2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測七 不等式、推理與證明（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版

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1、單元檢測七　不等式、推理與證明(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時(shí)間100分鐘，滿分130分． 4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．若a C．|a|>－b D.> 答案　A 解析　因?yàn)閍0，即>

2、，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；當(dāng)a＝－3，b＝－1時(shí)，＝－，＝－1，故>，D成立． 2．不等式≤0的解集為(　　) A. B. C.∪(3，＋∞) D.∪[3，＋∞) 答案　C 解析　不等式≤0可化為 ∴解得x≤－或x>3， ∴不等式≤0的解集為∪(3，＋∞)． 3．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人 B．由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì) C．平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分 D．在

3、數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 答案　C 解析　因?yàn)檠堇[推理是由一般到特殊，所以選項(xiàng)C符合要求，平行四邊形對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分． 4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　由1＋≥0，得≥0，等價(jià)于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”

4、，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要條件，故選A. 5．若x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，則xy的最小值為(　　) A．8B．14C．16D．64 答案　D 解析　∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴xy＝2x＋8y≥2，∴≥8， ∴xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)取等號， ∴xy的最小值為64，故選D. 6．已知實(shí)數(shù)a>0，b>0，＋＝1，則a＋2b的最小值是(　　) A．3B．2C．3D．2 答案　B 解析　∵a>0，b>0，＋＝1， ∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3 ＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·－3 ＝

5、－3≥3＋2－3＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)取等號， ∴a＋2b的最小值是2，故選B. 7．若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則＋的最小值為(　　) A．10B．8C．5D．4 答案　B 解析　由題意知，已知圓的圓心C(－4，－1)在直線l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)，等號成立．所以＋的最小值為8.故選B. 8．在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為(　　) A.B.C.D.

6、答案　C 解析　如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切?，其面積為×3×＝，其中在第二象限的區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切?，其面積為×1×1＝.所以點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為＝，故選C. 9．(2018·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知變量x，y滿足則z＝3y－x的取值范圍為(　　) A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6] 答案　D 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(△ABC邊界及其內(nèi)部)． 因?yàn)閦＝3y－x，所以y＝x＋z.當(dāng)直線y＝x＋在y軸上的截距有最小值時(shí)，z有最小值；當(dāng)在y軸上的截距有最大值時(shí)，z有最大值．由圖可知，當(dāng)直線y＝x＋經(jīng)過點(diǎn)A(－

7、1,0)，在y軸上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)時(shí)，在y軸上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范圍為[1,6]，故選D. 10．小王計(jì)劃租用A，B兩種型號的小車安排30名隊(duì)友(大多有駕駛證，會(huì)開車)出去游玩，A與B兩種型號的車輛每輛的載客量都是5人，租金分別為1000元/輛和600元/輛，要求租車總數(shù)不超過12輛，不少于6輛，且A型車至少有1輛，則租車所需的最少租金為(　　) A．1000元 B．2000元 C．3000元 D．4000元 答案　D 解析　設(shè)分別租用A，B兩種型號的小車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z＝1000

8、x＋600y，其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)，作出可行域，如圖陰影部分(包括邊界)所示． 易知當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)D(1,5)時(shí)，z取最小值，所以租車所需的最少租金為1×1000＋5×600＝4000(元)，故選D. 11．(2018·貴州貴陽一中月考)若變量x，y滿足約束條件則t＝的取值范圍是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　作出可行域，如圖中陰影部分所示(包括邊界)． t＝表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M(3,2)連線的斜率．由圖可知，當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M的連線與圓x2＋y2＝4相切時(shí)斜率分別取最大值和最小值．設(shè)切線方程為y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2

9、＝0，則有＝2，解得k＝或k＝0，所以t＝的取值范圍是，故選B. 12．已知甲、乙兩個(gè)容器，甲容器的容量為x(單位：L)，裝滿純酒精，乙容器的容量為z(單位：L)，其中裝有體積為y(單位：L)的水(x

