（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練（四）理（含解析）

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1、基礎(chǔ)鞏固練(四) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．(2019·河北武邑中學(xué)二次調(diào)研)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝，則＝(　　) A.－i B．1＋i C．1－i D.＋i 答案　A 解析　由z＝＝＝＝＋i，得＝－i.故選A. 2．(2019·浙江百校聯(lián)考)已知集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，則A∩B等于(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x

2、＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x＜1} 答案　C 解析　集合A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|0≤x＜1}，故選C. 3．(2019·石家莊二模)某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法中正確的是(　　) A．支出最高值與支出最低值的比是8∶1 B．4至6月份的平均收入為50萬元 C．利潤最高的月份是2月份 D．2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同 答案　D 解析　由題圖可知，支出最高值為60萬元，支出最低值為10萬元，其比是6∶1，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，4至6月份的平

3、均收入為×(50＋30＋40)＝40萬元，故B錯(cuò)誤；由題圖可知，利潤最高的月份為3月份和10月份，故C錯(cuò)誤；由題圖可知2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同，故D正確．故選D. 4．(2019·赤峰市高三二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S8＝17S4，則a5＝(　　) A．8 B．－8 C．±16 D．16 答案　D 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. 當(dāng)q＝1時(shí)，S8＝8a1,17S4＝17×4a1＝68a1， 因?yàn)閍1≠0， 所以S8＝8a1，S8≠17S4； 當(dāng)q≠1時(shí)，S8＝＝， 17S4＝＝， 故＝，解得q＝

4、－1或q＝－2或q＝2，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，故q＝2，所以a5＝a1·24＝16，故選D. 5．(2019·佛山二模)已知(1＋x)n(n∈N*，n<10)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則n的最大值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　∵已知(1＋x)n(n∈N*，n<10)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)， ∴n的展開式中沒有負(fù)一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)． ∵n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cxn－3r， 故n－3r≠0，且n－3r≠－1， 即n≠3r，且n≠3r－1， ∴n≠3,6,9，且n≠2,5,8，故n的最大值為7，故選B. 6．(2019·咸陽二模)

5、已知G是△ABC的重心，若＝x＋y，x，y∈R，則x＋y＝(　　) A．－1 B．1 C. D．－ 答案　C 解析　由題意，畫圖，如圖所示． 由重心的定義，可知 ＝＝×(＋)＝(＋)． ∴＝－＝－ (＋)＝－＋ .∴x＋y＝－＋＝.故選C. 7．(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(　　) A．158 B．162 C．182 D．324

6、 答案　B 解析　如圖， 該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝×3＋×3＝27，因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B. 8．(2019·佛山一中二模)若函數(shù)f(x)＝ (a∈R)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(a)>f(2a)>f(0) B．f(a)>f(0)>f(2a) C．f(2a)>f(a)>f(0) D．f(2a)>f(0)>f(a) 答案　C 解析　因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，即1＋a＝2，所以a＝

7、1，易知當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，又知2a>a>0，所以f(2a)>f(a)>f(0)，故選C. 9．(2019·大慶三模)第24屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的一個(gè)銳角為θ，且tanθ＝2，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自小正方形區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)大正方形為ABCD，小正方形為EFGH，如圖，則tanθ＝＝2， 設(shè)小正方形的邊長為a，則＝2，即AF＝2a， ∴大正方形的邊長為a， 則小正方形與大正方

8、形的面積比為＝.故選B. 10．(2019·廣州二模)若曲線y＝x3－2x2＋2在點(diǎn)A處的切線方程為y＝4x－6，且點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)上，則＋的最小值為(　　) A．4 B．3＋2 C．6＋4 D．8 答案　C 解析　設(shè)A(s，t)，y＝x3－2x2＋2的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2－4x，可得切線的斜率為3s2－4s， 由切線方程為y＝4x－6，可得3s2－4s＝4，t＝4s－6， 解得s＝2，t＝2或s＝－，t＝－， 由點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)上， 可得2m＋2n＝1成立， 則＋＝(2m＋2n)＝2≥ 2＝6＋4，

9、 當(dāng)且僅當(dāng)n＝m時(shí)，取得最小值6＋4，故選C. 11．(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 答案　A 解析　設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)．由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2， 故＝，即e＝.故選A. 1

