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1、專題01 集合
一、【知識精講】
1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．
(4)常見數集的記法
集合
自然數集
正整數集
整數集
有理數集
實數集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合間的基本關系
(1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A．
(2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA．
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B．
(4)空集的性質：?是任何集
2、合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
并集
交集
補集
圖形表示
符號表示
A∪B
A∩B
?UA
意義
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
[知識拓展] 集合關系與運算的常用結論
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A?A．
(3)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C．
(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B．
(5)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
二、【典例精練】
3、
例1. (2018年全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為( )
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A
【解析】法一：將滿足x2+y2≤3的整數x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個．故選A.
法二：根據集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數，故選A.
例2.(1)(2017年全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B
4、＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 019＋b2 019的值為( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
【答案】(1)B (2)C
【解析】(1)因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數為2.
(2)由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2019+b20
5、19＝-12019+02019＝－1.
【解法小結】 與集合中的元素有關的解題策略
(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數集還是點集．
(2)看這些元素滿足什么限制條件．
(3)根據限制條件列式求參數的值或確定集合中元素的個數，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．
提醒： 集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．
例3. (1)(2018年天津高考)設集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
6、
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
【答案】(1)C (2)D
【解析】 (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依題意得A＝{x|x<－1或x>4}，
因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)
7、∩B＝{x|－1≤x≤2}．
【解法小結】 集合基本運算的方法技巧
(1)當集合是用列舉法表示的數集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算．
(2)當集合是用不等式表示時，可運用數軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗．
(3)集合的交、并、補運算口訣如下：
交集元素仔細找，屬于A且屬于B；
并集元素勿遺漏，切記重復僅取一；
全集U是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補集．
例4.．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實數m的取值范圍為________．
【答案】[－2,2)
【解析】①若B＝?，則Δ＝m2－4<0
8、，解得－20}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}
9、，則實數m的取值范圍是( )
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
【答案】B
【解析】集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B.
例6.如果集合A滿足若x∈A，則－x∈A，那么就稱集合A為“對稱集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是對稱集合，集合B是自然數集，則A∩B＝________.
【答案】{0,6}
【解析】 由題意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而當x＝0時不符合元素的互異性，所以舍去．當x＝－3時，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．
易錯警示：
10、 解決集合運算問題需注意以下四點：
(1)看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.
(2)看集合能否化簡，集合能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于求解.
(3)要借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數軸表示，并注意端點值的取舍.
(4)以集合為依托，對集合的定義、運算、性質加以創(chuàng)新，但最終應轉化為原來的集合問題來解決.
三、【名校新題】
1.(2019年河南名校聯盟聯考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，則a＝( )
11、A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
【答案】A
【解析】∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3，故選A.
2．(2019·重慶六校聯考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，則(?RA)∩B＝( )
A. B.
C. D．?
【答案】A
【解析】由題意得A＝，B＝(0,100)，則?RA＝(－∞，－1)∪，所以(?RA)∩B＝.
3．(2019·合肥質量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠?
12、，則實數a的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
【答案】A
【解析】因為A∩B≠?，
所以解得a≥1.
4.(2019·福州質量檢測)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1
13、．(－∞，2] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】D
【解析】由A∩B＝A，可得A?B，又因為A＝{x|1
14、B.1
C.2 D.3
【答案】C
8.（2019湖北部分重點中學聯考）已知集合M=xy=1-x2,x∈R,N=xx=m2,m∈M,則集合M,N的關系是（）
A.M?N B. N?M
C.M?CRN D. N?CRM
【答案】B
9.（2019唐山模擬）若集合A=x-1
15、 C.-1,1∪2,+∞) D.?
【答案】C
10.（2019江西百校聯盟聯考）已知集合A=x-5+21x-4x2<0,B=x∈Z-3
16、
【答案】D
13.（2019年合肥二模）若集合，，則
A. B. C.(-1，1) D.(-1，2)
【答案】C
14.（2019年九江市高三聯考）已知集合，，則（ ）
A. B.C.D.
【答案】C
15.（2019年深圳高中高三聯考）已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，則(RB)∩A＝( )
A. {x|－2≤x<1} B. {x|－2≤x≤2}C. {x|12}，
則(?RB)∩A＝{x|1
17、}，選C.
16.（2019年蚌埠一中高三考試題）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
17．已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝，C＝{x|x＝2n，n∈N}，則(A∪B)∩C＝( )
A．{2,4} B．{0,2}
C．{0,2,4} D．{x|x＝2n，n∈N}
【答案】C
【解析】∵A＝{x|－x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4}，
B＝＝{x|3－4<3x<33}＝{x|－4
18、三調研)設全集U＝{x|－4
19、(2018·臺州三校適考)已知集合A＝{x|log4(x＋1)≤1}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，則A∩B＝( )
A．{－1,1,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{－1,1}
【答案】B
【解析】由log4(x＋1)≤1，得0
（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題01 集合（含解析）
