（課標(biāo)通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第3講 圓的方程檢測 文

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1、第3講 圓的方程 [基礎(chǔ)題組練] 1．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1，2)的圓的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4 解析：選A.根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因為圓過點A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 2．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓　　 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 解析：選D.由題意得即或 故原方程表示兩個半圓． 3．(2019·湖南長沙模擬)圓x

2、2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 解析：選A.將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝＋1，選A. 4．(2019·河南六校聯(lián)考(一))圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－)2＋(y－)2＝4 解析：選B.設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心關(guān)于直線

3、y＝x對稱的點的坐標(biāo)為A(a，b)，則所以a＝1，b＝，所以A(1，)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4.故選B. 5．(2019·山西太原模擬)已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半徑為2的圓，則實數(shù)F＝________． 解析：法一：因為方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半徑為2的圓，所以＝4，得F＝－2. 法二：方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化為(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，因為方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半徑為2的圓，所以F＝－2. 答案：－2 6．過兩點A(1，4)，B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______

4、_． 解析：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為圓心在直線y＝0上，所以b＝0，所以圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2.又因為該圓過A(1，4)，B(3，2)兩點，所以解得所以所求圓的方程為(x＋1)2＋y2＝20. 答案：(x＋1)2＋y2＝20 7．求適合下列條件的圓的方程． (1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)； (2)過三點A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)． 解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋4

5、)2＝8. 法二：過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)． 所以半徑r＝＝2， 所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則 解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95. 所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0. 8．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(－1，0)和B(3，4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4. (1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程． 解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標(biāo)為

6、(1，2)． 則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因為直徑|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圓心P(－3，6)或P(5，－2)． 所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. [綜合題組練] 1．已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3)，則的最大值為(　　) A．3＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋ 解析：選D.由題可知表示直線MQ的斜率，設(shè)直線

7、MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中＝k，將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2，7)，半徑r＝2，由直線MQ與圓C有交點，得≤2，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值為2＋，故選D. 2．(2018·高考全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A.圓心(2，0)到直線的距離d＝＝2，所以點P到直線的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(－2，0)，B

8、(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|·d1＝d1.因為d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面積的取值范圍是[2，6]． 3．已知點A是直角三角形ABC的直角頂點，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，則△ABC的外接圓的方程是________．　 解析：由題意，得2a＝－4，所以a＝－2.所以B(－4，－2)，C(－2，2)． 所以圓的半徑為＝＝，圓心為(－3，0)． 所以△ABC的外接圓的方程為(x＋3)2＋y2＝5. 答案：(x＋3)2＋y2＝5 4．(應(yīng)用型)已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2

9、及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________． 解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓． 因為△OPQ為直角三角形， 所以圓心為斜邊PQ的中點(2，1)，半徑r＝＝， 因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 5．已知以點C(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A，與y軸交于點O和點B，其中O為原點． (1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若OM＝ON，求圓C的方程． 解：(1)證

10、明：因為圓C過原點O，所以O(shè)C2＝t2＋. 設(shè)圓C的方程是 (x－t)2＋＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝； 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t， 所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4， 即△OAB的面積為定值． (2)因為OM＝ON，CM＝CN， 所以O(shè)C垂直平分線段MN. 因為kMN＝－2， 所以kOC＝. 所以＝t，解得t＝2或t＝－2. 當(dāng)t＝2時，圓心C的坐標(biāo)為(2，1)，OC＝， 此時，圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點． 符合題意，此時，圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 當(dāng)t＝－2時，

11、圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，OC＝，此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝>.圓C與直線y＝－2x＋4不相交， 所以t＝－2不符合題意，舍去． 所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 6．(2019·河北唐山調(diào)研)已知點A(－3，0)，B(3，0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|. (1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程； (2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值． 解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝2. 化簡可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲線方程為(x－5)2＋y2＝16. (2)曲線C是以點(5，0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示． 由題知直線l2與圓C相切于M，連接CQ，CM，則|QM|＝＝， 當(dāng)CQ⊥l1時，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值， 此時|CQ|＝＝4， 故|QM|的最小值為＝4. 6