10、2．(2019·深圳二模)如圖，在四面體ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　將四面體ABCD補(bǔ)成長、寬、高分別為，，1的長方體(如圖)． 由于EF⊥α，故截面為平行四邊形MNKL， 可得KL＋KN＝， 設(shè)異面直線BC與AD所成的角為θ，則sinθ＝sin∠HFB＝sin∠LKN， 解得sinθ＝，∴S四邊形MNKL＝NK·KL·sin∠NKL≤2

11、＝， 當(dāng)且僅當(dāng)NK＝KL時(shí)取等號(hào)．故選B. 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2019·合肥一模)設(shè)x，y滿足約束條件 則z＝2x－y的取值范圍為________． 答案　(－1,6) 解析　由約束條件 作出可行域如圖， 化目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y為y＝2x－z， 由圖可知，當(dāng)直線y＝2x－z過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為－1； 當(dāng)直線y＝2x－z過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為6. 所以z＝2x－y的取值范圍為(－1,6)． 14．(2019·肇慶二模)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列

12、，a1＝2，a3＝4，則a＋a＋a＋…＋a＝________. 答案　1020 解析　∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝2，a3＝4， ∴q2＝＝2， ∴a＝(a1qn－1)2＝4×(q2)n－1＝4×2n－1＝2n＋1， ∴a＋a＋a＋…＋a＝＝1020. 15．(2019·長春質(zhì)檢)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　因?yàn)樵凇鰽BC中，a2＝b2＋c2－bc，根據(jù)余弦定理，可知cosA＝＝， 所以A＝，sinA＝.又bc＝4， 所以S△ABC＝bcsinA＝×4×＝.

13、 16．(2019·宣城二模)關(guān)于x的方程kx－＝2在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的最小值是________． 答案　 解析　由kx－＝2得kx－2＝， 設(shè)g(x)＝， 則g′(x)＝＝， 則當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)≥0，即函數(shù)g(x)在上為增函數(shù)，且g(e)＝＝， 直線y＝kx－2過定點(diǎn)(0，－2)， 設(shè)過點(diǎn)(0，－2)與g(x)相切的切線為l， 若方程kx－＝2在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根， 則直線y＝kx－2在切線l與過點(diǎn)A的直線之間， 由圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)直線的斜率最小， 此時(shí)k的最小值為k＝＝＝. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～

14、21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分)(2019·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an>0，前n項(xiàng)和為Sn，若an＝＋(n∈N*，且n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記cn＝an·2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)在數(shù)列{an}中，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，?、? ∵an＝＋，?、? 且an>0， ∴①÷②得－＝1(n≥2)， ∴數(shù)列{}是以＝＝1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴Sn＝n2. 當(dāng)n≥2

15、時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，也滿足上式， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由(1)，知an＝2n－1，∴cn＝(2n－1)×22n－1， 則Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1， 4Tn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1， 兩式相減，得－3Tn＝2＋2(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)22n＋1 ＝2＋2×－(2n－1)22n＋1 ＝－＋22n＋1， ∴Tn＝. 18．(本小題滿分12分)(2019·山東德州一模)如圖

16、，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，E，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)，且EF＝CD，將△AED和△BFC分別沿DE，CF折起到A，B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)P. (1)證明：平面PCF⊥平面PEF； (2)若PF＝FC，求PD與平面PFC所成角的正弦值． 解　(1)證明：因?yàn)锳B∥CD，EF＝CD， 所以四邊形CDEF為平行四邊形， 所以∠AED＝∠AFC； 又因?yàn)椤鰽ED≌△BFC，所以∠AED＝∠BFC， 從而∠AFC＝∠BFC＝90°， 所以PE⊥ED，PF⊥FC. 因?yàn)镃F∥DE，所以PE⊥FC， 又因?yàn)镻E∩PF＝P，PE?平面PEF，PF?平面PEF， 所以FC

