（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（八）理（含解析）

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1、素養(yǎng)提升練(八) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．(2019·銀川質(zhì)檢)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，∴x＝1,2,3，y＝1,2,3， 當(dāng)x＝1時(shí)，x－y＝0，－1，－2；當(dāng)x＝2時(shí)，x－y＝1,

2、0，－1；當(dāng)x＝3時(shí)，x－y＝2,1,0. 即x－y＝－2，－1,0,1,2，即B＝{－2，－1,0,1,2}，共有5個(gè)元素，故選B. 2．(2019·西安適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)復(fù)數(shù)z＝，f(x)＝x2－x＋1，則f(z)＝(　　) A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i 答案　A 解析　∵z＝＝＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故選A. 3．(2019·榆林二模)某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)產(chǎn)生的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002，…，599,600.從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行； 32 2

3、1 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若從表中第6行第6列開(kāi)始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是(　　) A．522 B．324 C．535 D．578 答案　D 解

4、析　從表中第6行第6列開(kāi)始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，開(kāi)始的數(shù)為608不合適，436合適，767不合適，535,577,348合適，994,837不合適，522合適，535與前面的數(shù)字重復(fù)，不合適，578合適．則滿足條件的6個(gè)編號(hào)為436,535,577,348,522,578，則第6個(gè)編號(hào)為578.故選D. 4．(2019·南陽(yáng)一中模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋2a10＝4，則S13＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 答案　A 解析　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d， ∴a3＋a5＋2a10＝4可轉(zhuǎn)化為4a1＋24d＝4，即a1＋6d＝1

5、， ∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝13，故選A. 5．(2019·淮北一中模擬)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，則λ的取值范圍為(　　) A. B.∪(2，＋∞) C. D．(－2,2) 答案　B 解析　a·b＝－2λ－1，∵a，b的夾角為鈍角， ∴a·b<0，且a，b不平行． ∴解得λ>－，且λ≠2. ∴λ的取值范圍為∪(2，＋∞)．故選B. 6．(2019·南開(kāi)一模)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，f(－3)＝0，則不等式xf(x)<0的解集為(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－∞，

6、－3)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(0,3) 答案　D 解析　∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)，由f(－3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，即f(3)＝0，作出f(x)的草圖，如圖所示： 由圖象，得xf(x)<0?或 解得0

7、36π C．9π D. 答案　B 解析　正四棱錐的高為＝4， 設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝(4－R)2＋(2)2， ∴R＝3，∴球的體積為πR3＝π·33＝36π，故選B. 8．(2019·合肥質(zhì)檢)“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等．某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的.若這堆貨物總價(jià)是100－200n萬(wàn)元，則n的值為(　　)

8、 A．7 B．8 C．9 D．10 答案　D 解析　由題意，第一層貨物總價(jià)為1萬(wàn)元，第二層貨物總價(jià)為2×萬(wàn)元，第三層貨物總價(jià)為3×2萬(wàn)元，…，第n層貨物總價(jià)為n×n－1萬(wàn)元， 設(shè)這堆貨物總價(jià)為W萬(wàn)元，則W＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1， W＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n×n， 兩式相減得W＝－n×n＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝－n×n＋＝－n×n＋10－10×n， 則W＝－10n×n＋100－100×n＝100－200n，解得n＝10，故選D. 9．(2019·大興一模)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為(　　) A. B．2 C．3

9、D．2 答案　B 解析　由三視圖得幾何體原圖是圖中的三棱錐A－BCD， ∴CD＝3，BD＝＝， AB＝＝， AC＝＝3， BC＝＝2， AD＝＝2.∴AD是最長(zhǎng)的棱．故選B. 10．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　A 解析　雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，一條漸近線的方程為y＝x，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為×＝，即△PFO的底邊長(zhǎng)為，高為，所以它的面積為××＝.故選A.

