2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題21 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理

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1、21　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:x=2cost,y=2sint(t為參數(shù))上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點(diǎn). (1)求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù),并判斷點(diǎn)M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn). 解析?　(1)由題意得P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α為參數(shù),0<α<2π). (2)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=x2+y2=2+2

2、cosα(0<α<2π), 當(dāng)α=π時(shí),d=0,故點(diǎn)M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn). 2.已知圓O1,圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos θ,ρ=-sin θ. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過圓O1與圓O2的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程,并將其化為極坐標(biāo)方程. 解析?　(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,將ρcosθ=x,ρ2=x2+y2代入上式,可得x2+y2=4x,所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0. 由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsinθ,將ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式,可得x2+y2=-y,所以圓O2的直角坐標(biāo)

3、方程為x2+y2+y=0. (2)由x2+y2-4x=0及x2+y2+y=0,兩式相減得4x+y=0, 所以經(jīng)過圓O1與圓O2的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為4x+y=0. 將4x+y=0化為極坐標(biāo)方程為4ρcos θ+ρsinθ=0,即tan θ=-4. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l 的參數(shù)方程為x=255t,y=2+55t(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=8sin θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并指出該曲線是什么曲線; (2)若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別為M,N,求|MN|. 解析?　(1)因?yàn)閏

4、osρ2θ=8sin θ,所以cosρ22θ=8ρsin θ,即x2=8y, 所以曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),對(duì)稱軸為y軸的拋物線. (2)易知直線l過拋物線的焦點(diǎn)(0,2),且參數(shù)方程為x=255t,y=2+55t(t為參數(shù)), 代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,得t2-25t-20=0,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 所以t1+t2=25,t1t2=-20. 所以|MN|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=10. 4.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-π4=2,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-

5、π4. (1)寫出曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的參數(shù)方程; (2)設(shè)M,N分別是曲線C1,C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最小值. 解析?　(1)依題意得,ρsinθ-π4=22ρsin θ-22ρcos θ=2, 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0. 由曲線C2的極坐標(biāo)方程得ρ2=2ρcosθ-π4=2ρcos θ+2ρsin θ, 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0,即x-222+y-222=1,　 所以曲線C2的參數(shù)方程為x=22+cosθ,y=22+sinθ(θ為參數(shù)).　 (2)由(1)知,圓C2的圓心22,22到直線x-y+2=0的距離

6、d=22-22+22=2. 又半徑r=1,所以|MN|min=d-r=2-1. 能力1 ?　能用曲線極坐標(biāo)方程解決問題 　　【例1】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的圓心為0,12,半徑為12,現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)M,N是圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠MON=2π3,求OM+ON的最小值. 解析?　(1)由題意得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y-122=14,即x2+y2-y=0, 化為極坐標(biāo)方程為ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ. (2)設(shè)Mρ1,θ,Nρ2,θ+2π3, 則|OM|+

7、ON=ρ1+ρ2=sin θ+sinθ+2π3=12sin θ+32cos θ=sinθ+π3. 由0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,得0≤θ≤π3,所以π3≤θ+π3≤2π3,故32≤sinθ+π3≤1, 即OM+ON的最小值為32. 　　由極坐標(biāo)方程求與曲線有關(guān)的交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí),若能用極坐標(biāo)系求解,可直接用極坐標(biāo)求解;若不能直接用極坐標(biāo)解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后求解. 已知曲線C:ρ=-2sin θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若曲線C與直線x+y+a=0有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析?　(1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsi

8、n θ,即x2+y2=-2y, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y+1)2=1. (2)由圓C與直線有公共點(diǎn),得圓心C到直線的距離d=0-1+a2≤1,解得1-2≤a≤1+2. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1-2,1+2]. 能力2 ?　會(huì)用參數(shù)方程解決問題 　　【例2】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=4sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα,y=2+tsinα(t為參數(shù)). (1)求曲線C和直線l的普通方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率. 解析?　(1)曲線C的普通方程為x2

9、4+y216=1. 當(dāng)cos α≠0時(shí),l的普通方程為y=xtanα+2-tan α; 當(dāng)cos α=0時(shí),l的普通方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程, 即(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.　① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2. 　　過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是x=x0

