（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（三）理（含解析）

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1、素養(yǎng)提升練(三) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．(2019·駐馬店期中)若集合A＝{x|x(x－2)<0}，且A∪B＝A，則集合B可能是(　　) A．{－1} B．{0} C．{1} D．{2} 答案　C 解析　A＝(0,2)，∵A∪B＝A，∴B?A，選項中只有{1}?A，故選C. 2．(2019·成都外國語學(xué)校一模)已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝3－

2、i(i為虛數(shù)單位)，則＝(　　) A.－i B．－＋i C．－－i D.＋i 答案　B 解析　∵復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，且z1＝3－i，∴z2＝－3－i，∴＝＝－＋i.故選B. 3．(2019·合肥一中模擬)若sin＝，那么cos的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由題意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－，故選D. 4．(2019·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概

3、率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，其基本事件總數(shù)n＝26＝64，恰有3個陽爻的基本事件數(shù)為C＝20，所以在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的概率P＝＝.故選A. 5．(2019·江南十校模擬)已知邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E滿足＝2，則·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　由題意可得大致圖象如下圖所示， ∵＝＋＝＋；＝－＝－，∴·＝·(－)＝·－·＋·－·＝·－||2＋||2，又||＝||＝1，·＝||||cos∠BAD＝，∴·＝×－1＋＝－.故選D.

4、6．(2019·珠海一模)若x，y滿足約束條件 目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y取得最大值時的最優(yōu)解僅為(1,3)，則a的取值范圍為(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－1,0] 答案　A 解析　結(jié)合不等式組，繪制可行域，得到圖中的陰影部分， 目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝－ax＋z，當(dāng)－a≥0時，則－a<1，此時a的取值范圍為(－1,0]，當(dāng)－a<0時，則－a>－1，此時a的取值范圍為(0,1)．綜上所述，a的取值范圍為(－1,1)，故選A. 7．(2019·河南九獅聯(lián)盟聯(lián)考)下面框圖的功能是求滿足1×3×5×…×n>111111的最小正整數(shù)n

5、，則空白處應(yīng)填入的是(　　) A．輸出i＋2 B．輸出i C．輸出i－1 D．輸出i－2 答案　D 解析　根據(jù)程序框圖得到的循環(huán)是M＝1，i＝3； M＝1×3，i＝5； M＝1×3×5，i＝7； M＝1×3×5×7，i＝9； … M＝1×3×5×…×(n－2)，i＝n之后進(jìn)入判斷，不符合題意時輸出，輸出的是i－2.故選D. 8．(2019·宜賓診斷)已知直線l1：3x＋y－6＝0與圓心為M(0,1)，半徑為的圓相交于A，B兩點，另一直線l2：2kx＋2y－3k－3＝0與圓M交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最大值為(　　) A．5 B．10 C．5(＋1

6、) D．5(－1) 答案　A 解析　以M(0,1)為圓心，半徑為的圓的方程為x2＋(y－1)2＝5，聯(lián)立解得A(2,0)，B(1,3)，∴AB的中點為，而直線l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒過定點，要使四邊形的面積最大，只需直線l2過圓心即可，即CD為直徑，此時AB垂直CD， |AB|＝＝， ∴四邊形ACBD面積的最大值為S＝×|AB|×|CD|＝××2＝5.故選A. 9．(2019·漳州一模)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“諸葛亮領(lǐng)八員將，每將又分八個營，每營里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個，每個旗頭八隊成，每隊更該八個甲，每個甲頭八個兵．”則該問題

7、中將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有(　　) A.(87－8)人 B.(89－8)人 C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人 答案　D 解析　由題意可得將官、營、陣、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項為8，公比也是8，所以將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故選D. 10．(2019·深圳調(diào)研)已知A，B，C為球O的球面上的三個定點，∠ABC＝60°，AC＝2，P為球O的球面上的動點，記三棱錐P－ABC的體積為V1，三棱錐O－ABC的體積為V2，若的最大值為3，則球O的表面積為(　　)

8、 A. B. C. D．6π 答案　B 解析　由題意，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O′，其半徑為r，球O的半徑為R，且|OO′|＝d，依題意可知max＝＝3，即R＝2d，顯然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，得球O的表面積為4πR2＝πr2＝，故選B. 11．(2019·西工大附中模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且滿足|PF1|＋|