10、11．(2019·南平市三模)已知(1－x＋mx2)6的展開(kāi)式中x4的系數(shù)小于90，則m的取值范圍為(　　) A．(－∞，－5)∪(1，＋∞) B．(－5,1) C.∪ D．(－∞，－)∪(，＋∞) 答案　B 解析　(1－x＋mx2)6的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C(1－x)6－r(mx2)r，r＝0,1，…，6. (1－x)6－r的通項(xiàng)公式為Tl＋1＝C(－x)l，l＝0，1，…，6－r. 令l＋2r＝4，則或或 則展開(kāi)式中x4的系數(shù)為CC＋CCm＋Cm2<90. 即m2＋4m－5<0，解得－5

11、f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上的值域?yàn)椋敲淳头Qy＝f(x)為“半保值函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”，則t的取值范圍為(　　) A. B.∪ C. D. 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”，且定義域?yàn)镽， 由a>1時(shí)，z＝ax＋t2在R上單調(diào)遞增，y＝logaz在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得f(x)為R上的增函數(shù)； 同樣當(dāng)0

12、2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”， ∴y＝loga(ax＋t2)與y＝x的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即loga(ax＋t2)＝x有兩個(gè)不同的根， ∴ax＋t2＝a，ax－a＋t2＝0， 可令u＝a，u>0，即有u2－u＋t2＝0有兩個(gè)不同的正數(shù)根， 可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪.故選B. 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2019·黃山質(zhì)檢)若整數(shù)x，y滿足不等式組則z＝的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　畫(huà)出可行域如下圖所示，依題意只取坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)． 由圖可知，在點(diǎn)(2,1)處，目標(biāo)函

13、數(shù)取得最小值為. 14．(2019·廣州模擬)閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． 答案　[－2，－1] 解析　由題意可知，該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f(x)＝的函數(shù)值． 又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)， ∴x∈[－2，－1]． 15．(2019·福建畢業(yè)考試)某校在科技文化藝術(shù)節(jié)上舉行紙飛機(jī)大賽，A，B，C，D，E五個(gè)團(tuán)隊(duì)獲得了前五名．發(fā)獎(jiǎng)前，老師讓他們各自選擇兩個(gè)團(tuán)隊(duì)，猜一猜其名次： A團(tuán)隊(duì)說(shuō)：C第一，B第二；B團(tuán)隊(duì)說(shuō)：A第三，D第四；C團(tuán)隊(duì)說(shuō)：E第四，D第五；D團(tuán)隊(duì)說(shuō)：B第三，C第五；E團(tuán)隊(duì)說(shuō)：A第一，E第四． 如果實(shí)際上每個(gè)

14、名次都有人猜對(duì)，則獲得第五名的是________團(tuán)隊(duì)． 答案　D 解析　將五個(gè)團(tuán)隊(duì)的猜測(cè)整理成下表： 第一名 C，A 第二名 B 第三名 A，B 第四名 D，E 第五名 D，C 由于實(shí)際上每個(gè)名次都有人猜對(duì)，若第五名為C，則第一名為A，第三名為B，從而第二名沒(méi)有人猜對(duì)，不符合題意要求．故獲得第五名的是D團(tuán)隊(duì)． 16．(2019·虹口二模)若函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(4，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4有三個(gè)不同的零點(diǎn)，就是x|x－a|＝4有三個(gè)不同的根； 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝

15、x|x－a|＝與y＝4的圖象如圖： 函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3個(gè)零點(diǎn)，必須解得a>4； 當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y＝x|x－a|＝與y＝4的圖象如圖： 函數(shù)f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上，a∈(4，＋∞)． 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分)(2019·撫順一模)已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a＝10，角B是最小的內(nèi)角，且3c＝4asi

16、nB＋3bcosA. (1)求sinB的值； (2)若c＝14，求b的值． 解　(1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π， 由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA， 即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于sinA>0，整理可得3cosB＝4sinB， 又sinB>0，∴sinB＝. (2)∵角B是最小的內(nèi)角，∴0

17、，該蛋糕的成本價(jià)為4元，售價(jià)為8元．受保質(zhì)期的影響，當(dāng)天沒(méi)有銷售完的部分只能銷毀．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的調(diào)研，統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量．現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下： 日需求量x(個(gè)) 20 30 40 50 天數(shù) 5 10 10 5 (1)從這30天中任取兩天，求兩天的日需求量均為40個(gè)的概率； (2)以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望值E(X)＝；現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天制作45個(gè)，試列出生產(chǎn)45個(gè)時(shí)，利潤(rùn)Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納． 解　(1)從這30天中任取2天，基本事件總數(shù)

18、n＝C， 2天的日需求量均為40個(gè)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝C， ∴兩天的日需求量均為40個(gè)的概率P＝＝. (2)由該糕點(diǎn)房制作45個(gè)蛋糕對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為Y，得 P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，∴Y的分布列為 Y －20 60 140 180 P E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝， ∵該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望值E(X)＝，<， ∴此建議不該被采納． 19．(本小題滿分12分)(2019·南開(kāi)一模)如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥A

