（新課標 全國I卷）2010-2019學年高考數(shù)學 真題分類匯編 專題06 立體幾何（1）文（含解析）

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1、專題6 立體幾何（1） 立體幾何小題：10年19考，一般考三視圖和球，主要計算體積和表面積．其中，“點線面”也有可能出現(xiàn)在小題． 1．（2019年）已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為　 　． 【答案】 【解析】∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，過點P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，過P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，連結(jié)OD，OC，則PD＝PE＝，∴CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，∴PO＝＝＝．∴P到平面AB

2、C的距離為． 2．（2018年）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（　?。? A．π B．12π C．π D．10π 【答案】B 【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為2R，則高為2R，圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：4R2＝8，解得R＝，則該圓柱的表面積為＝12π．故選B． 3．（2018年）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從

3、M到N的路徑中，最短路徑的長度為（　?。? A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16，高為2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖： 圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為．故選B． 4．（2018年）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（　?。? A．8 B． C． D． 【答案】C 【解析】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，即∠AC1B＝30°，可得

4、BC1＝＝．可得BB1＝＝．所以該長方體的體積為2×＝．故選C． 5．（2017年）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對于選項B，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足題意；對于選項C，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意；對于選項D，由于AB∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知D不滿足題意；所以選項A滿足題意．故選A． 6．（2017年）已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平

5、面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S﹣ABC的體積為9，則球O的表面積為　 　． 【答案】 【解析】三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S﹣ABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r，可得，解得r＝3．球O的表面積為4πr2＝36π． 7．（2016年）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（　?。? A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 【解

6、析】由題意可知三視圖復原的幾何體是一個球去掉后的幾何體，如圖，可得：，R＝2．它的表面積是＝17π．故選A． 8．（2016年）平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m、n所成角的正弦值為（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．則m、n所成角的正弦值為．故選A． 9．（2015年）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富

7、的數(shù)學名著，書中有如下問題：”今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？“其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？“已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（　　） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則r＝8，解得r＝，故米堆的體積為≈，∵1斛米的體積約為1.62立方，∴÷1.62≈22，故選B． 10．（2015年）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中

8、的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16+20π，則r＝（　?。? A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】 【解析】由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，截圓柱的平面過圓柱的軸線，該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，∴其表面積為：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2＝5πr2+4r2，又∵該幾何體的表面積為16+20π，∴5πr2+4r2＝16+20π，解得r＝2，故選B． 11．（2014年）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（　?。? A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 【答案】D 【

9、解析】根據(jù)幾何體的三視圖，可知幾何體是三棱柱，如圖．故選B． 12．（2013年）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【答案】A 【解析】三視圖復原的幾何體是一個長方體與半個圓柱的組合體，如圖，其中長方體長、寬、高分別是4，2，2，半個圓柱的底面半徑為2，母線長為4．∴長方體的體積＝4×2×2＝16，半個圓柱的體積＝×22×π×4＝8π，所以這個幾何體的體積是16+8π，故選A． 13．（2013年）已知H是球O的直徑AB上一點，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的

10、面積為π，則球O的表面積為　 　． 【答案】 【解析】設(shè)球的半徑為R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α與球心的距離為R，∵α截球O所得截面的面積為π，∴d＝R時，r＝1，故由R2＝r2+d2得R2＝12+（R）2，∴R2＝，∴球的表面積S＝4πR2＝． 14．（2012年）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（　?。? A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解析】該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，三棱錐的高為3，底面三角形斜邊長為6，高為3的等腰直角三角形，此幾何體的體積為V＝××6×3×3＝9．故選B． 15．（2

11、012年）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】B 【解析】因為平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，所以球的半徑為＝．所以球的體積為＝π．故選B． 16．（2011年）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，∴側(cè)視圖是一個中間有分界線的三角形，故選D． 17．（2011年）已知兩個圓錐有公共底

12、面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為　　 ． 【答案】 【解析】不妨設(shè)球的半徑為4，球的表面積為64π，圓錐的底面積為12π，圓錐的底面半徑為，由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，求的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形，由此可以求得球心到圓錐底面的距離是，所以圓錐體積較小者的高為4﹣2＝2，同理可得圓錐體積較大者的高為4+2＝6，所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為． 18．（2010年）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（　?。? A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【答案】B 【解析】根據(jù)題意球的半徑R滿足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故選B． 19．（2010年）一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的　 ?。ㄌ钊胨锌赡艿膸缀误w前的編號）①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱． 【答案】①②③⑤ 【解析】一個幾何體的正視圖為一個三角形，顯然①②⑤正確；③是三棱柱放倒時也正確；④⑥不論怎樣放置正視圖都不會是三角形． 9