3、?PD＝
2AP，則?AP?的長為________．
【答案】2，2?3，?14－?2
【解析】∵PD＝2AP，∴設(shè)?AP＝x，則?PD＝2x，
①當?P?在?AD?邊上時，如解圖①，
∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，
∴x＋2x＝6?即?x＝2，∴AP＝2
②當?P?在?DC?上時，如解圖②
在?Rt△ADP?中，AP＞PD，PD≠2AP，
1
第?12?題解圖① 第?12?題解圖②
③當?P?在?BC?邊上時，如解圖
4、③，
DP?最大為?6?2，AP?最小為?6，PD≠2AP，
④當?P?在?AB?上時，如解圖④，
在?Rt△ADP?中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得?x1＝2?3，x2＝－2?3(舍)，
∴AP＝2?3；
⑤當?P?在?AC?對角線上時，如解圖⑤，在?Rt△ADC?中，AC＝???AB2＋BC2＝6???2，∴AO＝??AC＝3???2，在?Rt△PDO?中，
第?12?題解圖③ 第?12?題解圖④ 第?12?題解圖⑤ 第?12?題解圖⑥
1
2
PO＝3?2－
5、x，PD＝2x，DO＝AO＝3?2，∴PD2＝PO2＋DO2，
(2x)2＝(3?2)2＋(3?2－x)2，解得?x1＝?14－?2，x2＝－?14－?2(舍)，∴AP＝?14－?2；
⑥當?P?在?DB?對角線上時，如解圖⑥，在?Rt△APO?中，AP2＝AO2＋PO2，∴x2＝(2x－3?2)2＋(3?2)2，整理得：x2
－4?2x＋12＝0，∴(－4?2)2－4×1×12＝－16＜0，∴方程無解，綜上所述：AP＝2?或?2?3或?14－?2
【知識點】正方形，一元二方程的解法，勾股定理
6、
3.?（2018?浙江省臺州市，16，5?分）
如圖，在正方形?ABCD?中，?AB?=?3?，點?E?，?F?分別在?CD?，?AD?上，?CE?=?DF?，?BE?，?CF?相交于點?G?.若
圖中陰影部分的面積與正方形?ABCD?的面積之比為?2?:3?，則?DBCG?的周長為 ．
2
?易知?SDBCG=S四邊形FGED=?3
? CG= ，，∴?SDBCG= BGg
【答案】?3+?15
【思路分析】通過正方形的邊長可以求出正方形的面積，根據(jù)
7、“陰影部分的面積與正方形的面積之比為2:3”可
以求出空白部分的面積；利用正方形的性質(zhì)可以證明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG?是直角三角形，二是可以
得?到?Δ?BCG?的?面?積?，?進?而?求?出?BGgCG=3?；?利?用?勾?股?定?理?可?以?求?出?BG?2+CG?2=9?，?這?樣?就?可?以?求?出
BG+CG=?15?，因而ΔBCG?的周長就可以表示出來了.
【解題過程】∵在正方形?ABCD?中，AB=3，
∴?S正方形ABCD=32=9?，
∵陰影部分的面積與正方形?ABCD?的面積之比為?2:3，
∴空
8、白部分的面積與正方形?ABCD?的面積之比為?1:3，
∴?S空白=3?，
∵四邊形?ABCD?是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°
∵CE=DF,
∴ΔBCE≌CDF(SAS)
∴∠CBE=∠DCF,
∵∠DCF+∠BCG=90°,
∴∠CBE+∠BCG=90°,
即∠BGC=90°，ΔBCG?是直角三角形
1 3
2 2 2
3
∴?BGgCG=3?，
根據(jù)勾股定理：?BG?2+CG?2=BC2?，即?BG?2+CG?2=9
2
∴（B
9、G+CG）=?BG?2+2BG?gCG+?CG?2=9+2?′?3=15?，
∴?BG+CG=?15?，
∴ΔBCG?的周長=BG+CG+BC=?3+?15
【知識點】正方形的性質(zhì)，三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；一元二次方程的解法；
三、解答題
1.?（2018?浙江杭州，21，10?分）?如圖，在△ABC?中，∠ACB=90°，以點?B?為圓心，BC?長為半徑畫弧，交線段
AB?于點?D，以點?A?為圓心，AD?長為半徑畫弧，交線段?AC?于點?E，連接?CD。
（1）若∠A=
10、28°，求∠ACD?的度數(shù)；
（2）設(shè)?BC=?a?，AC=?b
①線段?AD?的長度是方程?x2?+?2ax?-?b2?=?0?的一個根嗎？說明理由；
②若?AD=EC，求?a
b
的值。
【思路分析】（1）先求∠B,再根據(jù)等腰三角形知識求∠BCD，在用直角求出∠ACD；（2）根據(jù)勾股定理表示出?AB，
1
表再示出?AD，根據(jù)一元二次方程的解表示出?x2?+?2ax?-?b2?=?0?的解進行對比；由?AD=AE,則可得?AD=?b?，從而可
2
列方程求解出比值
11、
【解題過程】
4
\?m?= ,即?AD?=???，將x?= 代入x2?+?2ax?-?b2?=?0得：（??）2?+2a?× -?b2?=?0,Q?b(a?- b)?=?0,
1.??（2018?湖北鄂州，20，8?分）已知關(guān)于?x?的方程?x???-?(3k?+?3)?x?+?2k???+?4k?+?2?=?0?．
【?解?析?】?解?：（?1?）?證?明?：?由?題?意?可?知?，?a?＝?1?，?b?＝?－?（?3k?＋?3?），?c?＝?2k???+?4k?+?2?，?△?＝?b2?－?4ac?＝
=?-?[-(3k?+
12、?3)]?=?3k?+?3??，???x1x2?=
2
（??2??）??由??根??與??系??數(shù)??的??關(guān)??系??可??知???x??+?x???=- =?2k +?4k?+?2???，
1 2
x1x2?+?2x1?+?2x2?=?36?,?x1x2?+?2??x1?+?x2???=?36?,?2k???+?4k?+?2?+?2?(3k?+?3)?=?36??，?化?簡?得??k?2?+?5k?-?14?=?0??，
1?????? 1?(????? )???1?(?????? )
∴k＝－7?舍去，k＝2，∴該菱形的面積為 x1x2?=
(1)Q?DA?+?DB?=?
