（名師導學）2020版高考數學總復習 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第53講 空間幾何體的結構三視圖和直觀圖練習 理（含解析）新人教A版

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1、第九章　直線、平面、簡單幾何體和空間向量 　【p120】 理解以下判定定理： 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行． 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行． 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直． 如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直． 理解以下性質定理，并能夠證明之： 如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行． 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線互相平行． 垂直于同一個平面的兩條直線平行．

2、如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直． 第53講　空間幾何體的結構，三視圖和直觀圖 夯實基礎　【p121】 【學習目標】 1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，掌握柱、錐等簡單幾何體的性質． 2．了解空間圖形的兩種不同表示形式(三視圖和直觀圖)，了解三視圖、直觀圖與它們所表示的立體模型之間的內在聯(lián)系． 3．能畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，能識別三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖． 4．會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖． 【基礎檢測】 1．以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋

3、轉體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，題中的命題錯誤； ②以直角梯形的直角邊所在的腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺，題中的命題錯誤； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓，題中的命題正確； ④一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，題中的命題錯誤． 綜上可得：正確命題的個數為1. 【答

4、案】B 2．下列命題中正確的個數是(　　) ①由五個面圍成的多面體只能是三棱柱； ②用一個平面去截棱錐便可得到棱臺； ③僅有一組對面平行的五面體是棱臺； ④有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐． A．0個B．1個C．2個D．3個 【解析】①中，由五個面圍成的多面體可以是四棱錐，所以不正確；②中，用一個平行于底面的平面截棱錐才能得到一個棱臺；③中，僅有一組對面平行的五面體，可以是三棱柱；④中，有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，所以選A. 【答案】A 3．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，則圖中陰影部分

5、BC1M在平面BCC1B1上的正投影是(　　) 【解析】由題意知，點M在平面BCC1B1上的正投影是CC1的中點，點B和點C的投影是本身，連接三個投影點． 【答案】D 4．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3B．2C．2D．2 【解析】由三視圖還原為如圖所示的四棱錐A－BCC1B1， 從圖中易得最長的棱為AC1＝＝＝2. 【答案】B 5．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為a cm，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則它的原圖形OABC的周長是____cm. 【解析】由斜二測畫法的規(guī)則知與x′軸平行的線段其長度不變以及與x

6、軸平行的性質不變，正方形的對角線在y′軸上，因為O′A′＝a，所以原圖形中OA＝O′A′＝a，對角線O′B′＝a，則原圖形中OB＝2O′B′＝2a，且△OBC為直角三角形，則OC＝＝3a，則原圖形的周長是2(3a＋a)＝8a. 【答案】8a 【知識要點】 1．空間幾何體的結構特征 多 面 體 棱柱 棱柱的側棱都相互__平行__且__相等__，上下底面是__全等的__且__相互平行__的多邊形. 棱錐 棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個__公共頂點__的三角形. 棱臺 棱臺可由一個__平行于棱錐底面的平面去截棱錐得到，其上下底面是__相互平行__且相似的

7、多邊形. 旋 轉 體 圓柱 圓柱可由__矩形__繞其任意一邊旋轉得到. 圓錐 圓錐可以由__直角三角形__繞其一條直角邊旋轉得到. 圓臺 圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下邊的中點連線旋轉得到，也可由__平行于__圓錐底面的平面截圓錐得到. 球 球可以由半圓或圓繞其__直徑__旋轉得到. 2.三視圖 空間幾何體的三視圖由平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括__正視圖__、__側視圖__、__俯視圖__． 3．空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟

8、是： (1)畫幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中平行于x′軸、y′軸；已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度__不變__，平行于y軸的線段，長度變?yōu)開_原來的一半__． (2)畫幾何體的高 在已知圖形中過O點作z軸垂直于平面xOy，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于平面x′O′y′，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度__不變__． 典例剖析　【p122】 考點1　空間幾何體的結構特征 (1)給

