（全國通用）2020版高考數學二輪復習 第四層熱身篇 專題檢測（五）數學文化

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1、專題檢測（五） 數學文化 一、選擇題 1.我國古代數學著作《九章算術》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A.104人　　　　　　　　 B.108人 C.112人 D.120人 解析：選B　由題設可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數為300×＝300×＝108.故選B. 2.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和.是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.

2、其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列第20項為(　　) A.180 B.200 C.128 D.162 解析：選B　根據前10項可得規(guī)律：每兩個數增加相同的數，且增加的數構成首項為2，公差為2的等差數列.可得從第11項到20項為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數列第20項為200. 3.(2019·昆明市高三調研測試)法國學者貝特朗于1899年針對幾何概型提出了貝特朗悖論，內容如下：如圖，在半徑為1的圓內隨機地取一條弦，則弦長超過圓內接等邊三角形的邊長的概率等于多少？基于對術語“隨機地取一條弦”含

3、義的不同解釋，存在著不同答案.現(xiàn)給出其中一種解釋：固定弦的一個端點A，另一端點在圓周上隨機選取，其答案為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　記等邊三角形為△ABC，弦的另一個端點為P.如圖，弦AP的長超過AB的長，則點P落在劣弧上，所以所求概率為.故選B. 4.歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”.根據此公式可知，e2i表示的復數在復平面內對應的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4、 D.第四象限 解析：選B　依題可知eix表示的復數在復平面內對應的點的坐標為(cos x，sin x)，故e2i表示的復數在復平面內對應的點的坐標為(cos 2，sin 2)，顯然該點位于第二象限，選B. 5.如圖所示是2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標圖案，該圖案的設計基礎是趙爽弦圖，以紀念我國古代數學家趙爽用此圖證明了勾股定理.如圖是用4個全等的直角三角形以斜邊為邊長拼成的一個正方形.假設直角三角形的直角邊長分別為3，5，在正方形ABCD中隨機取一點，則此點取自四邊形EFGH內的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因為直角三角形的直角邊長分別為3，

5、5，所以正方形ABCD的面積為32＋52＝34，易知四邊形EFGH的面積為(5－3)2＝4.故此點取自四邊形EFGH內的概率P＝＝.故選A. 6.我國古代的天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始.若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是(　　) A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 解析：選B　設從夏至到冬至的晷長依次構成等差

6、數列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸.故選B. 7.《算數書》是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h，相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　依題意，設圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡得π≈.故

7、選A. 8.五進制是以5為底的進位制，主因乃人類的一只手有五只手指.中國古代的五行學說也是采用的五進制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此類推，5又屬土，6屬水(減去5即得)……如圖，這是一個把k進制數a(共有n位)化為十進制數b的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的k，a，n分別為5，1 203，4，則輸出的b＝(　　) A.178 B.386 C.890 D.14 303 解析：選A　執(zhí)行該程序框圖，可得當輸入k＝5，a＝1 203，n＝4時，該程序框圖的功能是計算并輸出b＝3×50＋0×51＋2×52＋1×53＝178.故選A. 9.天干地支紀年法源于

8、中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時為________年(　　) A.丙酉 B.戊申 C.己申 D.己酉 解析：選D　天干以1

9、0循環(huán)，地支以12循環(huán)，從1949年到2029年經過80年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項，80÷10＝8，則2029年的天干為己；80÷12＝6……8，則2029年的地支為酉. 10.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標志著中國古代數學形成了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計算問題，術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢×矢).弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.

10、現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為平方米，則cos∠AOB＝　(　　) A. B. C. D. 解析：選D　如圖，依題意AB＝6，設CD＝x(x＞0)，則(6x＋x2)＝，解得x＝1.設OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5. 由余弦定理得cos∠AOB＝＝，故選D. 11.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數據組成傳輸信息.設定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕的運算規(guī)則為0⊕0＝

11、0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是(　　) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 解析：選C　對于選項C，傳輸信息是10111，對應的原信息是011，由題目中的運算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應是10110. 12.中國傳統(tǒng)文化中很多內容體現(xiàn)了數學的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義：圖像能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩部

12、分的函數稱為圓O的一個“太極函數”，給出下列命題： ①對于任意一個圓O，其“太極函數”有無數個； ②函數f(x)＝ln(x2＋ )可以是某個圓的“太極函數”； ③正弦函數y＝sin x可以同時是無數個圓的“太極函數”； ④函數y＝f(x)是“太極函數”的充要條件為函數y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形. 其中正確的命題為(　　) A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④ 解析：選A　過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O，其“太極函數”有無數個，故①正確； 函數f(x)＝ln(x2＋ )的圖像如圖所示， 故其不可能為圓的“太極函數”，故②錯

13、誤； 將圓的圓心放在正弦函數y＝sin x圖像的對稱中心上，則正弦函數y＝sin x是該圓的“太極函數”， 從而正弦函數y＝sin x可以同時是無數個圓的“太極函數”，故③正確； 函數y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數”，但函數y＝f(x)是“太極函數”時，圖像不一定是中心對稱圖形，如圖，故④錯誤.故選A. 二、填空題 13.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90

14、°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為________.(容器壁的厚度忽略不計) 解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1，2，6的長方體的外接球.設其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 14.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應用.直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，若線段P

15、F2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為________. 解析：由題意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設P(x，y)，聯(lián)立，得 得P.故點P的橫坐標為. 答案： 15.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，這一數值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________. 解析：由題設n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 16.(2019·合肥市第一次質檢)部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖. 現(xiàn)在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為________. 解析：由題意可知每次挖去等邊三角形的，設題圖(1)中三角形的面積為1，則題圖(2)中陰影部分的面積為1－＝，題圖(3)中陰影部分的面積為＝＝，故在題圖(3)中隨機選取一點，此點來自陰影部分的概率為. 答案： - 7 -