備戰(zhàn)2020年高考數學 考點一遍過 考點06 二次函數與冪函數 理（含解析）

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1、考點06二次函數與冪函數 （1）了解冪函數的概念. （2）結合函數的圖象，了解它們的變化情況. 一、二次函數 1．二次函數的概念 形如的函數叫做二次函數. 2．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)頂點式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)為拋物線的頂點坐標. (3)兩根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標. 3．二次函數的圖象與性質 函數解析式 圖象(拋物線) 定義域 R 值域 對稱性 函數圖象關于直線對稱 頂點坐標

2、 奇偶性 當b=0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數 單調性 在上是減函數； 在上是增函數. 在上是增函數； 在上是減函數. 最值 當時， 當時， 4．常用結論 (1)函數f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2＋bx＋c=0的實根. (2)若x1，x2為f(x)=0的實根，則f(x)在x軸上截得的線段長應為|x1?x2|=. (3)當且()時，恒有f(x)>0()；當且()時，恒有f(x)<0(). 二、冪函數 1．冪函數的概念 一般地，形如y=xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中底數x為自變量，α為常數. 2．幾個常見

3、冪函數的圖象與性質 函數 圖象 定義域 值域 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶函數 奇函數 單調性 在上單調遞增 在上單調遞減；在上單調遞增 在上單調遞增 在上單調遞增 在和上單調遞減 過定點 過定點 過定點 3．常用結論 (1)冪函數在上都有定義. (2)冪函數的圖象均過定點. (3)當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調遞增. (4)當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調遞減. (5)冪函數在第四象限無圖象. 考向一 求二次函數或冪函數的解析式 1．求二次函數

4、解析式的方法 求二次函數的解析式，一般用待定系數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式．一般選擇規(guī)律如下： 2．求冪函數解析式的方法 冪函數的解析式是一個冪的形式，且需滿足： (1)指數為常數； (2)底數為自變量； (3)系數為1. 典例1若函數是冪函數，且滿足，則 A． B． C． D．?3 【答案】A 【解析】由題意可設為常數）， 因為滿足，所以，所以， 所以，所以. 故選A． 1．已知冪函數的圖象經過點8,4，則不等式f6x+3≤9的解集為_______. 考向二冪函數的圖象及性質的應用 1．冪函數y=xα的圖象與性質，由于α

5、值的不同而比較復雜，一般從兩個方面考查： ①α的正負：當α>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． ②冪函數的指數與圖象特征的關系 當α≠0，1時，冪函數y=xα在第一象限的圖象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 圖象 特殊點 過(0，0)，(1，1) 過(0，0)，(1，1) 過(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 單調性 遞增 遞增 遞減 舉例 y=x2 、 2．利用冪函數的單調性比較冪值大小的技巧： 結合冪值的特點利用指數冪的運算性質化成同指數冪，選擇適

6、當的冪函數，借助其單調性進行比較. 典例2 如圖所示的曲線是冪函數在第一象限的圖象，已知，相應曲線對應的值依次為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】結合冪函數的單調性及圖象，易知曲線對應的值依次為． 故選B． 2．已知函數f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數，且其圖象與兩坐標軸都沒有交點，則實數m= A．-1 B．2 C．3 D．2或-1 典例3 設，則的大小關系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【解析】因為在上是增函數，所以 又因為在上是減函數，所以. 綜上，a>c>b

7、. 故選A. 【名師點睛】同底數的兩個數比較大小，考慮用指數函數的單調性；同指數的兩個數比較大小，考慮用冪函數的單調性，有時需要取中間量. 3．已知，，，則下列結論成立的是 A． B． C． D． 考向三二次函數的圖象及性質的應用 高考對二次函數圖象與性質進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題，考查二次函數圖象與性質的應用，以選擇題、填空題的形式呈現，有時也出現在解答題中，解題時要準確運用二次函數的圖象與性質，掌握數形結合的思想方法.常見類型及解題策略： 1．圖象識別問題 辨析二次函數的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交

8、點等方面著手討論或逐項排除． 2．二次函數最值問題的類型及處理思路 (1)類型：a.對稱軸、區(qū)間都是給定的；b.對稱軸動、區(qū)間固定；c.對稱軸定、區(qū)間變動． (2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成． 3．解決一元二次方程根的分布問題的方法 常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判別式；d.端點函數值符號四個方面分析． 4．求解與二次函數有關的不等式恒成立問題 往往先對已知條件進行化簡，轉化為下面兩種情況： (1)ax2＋bx＋

