2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七單元 第37講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)練習(xí) 文（含解析）新人教A版

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1、第37講　直線 平面垂直的判定與性質(zhì) 1.給出下列四個(gè)命題: ①垂直于同一平面的兩條直線相互平行; ②垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行; ③若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行; ④若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,則這條直線垂直于這個(gè)平面. 其中真命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.設(shè)a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則a⊥b的一個(gè)充分條件是 (　　) A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?β C.a⊥α,b∥α D.a⊥α,b⊥α 3.[2018·黃山八校聯(lián)考] 已知α,β是兩個(gè)不

2、同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列說(shuō)法: ①若m⊥α,m?β,則α⊥β; ②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β; ③如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交; ④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β. 其中說(shuō)法正確的是 (　　) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.[2018·杭州模擬] 設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m是一條直線,給出下列命題:①若m⊥α,m?β,則α⊥β;②若m∥α,α⊥β,則m⊥β.則 (　　) A.①②都是假命題 B.①是真命題,②是假命題 C.①是假命題,②是真命題 D.①②都是真命題

3、 圖K37-1 5.如圖K37-1所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足　　　　時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可) ? 6.[2018·杭州名校協(xié)作體模擬] 若α,β表示兩個(gè)不同的平面,直線m?α,則“α⊥β”是“m⊥β”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 圖K37-2 7.如圖K37-2所示,已知△ABC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB的中點(diǎn),PM垂直于△ABC所在平面,那么 (　　) A.PA=PB>PC

4、 B.PA=PB

5、0.如圖K37-3,在四棱錐P-ABCD中,△PAB與△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,則下列結(jié)論不 圖K37-3 一定成立的是 (　　) A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCD C.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD 11.[2018·包頭模擬] 在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),沿DE,EF,FD將正方形折起,使A,B,C重合于點(diǎn)P,構(gòu)成四面體,則在四面體P-DEF中,給出下列結(jié)論:①PD⊥平面PEF;②DG⊥平面PEF;③平面PDE⊥平面PDF.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (　　) A.①② B.②③ C.①

6、③ D.①②③ 12.正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為　　　　. ? 圖K37-4 13.如圖K37-4,在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形ABCD中AC與BD的交點(diǎn),M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),有下列結(jié)論:①PC∥平面OMN;②平面OMN⊥平面PAB;③OM⊥PA;④平面PCD∥平面OMN. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　.? 14.[2018·揚(yáng)州樹(shù)人中學(xué)模擬] 如圖K37-5,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面PAC,AB⊥BP,M,N分別為PA,

7、AB的中點(diǎn). (1)求證:PB∥平面CMN; (2)若AC=PC,求證:AB⊥平面CMN. 圖K37-5 15.[2018·柳州高級(jí)中學(xué)模擬] 如圖K37-6①,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=60°,AC與BD交于點(diǎn)O,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B-ACD(如圖②),點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),DM=32. (1)求證:平面ODM⊥平面ABC; (2)求點(diǎn)M到平面ABD的距離. 圖K37-6 16.[2018·漳州一中模擬] 如圖K37-7,四邊形ABCD為正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1. (1

8、)求證:BC⊥AF; (2)若點(diǎn)M在線段AC上,且滿足CM=14CA,求證:EM∥平面FBC; (3)求證:AF⊥平面EBC. 圖K37-7 8 課時(shí)作業(yè)(三十七) 1.B　[解析] 由直線與平面垂直的性質(zhì),可知①為真命題;正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面,但這兩個(gè)側(cè)面不平行,故②為假命題;正方體的側(cè)面中有無(wú)數(shù)條直線與底面平行,但側(cè)面與底面不平行,故③為假命題;由直線與平面垂直的定義知④為真命題. 2.C　[解析] 對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閍⊥α,b∥α,所以a⊥b;A,B選項(xiàng)中,直線a,b可能是平行直線,相交直線,也可能是異面直線;D選項(xiàng)中,一定有a∥b.

9、 3.D　[解析] 若m⊥α,m?β,則α⊥β,故①正確; 若m?α,n?α,m∥β,n∥β,當(dāng)m,n相交時(shí),則α∥β,但m,n平行時(shí),結(jié)論不一定成立,故②錯(cuò)誤; 如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交或平行,故③錯(cuò)誤; 若α∩β=m,n∥m,n?α,則n∥α,同理由n?β可得n∥β,故④正確. 故選D. 4.B　[解析] 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直,所以①是真命題;若m∥α,α⊥β,則m與β不一定垂直,所以②是假命題.故選B. 5.DM⊥PC(或BM⊥PC)　[解析] 易知BD⊥PC,∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥

10、平面MBD. 而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 6.B　[解析] 由m?α,m⊥β?α⊥β,而α⊥β時(shí),α內(nèi)任意一條直線不一定垂直于β,因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件,故選B. 7.C　[解析]∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),△ACB為直角三角形, ∴BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC, ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, ∴PA=PB=PC. 8.A　[解析] 對(duì)于①,∵DF∥B1D1,DF?平面D1EB1,B1D1?平面D1EB1,∴DF∥平面D1EB1,故①正確; 對(duì)于②,∵DF∥B1D1,∴異面直線DF與B1C所成角即為B1D1與B1C所成角,又

11、△B1D1C為等邊三角形,故異面直線DF與B1C所成角為60°,故②正確; 對(duì)于③,∵ED1⊥A1D,ED1⊥CD,且A1D∩CD=D,∴ED1⊥平面A1B1CD,即ED1⊥平面B1DC,故③正確; 對(duì)于④,V三棱錐F - CDB1=V三棱錐B1- CDF=13×S△CDF×1=13×14=112,故④正確. 故選A. 9.C　[解析] 過(guò)S作SO⊥平面ABC,垂足為O,連接AO并延長(zhǎng),交BC于H,連接CO. ∵SO⊥BC, SA⊥BC,SO∩SA=S, ∴BC⊥平面SAO, 又AO?平面SAO, ∴BC⊥AO,同理AB⊥CO, ∴O是三角形ABC的垂心. 故選C.