9、定下列四個命題： ①圓錐是由正方形繞對角線旋轉所形成的曲面圍成的幾何體； ②圓錐是由三角形繞其一邊上的高旋轉所形成曲面圍成的幾何體； ③圓錐是角AOB繞其角平分線旋轉一周所形成曲面圍成的幾何體； ④底面在水平平面上的圓錐用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圓錐． 其中正確的命題為__________．(只填正確命題的序號) 【解析】正方形繞對角線旋轉所形成的曲面圍成的幾何體為兩個圓錐，①錯誤；圓錐是由直角三角形繞其一條直角邊旋轉所形成曲面圍成的幾何體，②③錯誤；④正確；故答案為④. 【答案】④ (2)給出下列命題： ①在正方體上任意選擇4個不共面的頂點，它們可能是正

10、四面體的4個頂點； ②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐； ③若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱． 其中正確命題的序號是________． 【解析】①正確，正四面體是每個面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A－CB1D1；②錯誤，反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯誤，必須是相鄰的兩個側面． 【答案】① (3)已知正三棱錐P－ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互

11、相垂直，則球心到截面ABC的距離為________． 【解析】因為在正三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分(如圖所示)， 此正方體內接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體體對角線的中點．球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐P－ABC在面ABC上的高．已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐P－ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為－＝. 【答案】 【點評】熟記柱、錐、臺、球的簡單幾何性質，以便在以柱、錐、臺、球為載體的綜合問題中靈活準確地應用其性質進行推理與計算． 考點2　空間

12、幾何體的三視圖 (1)如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤ 【解析】正視圖為①，側視圖為②，俯視圖為③. 【答案】B (2)已知某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，給出下列5個圖形，其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】①②③⑤均可能． 【答案】B (3)在正方體中，M，N，P分別為棱DD1，D1A1，A1B1的中點(如圖)，用過點M，N，P的平面截去該正方

13、體的頂點C1所在的部分，則剩余幾何體的正視圖為(　　) 【解析】過點M，N，P的平面截去該正方體的頂點C1所在的部分，直觀圖如圖： 則該幾何體的正視圖為B. 【答案】B (4)已知四棱錐S－ABCD的三視圖如圖所示，則圍成四棱錐S－ABCD的五個面中的最大面積是(　　) A．3 B．6 C．8 D．10 【解析】由三視圖可知，空間結構體如圖所示． S△PAB＝×3×2＝3， S△PAD＝×4×＝2， S△PCD＝×3×2＝3， S△PBC＝×4×2＝6， SABCD＝4×2＝8， 所以底面的面積最大為SABCD＝4×2＝8. 【答案】C 【

14、點評】觀察利用三視圖時，一定要準確把握“長對正，高平齊，寬相等”的原理． 考點3　空間幾何體的直觀圖 (1)利用斜二測畫法得到的： ①三角形的直觀圖一定是三角形； ②正方形的直觀圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀圖一定是菱形． 以上正確結論的序號是________． 【解析】由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤． 【答案】① (2)已知正△ABC的邊長為a，那么它的平面直觀圖△A′B′C′的面積為__________． 【解析】如圖所示是

15、實際圖形和直觀圖，由圖可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在圖中作C′D′⊥A′B′，垂足為D′，則C′D′＝O′C′＝a. ∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2. 【答案】a2 (3)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 【解析】A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D. 【答案】D 方法總結　　【p123】 1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變” “三變” “三不變” 2．有關斜二測畫法的常用結論與方法 (1)用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關系是S

16、′＝S. (2)對于圖形中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段，可通過確定端點的辦法來解決，即過端點作坐標軸的平行線段，再借助所作的平行線段確定端點在直觀圖中的位置． 3．有關三視圖的基本規(guī)律 (1)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求是：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高． (2)由三視圖想象幾何體特征時要根據“長對正、寬相等、高平齊”的基本原則． 4．特殊多面體的結構特征 (1)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱．特別地，當底面是正多邊形時，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)． (2)正棱錐：指的是底面是正多邊形，

17、且頂點在底面的射影是底面中心的棱錐．特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體． (3)平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱． 走進高考　　【p123】 1．(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在側視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2B．2 C．3 D．2 【解析】由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路