9、c>0，a≠0恒成立的充要條件是. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是. 另外，也可以采取分離變量法，把問題轉化為不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，此時就等價于在區(qū)間D上f(x)min>A，接下來求出函數f(x)的最小值；若不等式f(x)

10、題主要考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵． 4．已知函數fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調性，則實數k的取值范圍為 A．-∞，40 B．160，+∞ C．40，160 D．-∞，40∪160，+∞ 典例5 已知函數，若對于任意的都有，則實數的取值范圍為. 【答案】 【解析】根據題意，得 解得． 5．若函數fx=x2-2x+1在區(qū)間a,a+2上的最小值為4，則a的取值集合為 A．-3,3 B．-1,3 C．-3,3 D．-1,-3,3 1．若冪函數f(x)的圖象過點(2,2)，則函數y=f(x)+1-x的最大值為

11、 A．1 B． C．2 D． 2．已知，，，則的大小關系是 A． B． C． D． 3．在區(qū)間內任取一實數，的圖象與軸有公共點的概率為 A． B． C． D． 4．已知，若為奇函數，且在上單調遞增，則實數的值是 A．?1，3 B．，3 C．?1，，3 D．，，3 5．已知函數f(x)=ax-2+7(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數g(x)的圖象上，則冪函數g(x)的圖象是 A． B． C． D． 6．已知函數的圖象如圖所示，則的大小關系為 A． B． C． D． 7．已知函數，則 A．，使得 B． C．，使

12、得 D．，使得 8．已知：冪函數在上單調遞增；，則是的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 9．已知冪函數的圖象過點，則函數在區(qū)間上的最小值是 A． B．0 C． D． 10．已知函數的定義域是R，則實數a的取值范圍是 A． B． C． D． 11．已知點在冪函數的圖象上，設，則的大小關系為 A． B． C． D． 12．已知函數（其中，且）在區(qū)間上單調遞增，則函數的定義域為 A． B． C． D． 13．已知函數既是二次函數又是冪函數，函數是上的奇函數，函數，則A．0 B．2018 C．403

13、6 D．4037 14．已知冪函數（α是實數）的圖象經過點，則f（4）的值為____________． 15．已知xα+x-α=25，x>1，α<0，則xα-x-α=____________． 16．若冪函數f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上為增函數，則實數m的值為____________． 17．已知函數y=x2-2x+a的定義域為R，值域為[0,+∞)，則實數a的取值集合為____________. 18．已知函數，則函數的最小值是__________． 19．已知實數滿足，則的取值范圍是__________． 20．已知二次函數f(x)的最小值為

14、1,且f(x)=f(2-x),f(0)=3． （1）求f(x)的解析式； （2）在區(qū)間[-1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍． 21．已知冪函數f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(m∈R)在(0,+∞)上單調遞增． （1）求m的值及f(x)的解析式； （2）若函數g(x)=-3f(x)2+2ax+1-a在[0,2]上的最大值為3，求實數a的值． 22．已知fx=-4x2+4ax-4a-a2． （1）當a=1，x∈1,3時，求函數fx的

15、值域； （2）若函數fx在區(qū)間0,1內有最大值-5，求a的值． 23．已知函數，其中為常數. （1）若函數在區(qū)間上單調遞減，求實數的取值范圍； （2）若，都有，求實數的取值范圍. 1．（2017年高考浙江卷）若函數f(x)=x2+ ax+b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M – m A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關 C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關 2．（2017年高考山東卷理科）已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取

16、值范圍是 A． B． C． D． 3．（2016年高考新課標III卷理科）已知，，，則 A． B． C． D． 4．（2019年高考浙江卷）已知，函數，若存在，使得，則實數的最大值是___________. 變式拓展 1．【答案】-5,4 【解析】由題意知，故， 由于fx=x23=3x2為R上的偶函數且在0,+∞上單調遞增， f6x+3≤9即為f6x+3≤f27， 所以6x+3≤27，解得-5≤x≤4. 2．【答案】A 【解析】∵函數f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數， ∴m2-m-1=1，解得：m=2或m=-1， 當m=2時，，其圖象與

