（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題6 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列檢測

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1、6.3　等比數(shù)列 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.理解等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系. 2018浙江,10 等比數(shù)列的概念 不等式 ★★★ 2015浙江文,10 等比數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題. 2017浙江,22 等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用 不等式證明 ★★★ 2016浙江文,17 等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用 數(shù)列求和 分析解讀　　1.考查等比

2、數(shù)列的定義與判定,通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求解,等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí). 2.預(yù)計(jì)2020年高考試題中,對等比數(shù)列的考查仍以概念、性質(zhì)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等基本量為主,以中檔題形式出現(xiàn),復(fù)習(xí)時(shí)要足夠重視. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.(2018浙江嘉興高三期末,11)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an},若a1=1,a5=9,則a3=　　　　,公比q=　　　　.? 答案　3;± 2.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,11)我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個(gè)問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每

3、天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述問題的已知條件,可求得該女子第1天織布的尺數(shù)為　　　　　.? 答案　 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.(2018浙江溫州適應(yīng)性測試,5)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為A,B,C,則(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.A+B=C B.B2=AC C.(A+B)-C=B2 D.(B-A)2=A(C-B) 答案　D　 2.(2018浙江杭州二中期中,6)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,log2a3+lo

4、g2a7=2,則T9的值為(　　) A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024 答案　B　 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　等比數(shù)列中“基本量法”的解題方法 1.(2018浙江金華十校期末,6)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是(　　) A.若a5>0,則a2 017<0 B.若a6>0,則a2 018<0 C.若a5>0,則S2 017>0 D.若a6>0,則S2 018>0 答案　C　 2.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,11)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前3項(xiàng)的和為13,且a2>a1,則數(shù)列{an}的公比為　　　

5、　,數(shù)列{log3an}的前10項(xiàng)和為　　　　.? 答案　3;45 方法2　等比數(shù)列的判定方法 1.在數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an+2(n∈N*). (1)求證:{an+2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,Sn=b1+b2+b3+…+bn,證明:對任意n∈N*,都有≤Sn<. 解析　(1)由an+1=2an+2(n∈N*),得an+1+2=2(an+2), 又∵a1=3,∴a1+2=5, ∴{an+2}是首項(xiàng)為5,公比為2的等比數(shù)列, ∴an+2=5×2n-1,∴an=5×2n-1-2. (2)證明:由(1)可得bn=, ∴Sn=,

6、① Sn=,② ①-②可得Sn= ==. ∴Sn<,又∵Sn+1-Sn=bn+1=>0, ∴數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增,Sn≥S1=, ∴對任意n∈N*,都有≤Sn<. 2.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=(n∈N*),設(shè)bn=a2n-1. (1)求b2,b3,并證明bn+1=2bn+2; (2)①證明:數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列; ②若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值. 解析　(1)b2=a3=2a2=2(a1+1)=4, b3=a5=2a4=2(a3+1)=10. 同理,bn+1=a2n+1=2a2n=2(a2n-1+1)=2(bn

7、+1)=2bn+2. (2)①證明:==2,則數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列. ②由已知得,b1=a1=1,由①得bn+2=3×2n-1,所以bn=3×2n-1-2,即a2n-1=3×2n-1-2, 則a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1. 因?yàn)閍2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列, 所以(3×2k-2)2=(3×2k-1-1)(3×2k+8),令2k=t, 得(3t-2)2=(3t+8),整理得3t2-14t+8=0, 解得t=或4.因?yàn)閗∈N*,所以2k=4,得k=2. 過專題 【五年高考】 A組　自主命題·浙江卷題組 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及

8、運(yùn)算 　(2015浙江文,10,6分)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=　　　　,d=　　　　.　? 答案　;-1 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4 答案　B　 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及

9、運(yùn)算 1.(2017課標(biāo)全國Ⅱ理,3,5分)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 答案　B　 2.(2014重慶,2,5分)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列 C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3

10、,a6,a9成等比數(shù)列 答案　D　 3.(2017課標(biāo)全國Ⅲ理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 =　　　　.? 答案　-8 4.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　.? 答案　64 5.(2018課標(biāo)全國Ⅲ文,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. 解析　本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式. (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an

11、=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 解后反思　等比數(shù)列基本量運(yùn)算問題的常見類型及解題策略: (1)求通項(xiàng).求出等比數(shù)列的兩個(gè)基本量a1和q后,通項(xiàng)便可求出. (2)求特定項(xiàng).利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解. (3)求公比.利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)建立方程(組)求解. (4)求前n項(xiàng)和.直接將基本量代

12、入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解. 6.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 解析　(1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2). 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,數(shù)列{an}

13、是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n. (2)由(1)得=. 所以Tn=++…+==1-. 評析　本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.(2015課標(biāo)Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 答案　B　 2.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　C　 3.(201

14、7江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=　　　　.? 答案　32 4.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于　　　　.? 答案　2n-1 5.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　.? 答案　3n-1 6.(2014安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　.? 答案　1 C組　教師專用題

15、組 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.(2018北京理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.f B.f C.f D.f 答案　D　 2.(2014江蘇,7,5分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　.? 答案　4 3.(2014