10、bn＝an＋1－an(n∈N*)，則數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列 C．對任意的n∈N*，始終有an≤ D．對任意的n∈N*，都有an≤ 答案　D 解析　對于A，若x＋y>z，每次傾倒后甲容器都有剩余，則an<，故A錯(cuò)誤；對于B，若x＋y＝z，則每次操作后乙容器所含酒精都為，bn＝0，故B錯(cuò)誤；對于C，若x＝1，y＝1，z＝3，則a1＝，＝，則a1>，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)n→＋∞時(shí)，甲乙兩容器濃度趨于相等，當(dāng)x＋y≤z時(shí)，an＝，當(dāng)x＋y>z時(shí)，an<，故選D. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．若在關(guān)于x的不等式

11、x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． 答案　[－2,4] 解析　關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0.當(dāng)a＝1時(shí)，(x－1)2<0，無解，滿足題意；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|1

12、求最小值為2＋2. 15．某傳媒大學(xué)的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別從影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持四門課程中選修一門，且這四位同學(xué)選修的課程互不相同．下面是關(guān)于他們選課的一些信息：①甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選播音主持，也不選廣播電視；②乙同學(xué)不選廣播電視，也不選公共演講；③如果甲同學(xué)不選公共演講，那么丁同學(xué)就不選廣播電視．若這些信息都是正確的，依據(jù)以上信息可推斷丙同學(xué)選修的課程是________．(填影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持) 答案　影視配音 解析　由①知甲和丙均不選播音主持，也不選廣播電視；由②知乙不選廣播電視，也不選公共演講；由③知如果甲不選公共演講，那么丁就不選廣播電

13、視，綜上得甲、乙、丙均不選廣播電視，故丁選廣播電視，從而甲選公共演講，丙選影視配音，故答案為影視配音． 16．(2018·重慶調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)成中心對稱，若實(shí)數(shù)a，b滿足不等式f(4a－a2)＋f(b2－2b－3)≤0，則當(dāng)2≤a≤4時(shí)，a2＋(b－1)2的最大值為______． 答案　20 解析　易知f(x)是奇函數(shù)，又f(x)是增函數(shù)，∴4a－a2≤－b2＋2b＋3，∴|a－2|≥|b－1|，在平面直角坐標(biāo)系中畫出表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，a2＋(b－1)2表示定點(diǎn)(0,1)到該平面區(qū)域

14、內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(a，b)的距離的平方，由圖可知?jiǎng)狱c(diǎn)(a，b)在圖中點(diǎn)(4,3)或點(diǎn)(4，－1)處時(shí)，a2＋(b－1)2取得最大值，最大值為42＋22＝20. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2x＋. (1)若x∈(－1，＋∞)，求f(x)的最小值，并指出此時(shí)x的值； (2)求不等式f(x)≥2x＋2的解集． 解　(1)由x∈(－1，＋∞)可得x＋1>0. 因?yàn)閒(x)＝2x＋＝2x＋2＋－2≥4－2＝2，所以f(x)≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＋2＝，即x＝0時(shí)取等號． 故f(x)的最小值為2，此時(shí)x＝0.

15、 (2)由f(x)≥2x＋2，得≥0，所以－10，b>0，求ab的最大值； (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝， 所以a＋b－＝，即a＋b＝8. 因?yàn)閍>0，b>0， 所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)等號成立， 所以ab的最大值為16. (2)因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3， 所以且

16、2a＋3b≥3，即 作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)． 由圖可得經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(－1，－1)的直線的斜率的取值范圍是， 所以z＝＝＋1的取值范圍是. 19．(13分)2019年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，已知該設(shè)備全年需投入固定成本2 500萬元，每生產(chǎn)x百輛新能源汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)＝由市場調(diào)研知，若每輛新能源汽車售價(jià)5萬元，則全年內(nèi)生產(chǎn)的新能源汽車當(dāng)年能全部售完． (1)求該企業(yè)2019年的利潤L(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百輛)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售額－成本)； (2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)

17、所獲利潤最大？并求出最大利潤． 解　(1)當(dāng)01500，所以當(dāng)x＝100

18、，即2019年年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1800萬元． 20．(13分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4Sn與2an的等差中項(xiàng)為3(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)k，使不等式k(－1)na

19、為在①式中，令n＝1，得a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)． (2)原問題等價(jià)于k(－1)n2(n－1) <(n∈N*)恒成立． 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對任意正整數(shù)為k，不等式恒成立； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式等價(jià)于2k2(n－1)＋n－1－3<0恒成立， 令n－1＝t,0b1；當(dāng)n≥2時(shí)，bn＋1