17、兩坐標軸有交點，不符合題意； 當m=-1時，，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意， 故m=-1. 故選A． 3．【答案】A 【解析】，， ，，即， ， 故. 選A． 【名師點睛】本題主要考查了比較大小問題，其中解答中熟練運用冪函數與指數函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.求解時，根據冪函數在上為單調遞增函數，得出，再根據指數函數的性質得，即可得到結論. 4．【答案】D 【解析】因為函數fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調性，所以或，解得k≥160或k≤40. 故實數k的取值范圍為-∞，40∪160，+∞. 選D． 5．【答案】C 【解

18、析】∵函數f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴函數f（x）圖象的對稱軸為x＝1， ∵在區(qū)間[a，a+2]上的最小值為4， ∴當1≤a時，函數的最小值為f（a）＝（a﹣1）2＝4，則a＝﹣1（舍去）或a＝3； 當a+2≤1，即a≤﹣1時，函數的最小值為f（a+2）＝（a+1）2＝4，則a＝1（舍去）或a＝﹣3； 當a＜1＜a+2，即-1

19、=-x-122+54， 故其最大值為. 故選B. 2．【答案】C 【解析】易知冪函數在上是減函數， ，，即. 故選C. 3．【答案】D 【解析】∵函數的圖象與軸有公共點，∴，解得或． 由幾何概型概率公式可得所求概率為． 故選D． 【名師點睛】解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍，當考察對象為點，且點的活動范圍在線段上時，可用線段長度比計算，然后根據公式計算即可．求解本題時，先由二次函數的判別式大于等于零求出實數的取值范圍，再根據幾何概型概率公式求解． 4．【答案】B 【解析】因為在上單調遞增，所以，排除選項A，C； 當時，為非奇非偶函數，不滿

20、足條件，排除D， 故選B． 【名師點睛】分別研究五個冪函數的奇偶性與單調性，從而可得結果.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數學一種常見的解題思路和方法，這種方法既可以提高做題速度和效率，又能提高準確性，這種方法主要適合下列題型:（1）求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數性質及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前項和公式問題等等. 5．【答案】D 【解析】由題意知，f2=a2-2+7=8，則定點P2,8， 設冪函數為gx=xα（是常數）， 將P2,8代入得2α=8，故α=3，

21、即gx=x3，圖象為D中的圖象. 故選D． 6．【答案】A 【解析】由圖象可知，，得. 故選A． 【名師點睛】本題主要結合函數圖象，考查指數函數和冪函數的比較大小問題，解決本題的關鍵是尋找中間值. 7．【答案】B 【解析】，函數的定義域為，函數的值域為，并且函數是單調遞增函數，這樣A不成立，C根據單調性可知也不成立，D應改為，故選B． 8．【答案】A 【解析】由題意，命題冪函數在上單調遞增，則，又， 所以是的充分不必要條件. 故選A． 9．【答案】B 【解析】由題設得， 故在上單調遞增， 則當時取最小值，最小值為. 應選B. 10．【答案】B 【解析】由題意

22、，要使函數的定義域是， 則對任意實數都成立， 當時顯然成立； 當時，需，解得． 綜上，的取值范圍為． 故選B． 11．【答案】D 【解析】由題可得：，解得：， 所以， 因為，，， 又， 所以， 由在上單調遞增，可得， 所以. 故選D. 12．【答案】B 【解析】∵函數（其中，且）在區(qū)間上單調遞增， ∴ 令． 故選B． 13．【答案】D 【解析】因為函數既是二次函數又是冪函數，所以， 因此，因此 故選D． 14．【答案】2 【解析】因為冪函數的圖象過點，所以，解得， 所以，則． 故答案為2． 15．【答案】 【解析】由xα+x-α

23、=25，得(xα+x-α)2=x2α+x-2α+2=20，解得x2α+x-2α=18， 則(xα-x-α)2=x2α+x-2α-2=18-2=16， 因為x>1,α<0，所以根據冪函數的單調性，可得xα

24、】因為x2-2x+a=(x-1)2+a-1，y=(x-1)2+a-1的定義域為R，值域為[0,+∞)，所以a-1=0，即a=1，所以a的取值集合為{1}. 故答案為{1}. 18．【答案】 【解析】設，則可化為 當時，有最小值， 即時，函數的最小值是. 故答案為. 【名師點睛】求函數最值的常見方法有： ①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域； ②換元法：常用代數或三角代換法，用換元法求值域時需認真分析換元參數的范圍變化； ③不等式法：借助于基本不等式求函數的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使

