（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習 專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件（含解析）

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1、專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 一、【知識精講】 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 圖1-2-1 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； (2)若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件； (3)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件；

2、(4)若p?q，則p是q的充要條件； (5)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件． [知識拓展]　集合與充要條件 設(shè)集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有： (1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件． (2)若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件． (3)若A＝B，則p是q的充要條件． 二、【典例精練】 例1.(2019·菏澤模擬)有以下命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題； ③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題；

3、④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中真命題是(　　) A．①②　　　　　　　 　B．②③ C．④ D．①②③ 【答案】D 【解析】?、僭}的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”，是真命題；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確． 【方法小結(jié)】 1．由原命題寫出其他三種命題的方法 由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時否定

4、即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命題． 例2． (1)(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 例2.(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 (1)A　(2)A　 【解析】(1)法一　由題意知|m|≠0，|n|≠0. 設(shè)m與n的夾角為θ. 若存在負數(shù)λ，使得m＝λn， 則m與n反向

5、共線，θ＝180°， ∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0. 當90°<θ<180°時，m·n<0，此時不存在負數(shù)λ，使得m＝λn. 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． 故選A． 法二　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴當λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈， 當〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． 故選A． (2) 由＜，得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即“＜”?“x3＜

6、1”； 由x3＜1，得x＜1， 當x≤0時，≥， 即“x3＜1” “＜”． 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要條件． 【方法小結(jié)】　充分條件、必要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題. (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題. (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題. 例3.　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必

7、要條件，則m的取值范圍是________． 【答案】[0,3] 【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則所以0≤m≤3. 所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]． 【方法小結(jié)】　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法 (1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不

8、等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． 三、【名校新題】 1．(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則－11或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 【答案】D　 【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若?q,則?p”的形式，所以“若x2<1，則－1

9、a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件　　 　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】當a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4時，a＋d＝b＋c，但此時a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當a，b，c，d依次成等差數(shù)列時，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B. 3.(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是(　　) A．m> B．00 D．m>1 【答案】C　 【解析】若不等式

10、x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此當不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時，必有m>0，但當m>0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0. 4．（蚌埠一中2019屆高三考試題）已知，都是實數(shù)，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】由條件得a>b,不能得到；反之，由得a>b,?a>b,從而2a>2b不成立。 5.（滁州市2019屆高三統(tǒng)考題）若為實數(shù)，則“”是的（） A

11、．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】由條件知a,b同號。當a,b都為正時，可得a<1b；當a,b都為負時，可得b>1a。反之，a,b可能異號，所以ab<0.故選A 6.（安徽肥東一中2019屆高三考試題）若，是兩個非零的平面向量，則“”是“”的（） A. 充分且不必要條件 B. 必要且不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C

12、 【解析】?a2=b2?a=b 7．（黃山市2019屆高三八校聯(lián)考）“”是“直線的傾斜角大于”的（） （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當a<-1,直線斜率大于1，所以傾斜角大于π4；反之，當直線傾斜角大于π4時，若大于π2，則斜率小于0，a大于0.故選A 8．（福建長汀、連城等六校2019屆高三聯(lián)考）下列關(guān)于命題的說法錯誤的是（） A. 命題“若，則”的逆否命題為“若，則”； B. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件； C. 若命題，則； D. 命題“”是假命題. 【答案】C 【

13、解析】按照原命題與逆否命題的定義，知A正確；“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充要條件是a>1，∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B正確；對于D，?x∈-∞,0,2x>3x,∴D正確；對于C，命題的否定形式錯了。 9．（2019年荊州市高三八校聯(lián)考）下列有關(guān)命題的說法正確的是（） A．，使得成立． B．命題：任意，都有，則：存在，使得． C．命題“若且，則且”的逆命題為真命題． D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是的必要不充分條件． 【答案】D 【解析】選項A，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最小值3，故A錯誤； 選項B，：存在，使得，所以B錯誤． 選項C，逆命題為：“

14、若且，則且”當時，滿足且，但不滿足且，所以C錯誤． 選項D，若數(shù)列是等比數(shù)列，，則， 反過來，若數(shù)列是等比數(shù)列，當公比為1時，，不能推出，故D正確． 10.（合肥一六八中學2019屆高三上學期周考試題）以下有關(guān)命題的說法錯誤的是（） A. 命題“若，則”的逆否命題為“若，則” B. “”是“”成立的必要不充分條件 C. 對于命題，使得，則，均有 D. 若為真命題，則與至少有一個為真命題 【答案】D 【解析】若p真q假，則為真，但與都是假命題，所以D錯 11．（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（　?。? A．充分而不必要條件

15、 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當a∕∕b時，a?b=±ab,所以A正確。 12．（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）下列命題正確的個數(shù)是( ) ①．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題是真命題； ②．命題p：x≠2或y≠3，命題q：x+y≠5則p是q的必要不充分條件； ③．“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3﹣x2+1＞0”； ④．“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”． A．1 B．2 C．3 D

16、．4 【答案】C 【解析】①③④正確 13.（合肥市2019屆高三一模（理科））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對實數(shù)，“”是“”的( ). A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】因fx是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，a>b?a>b,所以有fa>fb;反之可得a>b，得不出a>b，故A正確 14. （合肥市2019屆高三一模（文科））已知函數(shù)，對于實數(shù)，“”是“”的(　 　). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】函數(shù)fx是奇函數(shù)且在R上增，所以C正確

17、 15.（2019年皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考）設(shè)為正數(shù)，則“”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】當a+b>c,取a=b=2,c=3,則a2+b2=8,c2=9,8<9,所以a2+b2>c2不成立；當a2+b2>c2時，若a+b≤c，則0

18、ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題； ③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件； ④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”． 以上說法正確的是________(填序號)． 【答案】①②④ 【解析】對于①，“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是“若sin x＝cos y，則x＋y＝”，當x＝0，y＝時，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命題為假命題，①正確；對于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正確；對于③，“a＝±1”是

19、“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯誤；對于④，根據(jù)否命題的定義知④正確． 17.（合肥市2019屆高三二模）若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是 　　 【答案】 【解析】逆命題成立，所以 18.（南京市2019屆高三第一學期綜合模擬）已知四邊形為梯形, ,為空間一直線,則“垂直于兩腰”是“垂直于兩底”的條件(填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一個). 【答案】充分不必要 【解析】因為l是空間任一直線，ABCD是梯形，所以AD,BC不平行，若l與兩腰都平行，則l必與平面ABCD平行，從而l也與AB,CD平行，所以原命題正確；但當l與AB,CD垂直時，因AB與CD平行，顯然不能推出l與兩腰都垂直，所以逆命題不成立。故填充分不必要條件。 8