（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第五章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 考點規(guī)范練26 數系的擴充與復數的引入

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1、考點規(guī)范練26　數系的擴充與復數的引入 基礎鞏固組 1.已知復數z=(1+i)(1-ai)是實數,則實數a的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.0 C.-1 D.±1 答案A 解析∵z=(1+i)(1-ai)=(1+a)+(1-a)i是實數, ∴1-a=0,即a=1,故選A. 2.已知i是虛數單位,則z=i1-2i在復平面內對應的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案B 解析∵z=i1-2i=i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-2+i5=-25+15i, ∴z=i1-2i在復平面內對應的點為-2

2、5,15,位于第二象限,故選B. 3.(2017浙江高考樣卷)已知復數z=1+ii,其中i為虛數單位,則|z|=(　　) A.12 B.22 C.2 D.2 答案C 解析由題意得z=1-i,∴|z|=2,故選C. 4.(2017山東高考)已知a∈R,i是虛數單位,若z=a+3i,z·z=4,則a=(　　) A.1或-1 B.7或-7 C.-3 D.3 答案A 解析由z=a+3i,z·z=4得a2+3=4,所以a=±1,故選A. 5.(2018全國3)(1+i)(2-i)=(　　) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案D 解析(1+i)(2-i)=

3、2+i-i2=3+i. 6.設復數z=52-i(其中i為虛數單位),則復數z的實部為　　　　　,虛部為　　　　　.? 答案2　1 解析∵z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i, ∴復數z的實部為2,虛部為1. 7.(2017浙江嘉興一模改編)設復數z=1-i(i是虛數單位),則2z+z等于. 答案2 解析2z+z=21-i+1-i=2(1+i)(1-i)(1+i)+1-i=1+i+1-i=2. 8.已知i為虛數單位,a∈R,如果復數2i-ai1-i是實數,則a的值為　　　　　.? 答案4 解析依題意,2i-ai1-i=2i-ai(1+i)(1+i)(1-i)

4、=a+(4-a)i2是實數,因此4-a=0,a=4. 能力提升組 9.(2017課標Ⅰ高考)設有下面四個命題 p1:若復數z滿足1z∈R,則z∈R; p2:若復數z滿足z2∈R,則z∈R; p3:若復數z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=z2; p4:若復數z∈R,則z∈R. 其中的真命題為(　　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案B 解析令z=a+bi(a,b∈R),則由1z=1a+bi=a-bia2+b2∈R得b=0,所以z∈R,故p1正確;當z=i時,因為z2=i2=-1∈R,而z=i?R知,p2不正確;當z1=z2=i時,滿足z1

5、z2=-1∈R,但z1≠z2,知p3不正確;對于p4,因為實數沒有虛部,所以它的共軛復數是它本身,也屬于實數,故p4正確,故選B. 10.在復平面中,滿足等式|z+i|=|4-3i|的復數z所對應點的軌跡是(　　) A.一條直線 B.兩條直線 C.圓 D.橢圓 答案C 解析設z=x+yi(x,y∈R),代入|z+i|=|4-3i|,得|x+(y+1)i|=|4-3i|,即x2+(y+1)2=42+(-3)2, ∴x2+(y+1)2=5.∴復數z所對應點的軌跡是圓.故選C. 11.已知復數z=1+2i1-i,則1+z+z2+…+z2 019=(　　) A.1+i B.1-i C.

6、i D.0 答案D 解析∵z=1+2i1-i=1+2i(1+i)2=i,∴1+z+z2+…+z2019=1×(1-z2020)1-z=1-i20201-i=1-i4×5051-i=0. 12.已知(z-1+3i)(2-i)=4+3i(其中i是虛數單位,z是z的共軛復數),則z的虛部為(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案A 解析因為(z-1+3i)(2-i)=4+3i, 所以z=4+3i2-i+1-3i=(4+3i)(2+i)5+1-3i=1+2i+1-3i=2-i.所以z=2+i,虛部為1,故選A. 13.已知i是虛數單位,若復數z滿足41+z=1-i,則復數z在

7、復平面上對應的點的坐標是　　　　　,z·z=　　　　　.? 答案(1,2)　5 解析由41+z=1-i,得z=41-i-1=1+2i,則復數z對應的點為(1,2),z·z=|z|2=5. 14.(2017浙江麗水質測)若3+bi1-i=a+bi(a,b為實數,i為虛數單位),則a=　　　　　,b=　　　　　.? 答案0　3 解析∵3+bi1-i=(3+bi)(1+i)2=12[(3-b)+(3+b)i]=3-b2+3+b2i.∴a=3-b2,b=3+b2,解得a=0,b=3. 15.已知i是虛數單位,a∈R,復數z1=3-ai,z2=1+2i,若z1·z2是純虛數,則a=　　　

8、　　.? 答案-32 解析∵復數z1=3-ai,z2=1+2i, ∴z1·z2=(3-ai)(1+2i)=3+2a+(6-a)i是純虛數, ∴3+2a=0,6-a≠0,解得a=-32. 16.復數z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點. (1)求DC所對應的復數; (2)這個正方形的第四個頂點對應的復數. 解(1)如圖,z1,z2,z3分別對應點A,B,C. ∵AB=OB-OA, ∴AB所對應的復數為z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i. 在正方形ABCD中,DC=AB, ∴DC所對應的復數為-3-

9、i. (2)∵DC=OC-OD, ∴OD=OC-DC所對應的復數為z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i. ∴第四個頂點對應的復數為2-i. 17.設復數z滿足4z+2z=33+i,ω=sin θ-icos θ. (1)求z的值; (2)求|z-ω|的取值范圍. 解(1)設z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi. 代入4z+2z=33+i,得4(a+bi)+2(a-bi)=33+i, 即6a+2bi=33+i.∴a=32,b=12.∴z=32+12i. (2)|z-ω|=32+12i-(sinθ-icosθ) =32-sinθ2+12+cosθ2=2-2sinθ-π6. ∵-1≤sinθ-π6≤1, ∴0≤2-2sinθ-π6≤4.∴0≤|z-ω|≤2. 4