四邊形， 所以A1B∥D1C. 又A1B平面CD1B1， D1C平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1. 又因為BD∩A1B＝B， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l， 平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD， 所以直線l∥直線BD， 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形， 所以B1D1∥BD， 所以B1D1∥l. 10