9、PF2|＝6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a

10、(x)>1－f(x)．若?x∈R，不等式exf(ex)－ex＋ax－axf(ax)>0恒成立，則正整數(shù)a的最大值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵xf′(x)>1－f(x)，∴xf′(x)－1＋f(x)>0， 令F(x)＝x[f(x)－1]，則 F′(x)＝xf′(x)＋f(x)－1>0， 又∵f(x)是在R上的偶函數(shù)， ∴F(x)是在R上的奇函數(shù)， ∴F(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)， 又∵exf(ex)－axf(ax)>ex－ax， 可化為ex[f(ex)－1]>ax[f(ax)－1]， 即F(ex)>F(ax)， 又∵F(x)是在R

11、上的單調(diào)遞增函數(shù)， ∴ex－ax>0恒成立， 令g(x)＝ex－ax，則g′(x)＝ex－a， ∵a>0，∴g(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(x)min＝a－aln a>0，則1－ln a>0， ∴0

12、等獎”； 丙說：“A，D兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“C作品獲得一等獎”． 評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是________． 答案　B 解析　若A為一等獎，則甲、乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿足題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意．綜上所述，故B獲得一等獎． 14．(2019·天津七校聯(lián)考)若二項式6的展開式中的常數(shù)項為m，則3x2dx＝________. 答案　124 解析　由題意，二項展開式的通項

13、為Tr＋1＝C·6－r·r＝6－rC·x12－3r，由12－3r＝0，得r＝4，所以m＝2·C＝5，則3x2dx＝3x2dx＝x3＝53－13＝124. 15．(2019·東師附中模擬)已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2－3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－4)處的切線方程為________． 答案　5x＋y－1＝0 解析　由題意，設(shè)x>0，則－x<0， 則f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x. 又由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以－f(x)＝x2＋3x， 即f(x)＝－x2－3x(x>0)， 則f′(x)＝－2x－3，所以f′(1)＝－2－3＝－5，且f(1)

14、＝－4，由直線的點斜式方程可知y＋4＝－5(x－1)＝－5x＋5，所以5x＋y－1＝0. 16．(2019·煙臺適應(yīng)性測試)已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，M是拋物線C上一點，若FM的延長線交x軸的正半軸于點N，交拋物線C的準(zhǔn)線l于點T，且＝，則|NT|＝________. 答案　3 解析　畫出圖形如下圖所示．由題意得拋物線的焦點F(0,1)，準(zhǔn)線為y＝－1. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點為E，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，交x軸于點P. 由題意得△NPM∽△NOF， 又＝，即M為FN的中點， ∴|MP|＝|OF|＝， ∴|MQ|＝＋1＝，∴|FM|＝|MN|＝. 又＝＝

15、， 即＝＝，解得|TN|＝3. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分)(2019·淄博模擬)已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝＋2log2an－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a1，a2，a3－2成等差數(shù)列， ∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，

16、 ∴q＝＝2?an＝a1qn－1＝2n(n∈N*)． (2)∵bn＝＋2log2an－1＝n＋2log22n－1＝n＋2n－1， ∴Sn＝＋＋＋…＋ ＝＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝＋ ＝n2－n＋1(n∈N*)． 18．(本小題滿分12分)(2019·廣州二模)科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表： x(年 齡/歲) 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y(脂肪 含量/%) 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4

17、33.5 35.2 34.6 根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖． (1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖： ①求； ②計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并刻畫它們的相關(guān)程度； (2)若y關(guān)于x的線性回歸方程為＝1.56＋x，求的值(精確到0.01)，并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量． 參考數(shù)據(jù)：＝27，xiyi＝13527.8，x＝23638，y＝7759.6，≈6.56，≈54.18. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝＝，回歸方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－. 解　(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖知， ①＝＝47. ②回歸系數(shù)r＝

18、 ＝ ＝ ＝ ＝ . 因為≈6.56，≈54.18， 所以r≈0.98. 由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)． (2)因為回歸方程為＝1.56＋x，即＝1.56， 所以＝＝≈0.54. 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.54x＋1.56， 將x＝50代入線性回歸方程得＝0.54×50＋1.56＝28.56， 所以根據(jù)回歸方程預(yù)測年齡為50歲時人的脂肪含量為28.56%. 19．(本小題滿分12分)(2019·咸陽模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.

