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1、大題精做15 函數(shù)與導數(shù)：極值點不可求與構(gòu)造
[2019·廈門三中]已知函數(shù)，．
（1）討論的極值；
（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）當時，無極值；當時，有極大值，無極小值；
（2）．
【解析】（1）依題意，
①當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；
②當時，，
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減，
所以，無極小值．
綜上可知，當時，無極值；當時，有極大值，無極小值．
（2）原不等式可化為，
記，只需，可得．
①當時，，，所以，在上單調(diào)遞增，所以當時，，不合題意，舍去．
②當時，，
（i）當時，因為，所以，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
2、故當時，，符合題意．
（ii）當時，記，
所以，在上單調(diào)遞減．
又，，
所以存在唯一，使得．
當時，，
從而，即在上單調(diào)遞增，
所以當時，，不符合要求，舍去．
綜上可得，．
1．[2019·黃山一模]已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）證明：當時，不等式成立．
2．[2019·榆林一模]已知函數(shù)．
（1）設(shè)，求的最大值及相應的值；
（2）對任意正數(shù)恒有，求的取值范圍．
3、
3．[2019·張家口期末]已知函數(shù)．
（1）若，使得恒成立，求的取值范圍．
（2）設(shè)，為函數(shù)圖象上不同的兩點，的中點為，
求證：．
1．【答案】（1）；（2）見解析．
【解析】（1）由題意知，當時，，解得，
又，，即曲線在點處的切線方程為．
（2）證明：當時，得，
要證明不等式成立，即證成立，
即證成立，即證成立，
令，，易知，，
由，知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，
所以成立，即原不等式成立．
2．【答案】（1）當時，取得最大值；（2）．
【解析】（
4、1）∵，∴，
∴，
則，
∵的定義域為，∴，
①當時，；②當時，；③當時，，
因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
故當時，取得最大值．
（2）由（1）可知，，
不等式可化為①
因為，所以（當且僅當取等號），
設(shè)，則把①式可化為，即（對恒成立），
令，此函數(shù)在上是增函數(shù)，所以的最小值為，
于是，即．
3．【答案】（1）；（2）見解析．
【解析】（1）恒成立，即恒成立，
令，，
由于，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故，解得．
（2）證明：因為為的中點，則，
故，
，故要證，即證，
由于，即證．
不妨假設(shè)，只需證明，即．
設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，則，
則有，從而．
7
2019高考數(shù)學三輪沖刺 大題提分 大題精做15 函數(shù)與導數(shù)：極值點不可求與構(gòu)造 理