10、+tcosα,y=y0+tsinα(t是參數(shù)).注意以下結(jié)論的應(yīng)用: (1)|M1M2|=|t1-t2|; (2)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,則t=t1+t22,中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|=t1+t22; (3)若M0為線段M1M2的中點(diǎn),則t1+t2=0. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線M的參數(shù)方程為x=2+rcosθ,y=1+rsinθ(θ為參數(shù),r>0),曲線N的參數(shù)方程為x=255t,y=1+55t(t為參數(shù),且t≠0). (1)以曲線N上的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù),寫出曲線N的參數(shù)方程; (2)若曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,直線OA與直

11、線OB的斜率之積為43,求r的值. 解析?　(1)將x=255t,y=1+55t消去參數(shù)t,得x-2y+2=0(x≠0),由題意可知k≠12. 由x-2y+2=0,y=kxk≠12,得x=22k-1,y=2k2k-1k≠12. 故曲線N的參數(shù)方程為x=22k-1,y=2k2k-1k為參數(shù), 且k≠12. (2)由曲線M的參數(shù)方程得其普通方程為(x-2)2+(y-1)2=r2, 將x=22k-1,y=2k2k-1代入上式, 整理得(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0. 因?yàn)橹本€OA與直線OB的斜率之積為43,所以17-r216-4r2=43,解得r2=1.

12、又r>0,所以r=1. 將r=1代入(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0,得12k2-28k+16=0,滿足Δ>0,故r=1. 能力3 ?　會(huì)解極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題 　　【例3】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=a-22t,y=1+22t(t為參數(shù),a∈R),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+2cos θ-ρ=0. (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知點(diǎn)P(a,1),曲線C1和曲線C2交于A,B兩點(diǎn),且|PA|·|PB|=4,求實(shí)數(shù)a的值. 解析

13、?　(1)由C1的參數(shù)方程消去t得其普通方程為x+y-a-1=0. 由C2的極坐標(biāo)方程得ρ2cos2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C2的直角坐標(biāo)方程為y2=2x. (2)將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2:y2=2x,得t2+42t+2(1-2a)=0, 由Δ>0得a>-32. 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1t2=2(1-2a). 由題意得|PA|·|PB|=|t1t2|=|2(1-2a)|=4, 解得a=-12或a=32,滿足Δ>0, 所以實(shí)數(shù)a的值為-12或32. 　　涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求

14、解.當(dāng)然,還要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程方便. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+25cosα,y=4+25sinα(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為θ=π3(ρ∈R). (1)求C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π6(ρ∈R),設(shè)C2與C1的交點(diǎn)為O,M,C3與C1的交點(diǎn)為O,N,求△OMN的面積. 解析?　(1)將曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)α,得其普通方程為(x-2)2+(y-4)2=20,即x2+y2-4x-8y=0. 把x=ρcosθ,y=ρsinθ代

15、入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0, 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ+8sin θ. 由直線C2的極坐標(biāo)方程得其直角坐標(biāo)方程為y=3x. (2)設(shè)M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),分別將θ1=π3,θ2=π6代入ρ=4cos θ+8sin θ, 得ρ1=2+43,ρ2=4+23. 則△OMN的面積S=12ρ1ρ2sin(θ1-θ2) =12×(2+43)×(4+23)×sinπ6=8+53. 1.在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為O,已知曲線C1:ρ=2,曲線C2:ρsinθ-π4=2. (1)試判斷曲線C1與曲線C2的位置關(guān)系; (2)若曲線C1與曲線C2

16、交于A,B兩點(diǎn),求過點(diǎn)C(1,0)且與直線AB平行的直線l的極坐標(biāo)方程. 解析?　(1)∵ρ=2,∴x2+y2=4. 由ρsinθ-π4=2,可得ρsinθ-ρcosθ=2,即x-y+2=0. 圓心(0,0)到直線x-y+2=0的距離d=22=2<2,∴曲線C1與曲線C2相交. (2)∵曲線C2的斜率為1,∴過點(diǎn)(1,0)且與曲線C2平行的直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x-1, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ-1,即ρcosθ+π4=22. 2.已知曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C經(jīng)過伸縮變換x'=13x,y'