12、 10.B　[解析] 如圖,設(shè)BP的中點(diǎn)為O,連接OA,OC,易得BP⊥OA,BP⊥OC,則BP⊥平面OAC,故BP⊥AC,則選項(xiàng)A成立;又AC⊥BD,則AC⊥平面BDP,故AC⊥PD,平面PBD⊥平面ABCD,即選項(xiàng)C,D成立.故選B. 11.C　[解析] 如圖所示,因?yàn)镈A⊥AE,DC⊥CF,所以折疊后DP⊥PE,DP⊥PF, 所以DP⊥平面PEF,所以①正確; 由DP⊥平面PEF, 可知DG⊥平面PEF是不正確的,所以②不正確; 由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又PE?平面PDE,所以平面PDE⊥平面DPF, 所以③正確. 綜上可知,正確結(jié)論的序號(hào)為①

13、③,故選C. 12.2+6　[解析] 如圖,設(shè)AC∩BD=O,連接SO,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG,設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH, 易知AC⊥EF,GH∥SO, ∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面EFG, 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是△EFG(除去點(diǎn)E),由已知易得EF=2,GE=GF=62,∴△EFG的周長(zhǎng)為2+6,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為2+6. 13.①③④　[解析] 如圖所示,其中E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),G為OE的中點(diǎn),平面OMN即平面MNFE. 因?yàn)镻C∥OM,所以PC∥平面OMN,因?yàn)镻D∥ON,所以PD∥平面OMN,又因?yàn)镻C

14、∩PD=P,所以平面PCD∥平面OMN,故①④正確;由于四棱錐的棱長(zhǎng)均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以O(shè)M⊥PA,故③正確;因?yàn)镺M=12PC=12PD=ME,所以MG⊥OE,又MN∥OE,所以GM⊥MN,假設(shè)平面OMN⊥平面PAB,則GM⊥平面PAB,則MG⊥PA,設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為4,則MA=2,AG=5,MG=3,三邊長(zhǎng)度不滿足勾股定理,所以MG不垂直于PA,與假設(shè)矛盾,故②不正確. 14.證明:(1)因?yàn)镸,N分別為PA,PB的中點(diǎn), 所以MN∥PB. 又PB?平面CMN,MN?平面CMN, 所以PB∥平面CMN. (2)

15、因?yàn)锳B⊥BP,MN∥PB, 所以AB⊥MN. 因?yàn)锳C=PC,M為PA的中點(diǎn), 所以CM⊥PA. 又平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA, 所以CM⊥平面PAB, 因?yàn)锳B?平面PAB, 所以CM⊥AB, 又CM∩MN=M,CM?平面CMN,MN?平面CMN, 所以AB⊥平面CMN. 15.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即DO⊥AC. 又∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=60°,∴OD=12BD=3. 在Rt△BOC中,M是BC的中點(diǎn),∴OM=12BC=3, ∴OM2+OD2=32+32=18=(32)2=DM2,∴OD⊥O

16、M. 而OM?平面ABC,AC?平面ABC,AC∩OM=O,∴OD⊥平面ABC, ∴平面ODM⊥平面ABC. (2)連接AM,易知AB=6,BM=3,∠ABM=120°,∴S△ABM=12AB·BM·sin120°=923. 由(1)知,OD⊥平面ABC,∴BD2=OD2+OB2=2OD2=18,∴BD=32, ∴△ABD中BD邊上的高h(yuǎn)=AB2-(12BD)?2=62-(322)?2=3214, ∴S△ABD=12BD·h=972. 設(shè)點(diǎn)M到平面ABD的距離為d, 則由V三棱錐M-ABD=V三棱錐D-ABM?d=S△ABM·ODS△ABD=3217,即為所求. 16.證明:

17、(1)因?yàn)镋F∥AB,所以EF與AB確定平面EABF. 因?yàn)镋A⊥平面ABCD,所以EA⊥BC. 由已知得AB⊥BC,又EA∩AB=A, 所以BC⊥平面EABF. 又AF?平面EABF, 所以BC⊥AF. (2)過(guò)M作MN⊥BC,垂足為N,連接FN,則MN∥AB. 又CM=14AC, 所以MN=14AB. 又EF∥AB且EF=14AB, 所以EF∥MN且EF=MN, 所以四邊形EFNM為平行四邊形, 所以EM∥FN. 又FN?平面FBC,EM?平面FBC, 所以EM∥平面FBC. (3)由(1)可知,AF⊥BC. 在四邊形ABFE中,AB=4,AE=2,EF=1, ∠BAE=∠AEF=90°, 所以tan∠EBA=tan∠FAE=12, 則∠EBA=∠FAE. 設(shè)AF∩BE=P, 因?yàn)椤螾AE+∠PAB=90°, 所以∠PBA+∠PAB=90°, 則∠APB=90°,即EB⊥AF. 又因?yàn)镋B∩BC=B,所以AF⊥平面EBC.