19、B，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上且SF＝2FE. (1)求證：AF⊥平面SBC； (2)求直線SA與平面SBD所成角的正弦值； (3)在線段DE上是否存在點(diǎn)G，使二面角G－AF－E的大小為30°？若存在，求出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB，AS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，D(1,0,0)，E(1,1,0)， 由SF＝2FE得F，∴＝，＝(2，－2,0)，＝(2,0，－2)， ∵·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥，∴AF⊥

20、平面SBC. (2)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面SBD的一個(gè)法向量， 由于＝(－1,0,2)，＝(－1,2,0)， 則有 令x1＝2，則y1＝1，z1＝1，即n1＝(2,1,1)． 設(shè)直線SA與平面SBD所成的角為α，而＝(0,0,2)， ∴sinα＝|cos〈n1，〉|＝＝. (3)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG＝t.則G(1，t,0)． ∴＝(1,1,0)，＝(1，t,0)， 設(shè)平面AFG的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則 取y2＝1，得x2＝－t，z2＝t－1，即n2＝(－t,1，t－1)． 設(shè)平面AFE的法向量為n3＝(x3，y3，z3)， 則

21、 取y3＝1，得x3＝－1，z3＝0，即n3＝(－1,1,0)， 由二面角G－AF－E的大小為30°， 得cos30°＝＝＝， 化簡(jiǎn)得2t2－5t＋2＝0， 又0≤t≤1，求得t＝，于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且DG＝. 20．(本小題滿分12分)(2019·張家口一模)以P為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)，并且與直線x＝－1相切． (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若A，B，C，D是曲線C上的四個(gè)點(diǎn)，AB⊥CD，并且AB，CD相交于點(diǎn)F，直線AB的傾斜角為銳角．若四邊形ACBD的面積為36，求直線AB的方程． 解　(1)設(shè)圓P與直線x＝－1相切于點(diǎn)E， 則|PE|＝|PF|，

22、 即點(diǎn)P到F的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離相等， ∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線，F(xiàn)是焦點(diǎn)，x＝－1是準(zhǔn)線． ∴C的方程為y2＝4x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝k(x－1)，k>0. 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， x1＋x2＝. |AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理，|CD|＝4＋4k2. ∴四邊形ACBD的面積S＝|AB|·|CD| ＝(4＋4k2)＝8(1＋k2)． 由8(1＋k2)＝36，得k2＝2或k2＝， ∴k＝或k＝. ∴直線AB的方程為y＝(x－1)或y＝(x－1)． 21．(本小題滿分12分)(2019

23、·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由． 解　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，0)∪時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增． 若a<0，則當(dāng)x∈∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0. 故f(x)在

24、，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的a，b存在． ①當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知，f(x)在[0,1]單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)＝b，最大值為f(1)＝2－a＋b.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1. ②當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知，f(x)在[0,1]單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)＝b，最小值為f(1)＝2－a＋b.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1. ③當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值為f＝－＋b，最大值為b或2－a

25、＋b. 若－＋b＝－1，b＝1，則a＝3，與0＜a＜3矛盾． 若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，則a＝3或a＝－3或a＝0，與0＜a＜3矛盾． 綜上，當(dāng)a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時(shí)，f(x)在[0,1]的最小值為－1，最大值為1. (二)選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·黃山質(zhì)檢)設(shè)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，曲線C的參數(shù)方程為(α是參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ－ρcosθ＋1＝m. (1)求曲

26、線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P(1，m)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝，求m的值． 解　(1)由題可得，曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1. 直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＋1＝m，即 x－y－1＋m＝0， 由于直線l過(guò)點(diǎn)P(1，m)，傾斜角為30°， 故直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))． (直線l的參數(shù)方程的結(jié)果不是唯一的) (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程并化簡(jiǎn)得2＋2＝1?t2＋mt＋m2－1＝0. ∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8，解得m＝±3. 23．(本

27、小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] (2019·上饒二模)已知函數(shù)f(x)＝|ax－1|(a>0)． (1)若不等式f(x)≤2的解集為A，且A?(－2,2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若不等式f(x)＋f>對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝. ∵A?(－2,2)，∴解得a>， ∴a的取值范圍是. (2)由題意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立， 設(shè)h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|， h(x)＝ ①當(dāng)0，∴1時(shí)，h(x)min＝h＝，>， ∴1