（新課標(biāo) 全國I卷）2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題11 數(shù)列（2）文（含解析）

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1、專題11 數(shù)列（2） 數(shù)列大題：10年8考，若解答題考數(shù)列大題，則解三角形題一般考一道小題，若解答題考解三角形大題，則數(shù)列一般考兩道小題．?dāng)?shù)列一般考查通項、求和．?dāng)?shù)列應(yīng)用題已經(jīng)多年不考了，總體來說數(shù)列的地位已經(jīng)降低，題目難度小． 1．（2019年）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通項公式； （2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． 【解析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d， 若S9＝﹣a5，則S9＝＝9a5＝﹣a5，變形可得a5＝0，即a1+4d＝0， 若a3＝4，則d＝＝﹣2， 則an＝a3+（n

2、﹣3）d＝﹣2n+10， （2）若Sn≥an，則na1+d≥a1+（n﹣1）d， 當(dāng)n＝1時，不等式成立， 當(dāng)n≥2時，有≥d﹣a1，變形可得（n﹣2）d≥﹣2a1， 又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，則有a5＝0，即a1+4d＝0，則有（n﹣2）≥﹣2a1， 又由a1＞0，則有n≤10， 則有2≤n≤10， 綜合可得：n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N}． 2．（2018年）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，設(shè)bn＝． （1）求b1，b2，b3； （2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； （3）求{an}的通項公式．

3、 【解析】（1）數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an， 則：（常數(shù)）， 由于， 故：， 數(shù)列{bn}是以b1為首項，2為公比的等比數(shù)列． 整理得：， 所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4． （2）數(shù)列{bn}是為等比數(shù)列， 由于（常數(shù)）； （3）由（1）得：， 根據(jù)， 所以：． 3．（2017年）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝﹣6． （1）求{an}的通項公式； （2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列． 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}首項為a1，公比為q， 則a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，則a1

4、＝＝，a2＝＝， 由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2， 則a1＝﹣2，an＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n， ∴{an}的通項公式an＝（﹣2）n； （2）由（1）可知：Sn＝＝＝[2+（﹣2）n+1]， 則Sn+1＝[2+（﹣2）n+2]，Sn+2＝[2+（﹣2）n+3]， 由Sn+1+Sn+2＝[2+（﹣2）n+2] [2+（﹣2）n+3]， ＝[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]， ＝[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]， ＝2Sn， 即Sn+1+Sn+2＝2Sn， ∴Sn+1，Sn，

5、Sn+2成等差數(shù)列． 4．（2016年）已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn+1+bn+1＝nbn． （1）求{an}的通項公式； （2）求{bn}的前n項和． 【解析】（1）∵anbn+1+bn+1＝nbn． 當(dāng)n＝1時，a1b2+b2＝b1． ∵b1＝1，b2＝， ∴a1＝2， 又∵{an}是公差為3的等差數(shù)列， ∴an＝3n﹣1， （2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1＝nbn． 即3bn+1＝bn． 即數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列， ∴{bn}的前n項和Sn＝＝＝． 5．（2014年）已知{a

6、n}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根． （1）求{an}的通項公式； （2）求數(shù)列{}的前n項和． 【解析】（1）方程x2﹣5x+6＝0的根為2，3．又{an}是遞增的等差數(shù)列， 故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d＝， 故an＝2+（n﹣2）×＝n+1， （2）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Sn， Sn＝，① Sn＝，② ①﹣②得Sn＝＝， 解得Sn＝＝2﹣． 6．（2013年）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝﹣5． （1）求{an}的通項公式； （2）求數(shù)列{}的前n項和． 【解析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為

7、d，則． 由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1， 故{an}的通項公式為an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）?（﹣1）＝2﹣n； （2）由（1）知． 從而數(shù)列{}的前n項和Sn＝ ＝． 7．（2011年）已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝． （1）Sn為{an}的前n項和，證明：Sn＝； （2）設(shè)bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式． 【解析】（1）∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝，q＝， ∴an＝×＝， Sn＝， 又∵＝＝Sn， ∴Sn＝． （2）∵an＝， ∴bn＝log3a1+log3a2+…+log

8、3an＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） ＝﹣（1+2+…+n） ＝， ∴數(shù)列{bn}的通項公式為：bn＝． 8．（2010年）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝﹣9． （1）求{an}的通項公式； （2）求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值． 【解析】（1）由an＝a1+（n﹣1）d及a3＝5，a10＝﹣9得 a1+9d＝﹣9，a1+2d＝5， 解得d＝﹣2，a1＝9， 數(shù)列{an}的通項公式為an＝11﹣2n． （2）由（1）知Sn＝na1+d＝10n﹣n2． 因為Sn＝﹣（n﹣5）2+25． 所以n＝5時，Sn取得最大值． 6