25、用條件“一正、二定、三相等”； ④單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區(qū)間，最后再根據其單調性求出函數的最值； ⑤圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值. 19．【答案】 【解析】由，可得. 又，所以，解得. 所以. 結合， 可得. 故答案為. 【名師點睛】本題主要考查求二次函數值域，需要注意定義域，屬于中檔題.求解時，先由得，再由，利用二次函數性質求值域即可. 20．【答案】（1）f(x)=2x2-4x+3；（2）(-∞,-1). 【解析】（1）根據題意，f(x)是二次函數，且f(x)=f(2-x)， 可得函數f(x)的對稱軸為x=1，

26、 又其最小值為1，可設f(x)=a(x-1)2+1， 又因為f(0)=3,則a+1=3,解可得a=2, 則f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. （2）根據題意，2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]上恒成立，化簡得m

27、：m=0， 故fx=x3. （2）由于fx=x3， 所以函數gx=-3f(x)2+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a， 則函數圖象為開口方向向下的拋物線，對稱軸為x=a， 由于在0,2上的最大值為3， ①當a≥2時，gx在0,2上單調遞增， 故：g(x)max=g2=3a-3=3， 解得a=2． ②當a≤0時，gx在0,2上單調遞減， 故：g(x)max=g0=1-a=3， 解得：a=-2． ③當0

28、2． 22．【答案】（1）-29,-5；（2）a=-54或a=-5. 【解析】（1）當a=1時，fx=-4x2+4x-5， 其圖象的對稱軸為x=12，開口向下， x∈1,3時，函數fx單調遞減， 當x=1時，函數有最大值f1=-5， 當x=3時，函數有最小值f3=-29， 故函數fx的值域為-29,-5； （2）∵fx=-4x2+4ax-4a-a2的圖象開口向下，對稱軸為x=12a， ①當12a≥1，即a≥2時，fx在0,1上單調遞增，函數的最大值為f1=-4-a2． 令-4-a2=-5，得a2=1，a=±1<2（舍去）． ②當0<12a<1，即0

29、，fx的最大值為-4a， 令-4a=-5，得a=-54∈0,2． ③當12a≤0，即a≤0時，fx在0,1上單調遞減， ∴x=0時，fx的最大值為-4a-a2， 令-4a-a2=-5，得a2+4a-5=0，解得，或a=1（舍去）． 綜上所述，a=-54或. 23．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因為開口向上， 所以該函數圖象的對稱軸是， 因此，即， 所以的取值范圍是. （2）因為恒成立， 所以，整理得，解得， 因此，的取值范圍是. 【名師點睛】（1）根據二次函數性質得對稱軸不在區(qū)間內，解不等式可得實數的取值范圍.（2）根據二次函數圖象可得在x軸上方，即，解得

30、實數的取值范圍. 研究二次函數單調性的思路： ①二次函數的單調性在其圖象對稱軸的兩側不同，因此研究二次函數的單調性時要依據其圖象的對稱軸進行分類討論． ②若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調遞減(單調遞增)，則A?（A?），即區(qū)間A一定在函數對稱軸的左側(右側)． 直通高考 1．【答案】B 【解析】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關. 故選B． 【名師點睛】對于二次函數的最值或值域問題，通常先判斷函數圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系，結合圖象，當函數圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數在所給區(qū)間內單調遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數在所給

31、區(qū)間內單調遞減；若對稱軸在區(qū)間內，則函數圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數的最大值． 2．【答案】B 【解析】當時，，在時單調遞減，且，在時單調遞增，且，此時有且僅有一個交點； 當時，，在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需. 故選B. 【名師點睛】已知函數有零點求參數的取值范圍常用的方法和思路： （1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍； （2）分離參數法：將參數分離，轉化成求函數值域的問題加以解決； （3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 3．【答案】A 【解析】因為，， 所以. 故選A． 【技巧點撥】比較指數的大小常常根據三個數的結構聯系相關的指數函數與對數函數、冪函數的單調性來判斷，如果兩個數指數相同，底數不同，則考慮冪函數的單調性；如果指數不同，底數相同，則考慮指數函數的單調性；如果涉及對數，則聯系對數的單調性來解決． 4．【答案】 【解析】存在，使得， 即有， 化為， 可得， 即， 由，可得. 則實數的最大值是. 【名師點睛】本題考查函數的解析式及二次函數，結合函數的解析式可得，去絕對值化簡，結合二次函數的最值及不等式的性質可求解. 25