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1、考點規(guī)范練14 導數的概念及運算
一、基礎鞏固
1.已知函數f(x)=3x+1,則limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx的值為( )
A.-13 B.13 C.23 D.0
答案A
解析limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx→0f(1-Δx)-f(1)-Δx
=-f'(1)=-13×1-23=-13.
2.已知曲線y=ln x的切線過原點,則此切線的斜率為( )
A.e B.-e C.1e D.-1e
答案C
解析由題意可得y=lnx的定義域為(0,+∞),且y'=1x.
設切點為(x0,lnx0),則切
2、線方程為y-lnx0=1x0(x-x0).
因為切線過點(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切線的斜率為1e.
3.已知函數f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是( )
A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3
答案C
解析令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,
∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求
3、切線方程為y-1=3(x-1),
即y=3x-2.
4.
已知y=f(x)是可導函數,如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導函數,則g'(3)=( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
答案B
解析由題圖可知曲線y=f(x)在x=3處切線的斜率等于-13,故f'(3)=-13.
∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),
∴g'(3)=f(3)+3f'(3).
又由題圖可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×-13=0.
5.曲線f(x)=x3-x+3在點P處的切線平行于直線y=
4、2x-1,則點P的坐標為( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
答案C
解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.
設點P(x,y),則f'(x)=2,
即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,
故P(1,3)或(-1,3).
經檢驗,點(1,3),(-1,3)均不在直線y=2x-1上,符合題意.故選C.
6.已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A(1,2),則ab等于( )
A.-8 B.-6 C.-1 D.5
答案A
解析由題意得y=kx+1過點A(1,2),故2=k+1,即k=1.
5、
∵y'=3x2+a,且直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A(1,2),
∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.
將點A(1,2)代入曲線方程y=x3+ax+b,可解得b=3,
即ab=(-2)3=-8.故選A.
7.若函數y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質.下列函數中具有T性質的是( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
答案A
解析設曲線上兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),
則由導數幾何意義可知,兩條切線的斜率分別為k1=f'(x1),k2=f'(x2).
6、
若函數具有T性質,則k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.
A項,f'(x)=cosx,顯然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有無數組解,所以該函數具有性質T;
B項,f'(x)=1x(x>0),顯然k1·k2=1x1·1x2=-1無解,故該函數不具有性質T;
C項,f'(x)=ex>0,顯然k1·k2=ex1·ex2=-1無解,故該函數不具有性質T;
D項,f'(x)=3x2≥0,顯然k1·k2=3x12×3x22=-1無解,故該函數不具有性質T.
綜上,選A.
8.若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的距離的最小值為( )
A.
7、1 B.2 C.22 D.3
答案B
解析因為定義域為(0,+∞),所以y'=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,則曲線在點P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以兩平行線間的距離為d=22=2.故所求的最小值為2.
9.(2018天津,文10)已知函數f(x)=exln x,f'(x)為f(x)的導函數,則f'(1)的值為 .?
答案e
解析∵f(x)=exlnx,∴f'(x)=exlnx+exx.
∴f'(1)=eln1+e1=e.
10.曲線y=log2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積等于 .?
答案12log2e
解析∵y'=
8、1xln2,∴k=1ln2,∴切線方程為y=1ln2(x-1),
∴所圍三角形的面積為S=12×1×1ln2=12ln2=12log2e.
11.(2018甘肅天水月考)設函數f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為 .?
答案4
解析由導數的幾何意義及條件,得g'(1)=2,
∵函數f(x)=g(x)+x2,
∴f'(x)=g'(x)+2x,
∴f'(1)=g'(1)+2=4,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為4.
12.若函數f(x)=12x2
9、-ax+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數a的取值范圍是 .?
答案[2,+∞)
解析∵f(x)=12x2-ax+lnx,
∴f'(x)=x-a+1x.
∵f(x)存在垂直于y軸的切線,
∴f'(x)存在零點,∴x+1x-a=0有解,
∴a=x+1x≥2(x>0).
二、能力提升
13.若函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可能是( )
答案D
解析由y=f'(x)的圖象知y=f'(x)在(0,+∞)內單調遞減,說明函數y=f(x)的切線的斜率在(0,+∞)內也單調遞減,故可排除A,C.
又由圖象知y
10、=f'(x)與y=g'(x)的圖象在x=x0處相交,
說明y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故可排除B.故選D.
14.若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+154x-9都相切,則a等于( )
A.-1或-2564 B.-1或214
C.-74或-2564 D.-74或7
答案A
解析因為y=x3,所以y'=3x2.
設過點(1,0)的直線與y=x3相切于點(x0,x03),
則在該點處的切線斜率為k=3x02,所以切線方程為y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.
又點(1,0)在切線上,
則x0=0或x
11、0=32.
當x0=0時,由y=0與y=ax2+154x-9相切,
可得a=-2564;
當x0=32時,由y=274x-274與y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.
15.(2018安徽六安模擬)給出定義:設f'(x)是函數y=f(x)的導函數,f″(x)是函數f'(x)的導函數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.已知函數f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐點”是M(x0,f(x0)),則點M( )
A.在直線y=-3x上 B.在直線y=3x上
C.在直線y=-4x上 D.在直線y=4x上
答案B
解
12、析由題意,知f'(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,
由f″(x0)=0,知-4sinx0+cosx0=0,
即4sinx0-cosx0=0,
所以f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,
即點M(x0,3x0),顯然在直線y=3x上.故選B.
16.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,則函數h(x)=2f(x)-g(x)在點(0,h(0))處的切線方程是 .?
答案x-y+4=0
解析∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,
13、
∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.
∴f(x)=ex+e-x+2x2+22,g(x)=e-x-ex2.
∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2
=32ex+12e-x+2x2+2.
∴h'(x)=32ex-12e-x+4x,
即h'(0)=32-12=1.
又h(0)=4,∴切線方程為x-y+4=0.
三、高考預測
17.設曲線y=xex+x2在原點處的切線與直線x+ay+1=0垂直,則a= .?
答案1
解析由y=xex+x2得y'=ex+xex+2x,
在原點處的切線的斜率k1=e0+0·e0+0=1,
直線x+ay+1=0的斜率k2=-1a,
由題意知k1k2=-1a×1=-1?a=1.
7
廣西2020版高考數學一輪復習 考點規(guī)范練14 導數的概念及運算 文