16、天津,11,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為　　　　.? 答案　- 4.(2018課標(biāo)全國Ⅰ文,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列,并說明理由; (3)求{an}的通項(xiàng)公式. 解析　(1)由條件可得an+1=an. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首項(xiàng)為1,

17、公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得=,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1. 方法規(guī)律　等比數(shù)列的判定方法: 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法,通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法只用于選擇題、填空題中的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可. 5.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求λ. 解析　(1)由題意得a1=S1=1+λ

18、a1, 故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分) 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=·.(6分) (2)由(1)得Sn=1-. 由S5=得1-=,即=. 解得λ=-1.(12分) 思路分析　(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是不是一常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出λ. 6.(2016四川,19,12分)

19、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+…+en>. 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得 2a3=3a2+2

20、,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 因?yàn)閝>0,所以q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-=1的離心率en==. 由e2==,解得q=. 因?yàn)?+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=, 故e1+e2+…+en>. 疑難突破　由(1)可得en=,因?yàn)樗C的不等式左邊是e1+e2+…+en,直接求和不行,利用放縮法得en=>=qn-1,從而得e1+e2+…+en>q0+q1+…+qn-1,化簡即可. 評析　本題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多,由

21、遞推思想推出數(shù)列{an}是等比數(shù)列,由等差中項(xiàng)求出q,由放縮法證明不等式成立.綜合性較強(qiáng). 7.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明++…+<. 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3. 又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列. an+=,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)證明:由(1)知=. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3n-1,所以≤. 于是++…+≤1++…+=<. 所以++…+<. 評析　本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放

22、縮求和是本題的難點(diǎn). 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.? 答案　50 【三年模擬】 一、選擇題(每小題4分,共24分) 1.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學(xué)質(zhì)量檢測,4)已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=-2a2,則公比q=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案　A　 2.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,3)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3

23、,S4=15,則S3=(　　) A.7 B.-9 C.7或-9 D. 答案　C　 3.(2019屆鎮(zhèn)海中學(xué)期中考試,8)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得am·an=16,則+的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　C　 4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-3 B.5 C.-31 D.33 答案　D　 5.(2018浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考(4月),6)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則“2

24、a5>a3+a7”是“S2n-1<0”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A　 6.(2018浙江新高考調(diào)研卷四(金華一中),7)如圖,在半徑r=1的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設(shè)Sn為前n個(gè)圓的面積之和,取正數(shù)ξ=3π,若|Sn-4π|<ξ,則n的取值為(　　) A.大于100的所有正整數(shù) B.大于100的有限個(gè)正整數(shù) C.不大于100的所有正整數(shù) D.不大于100的有限個(gè)正整數(shù) 答案　A　 二、填空題(單空題4分,多空題6分,共12

25、分) 7.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,14)在從100到999的所有三位數(shù)中,百位、十位、個(gè)位數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的有　　　　個(gè);構(gòu)成等比數(shù)列的有　　　　個(gè).? 答案　41;17 8.(2018浙江杭州高考教學(xué)質(zhì)量檢測,12)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S4=80,S2=8,則公比q=　　　　,a5=　　　　.? 答案　3;162 三、解答題(共20分) 9.(2019屆浙江“超級全能生”9月聯(lián)考,20)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=nan-n(n-1)且a2=3.數(shù)列{bn}為非負(fù)的等比數(shù)列,且滿足a1b3=4,b2b7=16b4. (1)

26、求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Cn,求數(shù)列{nCn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析　(1)由題意得Sn=nan-n(n-1)①, 則當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2)②, ①-②得an-an-1=2,當(dāng)n=2時(shí),S2=2a2-2,又因?yàn)镾2=a1+a2,a2=3,所以a1=1, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列, 所以an=2n-1. 因?yàn)閍1b3=4,所以b3=4, 因?yàn)閎2b7=b4b5,bn>0,b2b7=16b4,所以b5=16, 所以q2==4,又q>0,所以q=2,所以bn=b3qn-3=2

27、n-1. (2)由(1)得Cn==2n-1, 所以nCn=n·2n-n, 設(shè)A=1×2+2×22+…+n×2n, 所以2A=1×22+2×23+…+n×2n+1, 兩式相減得A=(n-1)2n+1+2, 設(shè)B=1+2+…+n=, 所以Tn=A-B=(n-1)2n+1+2-. 10.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,22)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,試求數(shù)列{S2n-Sn}的最小值; (3)在(2)的條件下,求證:當(dāng)n≥2時(shí),≥. 解析　(1)由條件an+1=2an得=2·,又a1=2,所以=2,因此數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,從而=2·2n-1=2n, 因此an=n·2n. (2)由(1)得bn=,設(shè)cn=S2n-Sn, 則cn=++…+, 所以cn+1=++…+++, 從而cn+1-cn=+->+-=0,即cn+1>cn, 因此數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增的,所以(cn)min=c1=. (3)證明:當(dāng)n≥2時(shí),=(-)+(-)+…+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=++…+c2+c1+S1,由(2)知≥≥…≥c2,又c1=,S1=1,c2=,所以≥(n-1)c2+c1+S1=(n-1)+ +1=. 14