18、徑的長度為＝＝2. 【答案】B 2．(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木結構右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(　　) 【解析】由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結合榫頭的位置知選A. 【答案】A 3．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．

19、42π D．36π 【解析】法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－×π×32×6＝63π. 法二：依題意，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π. 【答案】B 考點集訓　　【p240】 A組題 1．下列命題正確的是(　　) A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間

20、的部分組成的幾何體叫棱臺 D．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱 【解析】棱柱的定義：有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱．棱臺必須是用平行于底面的平面去截棱錐才能得到棱臺，所以選項C錯，選項D正確． 【答案】D 2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(如圖)用過點B，E，D1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為(　　) 【解析】由題意可知：過點B、E、D1的平面截去該正方體的上半部分，如圖直觀圖，則幾何體的左視圖為D. 【答案】D 3

21、．一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側面中，直角三角形的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側棱與底面垂直，如圖所示，易知該四棱錐四個側面均為直角三角形． 【答案】D 4．若一個三角形采用斜二測畫法作直觀圖，則其直觀圖的面積與原來三角形面積的比值是(　　) A.B.C.D．2 【解析】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知， 三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半， 故三角形的高變?yōu)樵瓉淼膕in 45°＝， 故直觀圖中三角形面積與原三角形面積的比值是. 【答案】A 5

22、．一個錐體的正視圖和側視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是(　　) 【解析】選項C不符合三視圖中“寬相等”的要求． 【答案】C 6．“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現其直觀性所作的輔助線．當其正視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是(　　) 【答案】B 7．已知某組合體的正視圖與側視圖相同，如圖所示，其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形，則該組合體的俯視圖可以是____

23、____． 【解析】①是正四棱錐與正四棱柱組合；②是正四棱錐與圓柱組合；③是圓錐與圓柱組合；④是圓錐與正四棱柱組合． 【答案】①②③④ 8．有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根直鐵條端點處相連能夠焊接出一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是________． 【解析】根據三棱錐的相對位置，將底面三角形的三邊長分成兩種情況： (1)當底面邊長為2的正三角形，三條側棱長為2，a，a，如圖①此時a取最大值， 可知AD＝，SD＝，由于SD

24、a可取最大值為2任意正數， 綜上則a的取值范圍是(0，＋)． 【答案】(0，＋) B組題 1．中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x為________． 【解析】幾何體為一個圓柱和一個長方體的組合體，其體積為πx＋3(5.4－x)≈16.2－x＝12.6，解得：x＝1.6. 【答案】1.6 2．如圖①，在四棱錐P－ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖②為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6 cm的全等的等腰直角三角形．

25、 (1)根據圖所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)在四棱錐P－ABCD中，求PA的長． 【解析】(1)該四棱錐的俯視圖為邊長為6 cm的正方形(內含對角線)，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知AD＝6且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中，PA＝＝＝6cm. 3．已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1內接于圓錐，求這個正方體的棱長． 【解析】如圖所示，過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的

26、長分別為x和x.∵△VA1C1∽△VMN， ∴＝，∴x＝. 即圓錐內接正方體的棱長為. 4．(1)如圖1所示的三棱錐的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，那么該三棱錐的側視圖是圖2還是圖3? (2)某幾何體的三視圖如圖4，問該幾何體的面中有幾個直角三角形？ (3)某幾何體的三視圖如圖5，問該幾何體的面中有幾個直角三角形？ 【解析】(1)該三棱錐在側(右)投影面上的投影是一直角三角形，該三棱錐的側視圖應是圖2. (2)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中OA、OB、OC兩兩垂直， ∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是銳角三角形．設AO＝a，OC＝c，OB＝b，則AC＝，BC＝，AB＝，∴cos∠BAC＝>0，∴∠BAC為銳角．同理，∠ABC、∠ACB也是銳角． 綜上所述，該幾何體的面中共有3個直角三角形． (3)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，AB⊥面BCD，∴DC⊥面ABD， ∴DC⊥AD， ∴△ACD也是直角三角形． ∴該幾何體的面中共有4個直角三角形. 備課札記 19