19、 (1)求證：PO⊥平面ABCD； (2)若PA與平面ABCD所成的角為30°，求二面角B－PC－D 的余弦值． 解　(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴O為AC，BD的中點， 又PA＝PC，PB＝PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD， ∵AC∩BD＝O，且AC，BD?平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD. (2)設(shè)菱形ABCD的邊長為2t(t>0)， ∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴OA＝t. 由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA與平面ABCD所成的角為∠PAO＝30°，得到PO＝t， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則B(0，t,0)，C(－t,0,0)，P

20、(0,0，t)，D(0，－t,0)，得到＝(0，－t，t)，＝(t,0，t)． 設(shè)平面PBC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2＝(x2，y2，z2)． 則即令x1＝1， 則y1＝z1＝－，得到n1＝(1，－，－)． 同理可得n2＝(1，，－)， ∴|cos〈n1，n2〉|＝＝. ∵二面角B－PC－D為鈍二面角，則余弦值為－. 20．(本小題滿分12分)(2019·廣州六校聯(lián)考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0.以邊AB的中垂線為x軸，以AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系． (1)求動點C的軌跡E

21、的方程； (2)已知定點P(0,4)，不垂直于AB的動直線l與軌跡E相交于M，N兩點，若直線MP，NP關(guān)于y軸對稱，求△PMN面積的取值范圍． 解　(1)由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得，sinA＋sinB＝2sinC， 由正弦定理|CA|＋|CB|＝2|AB|＝4>|AB|， 所以點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(除y軸上的點)，其中a＝2，c＝1，則b＝， 故軌跡E的方程為＋＝1(x≠0)． (2)由題可知，P(0,4)，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y＝kx＋m(mk≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線l的方程代入軌跡E的方程得，(

22、3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0. 由Δ>0得3k2＋4>m2，且 x1＋x2＝－，x1x2＝， 因為直線MP，NP關(guān)于y軸對稱，所以kMP＋kNP＝0，即＋＝0. 化簡得2kx1x2＋(m－4)(x1＋x2)＝0， 所以2k·＋(m－4)·＝0， 得m＝1， 那么直線l過點B(0,1)，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以△PMN的面積 S＝·|BP|·|x1－x2|＝＝18， 設(shè)k2＋1＝t，則t>1，S＝18·， 顯然S在t∈(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以S∈. 即△PMN面積的取值范圍為. 21．(本小題滿分12分)(2019·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝

23、xln x－x2＋(a－1)x，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最大值為0. (1)求實數(shù)a的值； (2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，證明：x1＋x2>2. 解　(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝ln x－a(x－1)， 記h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝. 當(dāng)a≤0時，h′(x)＝≥0恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(1)＝0. 所以?x∈(1，＋∞)，有h(x)＝f′(x)>0，故a≤0時不成立； 當(dāng)a>0時，若x∈，則h′(x)＝>0； 若x∈，則h′(x)＝<0. 所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

24、減． 所以h(x)max＝h＝－ln a＋a－1＝0. 令g(a)＝－ln a＋a－1，則g′(a)＝1－＝. 當(dāng)01時，g′(a)>0. 所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以g(a)≥g(1)＝0，故a＝1. (2)證明：當(dāng)a＝1時，f(x)＝xln x－x2，則 f′(x)＝1＋ln x－x. 由(1)知f′(x)＝1＋ln x－x≤0恒成立， 所以f(x)＝xln x－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 且f(1)＝－，f(x1)＋f(x2)＝－1＝2f(1)， 不妨設(shè)0

25、， 欲證x1＋x2>2，只需證x2>2－x1， 因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 則只需證f(x2)－1. 令F(x)＝f(x)＋f(2－x)(其中x∈(0,1))， 且F(1)＝－1. 所以欲證f(2－x1)＋f(x1)>－1， 只需證F(x)>F(1)，x∈(0,1)， 由F′(x)＝f′(x)－f′(2－x)＝1＋ln x－x－[1＋ln (2－x)－2＋x]， 整理得F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)，x∈(

26、0,1)， F″(x)＝>0，x∈(0,1)， 所以F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增， 所以?x∈(0,1)，F(xiàn)′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)F(1)，x∈(0,1)， 故x1＋x2>2. (二)選考題：10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(

27、ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程． 解　(1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上， 當(dāng)θ0＝時，ρ0＝4sin＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗，點P在曲線ρcos＝2上， 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ. 因

28、為P在線段OM上，且AP⊥OM， 所以θ的取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，θ∈. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] (2019·漳州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|2－x|－|4－x|. (1)關(guān)于x的不等式f(x)≥a2－3a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若f(m)＋f(n)＝4，且mm≥4，故m＋n>8. 15