（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程檢測 文

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1、第2講 參數(shù)方程 [基礎題組練] 1．在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)． (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大?。? 解：(1)當α＝時，直線l的普通方程為x＝－1； 當α≠時，直線l的普通方程為y＝(x＋1)tan α. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x， 即為曲線C的直角坐標方程． (2)把x＝－1＋tcos α，y＝ts

2、in α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0. 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝， 所以cos α＝或cos α＝－， 故直線l的傾斜角α為或. 2．以極點為原點，以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝10，曲線C′的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)判斷兩曲線C和C′的位置關系； (2)若直線l與曲線C和C′均相切，求直線l的極坐標方程． 解：(1)由ρ＝10得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝100， 由得曲線C′的普通方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝25. 曲線C表示以(0，0)為圓心，10為半徑的圓； 曲

3、線C′表示以(3，－4)為圓心，5為半徑的圓． 因為兩圓心間的距離5等于兩圓半徑的差，所以圓C和圓C′的位置關系是內切． (2)由(1)建立方程組 解得可知兩圓的切點坐標為(6，－8)，且公切線的斜率為， 所以直線l的直角坐標方程為y＋8＝(x－6)， 即3x－4y－50＝0， 所以極坐標方程為3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0. 3．(2019·湘東五校聯(lián)考)平面直角坐標系xOy中，傾斜角為α的直線l過點M(－2，－4)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝2cos θ. (1)寫出直線l的參數(shù)方程(α為常數(shù))和曲線C的直

4、角坐標方程； (2)若直線l與C交于A，B兩點，且|MA|·|MB|＝40，求傾斜角α的值． 解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得曲線C的直角坐標方程為y2＝2x. (2)把直線l的參數(shù)方程代入y2＝2x，得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0， 設A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2， 由一元二次方程根與系數(shù)的關系得，t1＋t2＝，t1t2＝， 根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝. 又Δ

5、＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0， 所以α＝. 4．(2019·湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程； (2)設P為曲線C1上的動點，求點P到C2的距離的最大值，并求此時點P的坐標． 解：(1)曲線C1的普通方程為＋y2＝1， 由ρsin＝，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲線C2的直角坐標方程為x＋y－2＝0. (2)設點P的坐標為(cos α，sin α)， 則點P到C2的距離為

6、 ＝， 當sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，α＝－＋2kπ(k∈Z)時，所求距離最大，最大值為2， 此時點P的坐標為. [綜合題組練] 1．(2019·鄭州市第一次質量測試)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1，0)，傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ＝. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若α＝，設直線l與曲線C交于A，B兩點，求△AOB的面積． 解：(1)由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 因為ρ＝，所以ρsin2θ＝8cos θ，所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.

7、 (2)法一：當α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝8，t1·t2＝－16， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8. 又點O到直線AB的距離d＝1×sin＝， 所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2. 法二：當α＝時，直線l的方程為y＝x－1， 設M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2＝8(y＋1)， 即y2－8y－8＝0， 由根與系數(shù)的關系得 S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2. 2．(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐

8、標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，＜α＜)． 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

9、 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，＜α＜)． 3．(2019·惠州市第二次調研)已知曲線C：(α為參數(shù))和定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線AF2的極坐標方程； (2)經過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求||MF1|－|NF1||的值． 解：(1)曲線C：可化為＋＝1，故曲線C為橢圓， 則焦點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 所以經過點A(0，)和F2(1，0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y－＝0， 所以直線AF2的極坐標方程為

10、ρcos θ＋ρsin θ＝. (2)由(1)知，直線AF2的斜率為－，因為l⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入橢圓C的方程中，得13t2－12t－36＝0. 因為點M，N在點F1的兩側，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 4．(綜合型)(2019·南昌市第一次模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a，1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (

11、2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)a的值． 解：(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為， 所以其普通方程為x－y－a＋1＝0. 因為曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)設A，B兩點所對應的參數(shù)分別為t1，t2， 由， 得2t2－2t＋1－4a＝0. Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0， 即a>0，由根與系數(shù)的關系得 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|， 即t1＝2t2或t1＝－2t2. 所以當t1＝2t2時，有， 解得a＝>0，符合題意． 當t1＝－2t2時，有， 解得a＝>0，符合題意． 綜上所述，實數(shù)a的值為或. 6