17、=12y后得到曲線C'. (1)求曲線C'的普通方程; (2)若點(diǎn)A在曲線C'上,點(diǎn)B(3,0),當(dāng)點(diǎn)A在曲線C'上運(yùn)動(dòng)時(shí),求AB中點(diǎn)P的軌跡方程. 解析?　(1)將x=3cosθ,y=2sinθ代入x'=13x,y'=12y,得C'的參數(shù)方程為x'=cosθ,y'=sinθ, 所以曲線C'的普通方程為x2+y2=1. (2)設(shè)P(x,y),A(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)B(3,0),且AB的中點(diǎn)為P,所以x0=2x-3,y0=2y. 又點(diǎn)A在曲線C'上,代入C'的普通方程x2+y2=1,得(2x-3)2+(2y)2=1, 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x-322+y2=14. 3.已知直線

18、l的參數(shù)方程為x=1+12t,y=3+3t(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為sin θ-3ρcos2θ=0. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)寫出直線l與曲線C交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 解析?　(1)由x=1+12t,y=3+3t消去參數(shù)t,得y=23x-3,即直線l的普通方程為y=23x-3. ∵sin θ-3ρcos2θ=0,∴ρsin θ-3ρ2cos2θ=0,得y-3x2=0, 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=3x2. (2)將x=1+12t,y=3+3t代入y=3x2,得3+3t-31+12t2=0,解得t=

19、0, ∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3), ∴交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為2,π3. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=-1+22t,y=1+22t(t為參數(shù)),圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線l及圓C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求cos∠AOB的值. 解析?　(1)由直線l的參數(shù)方程x=-1+22t,y=1+22t得其普通方程為y=x+2, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ+2,即ρsinθ-ρcosθ=2. 又∵圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5, 將x

20、=ρcosθ,y=ρsinθ代入并化簡(jiǎn)得ρ=4cos θ+2sin θ, ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ+2sin θ.　　　 (2)將ρsinθ-ρcosθ=2與ρ=4cos θ+2sin θ聯(lián)立, 得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2, 整理得sin θcosθ=3cos2θ,∴θ=π2或tan θ=3. 不妨記點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的極角為π2,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極角為θ,且tan θ=3. ∴cos∠AOB=cosπ2-θ=sin θ=31010. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為x=2+2cosα,y=2sinα(α為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的

21、原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=3. (1)求圓C1圓心的極坐標(biāo); (2)設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為A,B,求△AOB的面積. 解析?　(1)由曲線C1的參數(shù)方程x=2+2cosα,y=2sinα(α為參數(shù)),消去參數(shù),得C1的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0, ∴C1的圓心坐標(biāo)(2,0)在x軸的正半軸上,∴圓心的極坐標(biāo)為(2,0). (2)由C1的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ(ρ>0). 由方程組ρ=4cosθ,ρsinθ=3得4sin θcosθ=3,解得sin 2θ=32. ∴θ=kπ+π6(k∈Z)或θ=kπ+π

22、3(k∈Z), ∴ρ=23或ρ=2. ∴C1和C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A23,kπ+π6,B2,kπ+π3(k∈Z). ∴S△AOB=12|AO||BO|sin∠AOB=12×23×2×sinπ6=3. 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3+2cosα,y=1+2sinα(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.在極坐標(biāo)系中有射線l:θ=π4(ρ≥0)和曲線C2:ρ(sin θ+2cos θ)=ρ2cos2θ+m. (1)判斷射線l和曲線C1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù); (2)若射線l與曲線C2 交于A,B兩點(diǎn),且滿足|OA|=|AB|,求實(shí)數(shù)m的值. 解

23、析?　(1)由題意得射線l的直角坐標(biāo)方程為y=x(x≥0),曲線C1是以(3,1)為圓心,2為半徑的圓,其直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+(y-1)2=2. 聯(lián)立y=x(x≥0),(x-3)2+(y-1)2=2,解得x=2,y=2, 故射線l與曲線C1有一個(gè)公共點(diǎn)(2,2).　　 (2)將θ=π4代入曲線C2的方程, 得ρsinπ4+2cosπ4=ρ2cos2π4+m, 即ρ2-32ρ+2m=0. 由題知Δ=(32)2-8m>0,m>0,解得0