17、⊥平面PEF.又因?yàn)镕C?平面PFC， 所以平面PEF⊥平面PFC. (2)在平面PEF內(nèi)作PO⊥EF，垂足為O，取CD的中點(diǎn)為M. 由(1)可知，F(xiàn)C⊥平面PEF，故FC⊥PO，可得PO⊥平面CDEF， 所以PO⊥OM，PO⊥OF， 又因?yàn)镻F＝PE，所以O(shè)E＝OF，所以O(shè)M∥FC， 所以O(shè)F⊥OM， 所以O(shè)P，OF，OM兩兩垂直； 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)PF＝FC＝2，而△PEF為等邊三角形， 所以P(0,0，)，F(xiàn)(1,0,0)，C(1,2,0)，D(－1,2,0)， 所以＝(1,0，－)，＝(1,2，－)，＝(－1,2，－)； 設(shè)

18、n＝(x，y，z)為平面PFC的法向量， 由即 可取n＝(，0,1)． 設(shè)PD與平面PFC所成的角為θ， 則sinθ＝＝， 所以PD與平面PFC所成角的正弦值為. 19．(本小題滿分12分)(2019·南昌一模)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過5000小時(shí)，經(jīng)銷商對(duì)B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖： 某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年，新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營業(yè)，經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝，已知A型和B型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為1

19、20元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí)，假定該店面正常營業(yè)一年的照明時(shí)間為3600小時(shí)，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換．(用頻率估計(jì)概率) (1)若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，求一年內(nèi)5支節(jié)能燈在使用期間恰好更換2支燈的概率； (2)若該商家全部使用A型節(jié)能燈或B型節(jié)能燈，則為保證正常營業(yè)，應(yīng)購買哪一種節(jié)能燈更合算？ 解　(1)由頻率分布直方圖可知， B型節(jié)能燈使用壽命超過3600小時(shí)的頻率為0.0010×200＝0.2， 用頻率估計(jì)概率，得B型節(jié)能燈使用壽命超過3600小時(shí)的概率為. 所以一年內(nèi)一支B型節(jié)能燈在使用期間需更換的概率為. 所以一年內(nèi)5支節(jié)能

20、燈在使用期間恰好更換2支燈的概率為C2×3＝. (2)共需要安裝5支節(jié)能燈， 若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元； 若選擇B型節(jié)能燈，由于B型節(jié)能燈一年內(nèi)需更換的支數(shù)服從二項(xiàng)分布B， 故一年內(nèi)需更換燈的支數(shù)的期望為5×＝4支． 故一年共需花費(fèi)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元． 因?yàn)?67.5>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈． 20．(本小題滿分12分)(2019·重慶六區(qū)一模)如圖，已知橢圓C：＋＝1，其左、右焦點(diǎn)為F1(－2，0)及F2(2,0)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB

21、的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求橢圓C的方程； (2)記△GF1D的面積為S1，△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2，試問：是否存在直線AB，使得S1＝S2？請(qǐng)說明理由． 解　(1)∵|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列， ∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝2|F1F2|＝8，∴a＝4. 又∵c＝2，∴b2＝12， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在直線AB，使得S1＝S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)， 將其代入＋＝1，整理得(4k2

22、＋3)x2＋16k2x＋16k2－48＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝. ∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為＝， ∴G. ∵DG⊥AB，∴×k＝－1，解得xD＝， 即D， ∵Rt△GDF1和Rt△ODE相似，∴若S1＝S2， 則|GD|＝|OD|， ∴ ＝， 整理得8k2＋9＝0，∵方程8k2＋9＝0無解， ∴不存在直線AB，使得S1＝S2. 21．(本小題滿分12分)(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2aln x，若函數(shù)f(x)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1

23、＋ln 2＋>0. 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域(0，＋∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1

24、＝2aln a－2a－1，其中0g＝－ln 2－， 即f(x1)＋f(x2)＋ln 2＋>0. (二)選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·遼寧撫順一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求曲線C1的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)D為曲線C1上

25、在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，且在點(diǎn)D處的切線與直線l平行，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)． 解　(1)由已知，得ρ2＝2ρsinθ，得x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1， 所以C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． 直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)由(1)知曲線C1是以C(0,1)為圓心、半徑為1的圓， 設(shè)點(diǎn)D(cosα，1＋sinα)，因?yàn)辄c(diǎn)D在第二象限， 所以直線CD的斜率kCD＝tanα＝－，得 α＝，得點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] (2019·遼寧撫順一模)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≥5； (2)若?x∈R，f(x)≥|m－1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|， 當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)＝－x－1－x＋1＝－2x≥5， 解得x≤－； 當(dāng)－1