13、900?,?DA?=?280?,\D?B?=?620?,Q?BD?=?BC,\D?BDC?=?DBCD,Q?DB?+?DBDC?+?DBCD?=?1800?,
1800?-?620
\D?BDC?= =?590?,Q?DBDC?=?DACD?+?DA,\D?ACD?=?590?-?280?=?310
2
(2)設(shè)?AD?=?m,Q?BD?=?BC?=?a,\?AB?=?AD?+?BD?=?m?+?a,?在RT?DABC中，AB?2?=?BC?2?+?AC?2?,
\?(m?+?a)2?=?a?2?+?b2?,\?m2?+?2am?-?b2?=?0,\?AD長為方程x2?+?2
14、ax?-?b2?=?0的根。
（3）設(shè)AD=m,\?AD?=?AC?-?AE?=?b?-?m,Q?AC?=?b,\CE?=?AC?-?AE?=?m,Q?CE?=?AD,\b?-?m?=?m,
b b b b b 3
2 2 2 2 2 4
3 a 3
Q?b?1?0,\?a?= b,\ =
4 b 4
【知識點】三角形內(nèi)角和，等腰三角形角度計算，勾股定理，線段轉(zhuǎn)換
2 2
（1）求證：無論?k?為何值，原方程都有實數(shù)根；
（2）若該方程的兩實數(shù)根?x1，x2?為一菱形的兩條對角線之長，且?x1x2?+?2x1?+?2x2?=?36?，求?
15、k?值及該菱形的面積．
【思路分析】（1）只需證明根的判別式△≥0，即可證得無論?k?為何值，原方程都有實數(shù)根；（2）利用韋達定理
求出?k?值，再利用菱形的面積等于對角線乘積的一半就能求出該菱形的面積．
2
2
[-(3k?+?3)]2?-?4?(?k?2?+?4k?+?2)=?9k?2?+?18k?+?9?-?8k?2?-?16k?-?8?=?k?2?+?2k?+?1?=?(k?+?1)2?，∵?(k?+?1)2?≥0，
∴△≥0，∴無論?k?為何值，原方程都有實數(shù)根；
b c
a a
( ) 2
(k?-?2)(k?+?
16、7)?=?0?，解得?k＝2?或－7，∵x1，x2?為一菱形的兩條對角線之長，且?x1＋x2＝3k＋3，∴3k＋3＞0，
2k +?4k?+?2?= 2?′?2?+?4?′?2?+?2?＝9．
2 2 2
【知識點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程；根的判別式；菱形的性質(zhì)；菱形的面積公式
2.?（2018?湖北宜昌，21，8?分）如圖，在?DABC?中，?AB?=?AC?.?以?AB?為直徑的半圓交?AC?于點?D?，交?BC?于
5
點?E?.延長?AE?至點?F?，使?EF?=?AE?,連接?FB，F(xiàn)C?.
17、
(1)求證:四邊形?ABFC?是菱形；
(2)?若?AD?=?7，BE?=?2?，求半圓和菱形?ABFC?的面積.
(第?21?題圖)
【思路分析】(1)先由?EF?=?AE?，以及到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，得到CE?=?BE?，證明
四邊形?ABFC?是平行四邊形；再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證明平行四邊形?ABFC?是菱形.
(2)?設(shè)?CD?=?x?，則?AB?=?AC?=?7?+?x?，連接?BD?，在??BDA?中，?BD?2?=?AB?2?-?
18、AD?2?,
在??BDA?中，BD?2?=?BC?2?-?CD?2?,∴?AB?2?-?AD?2?=?BC?2?-?CD?2?,從而建立方程，求出?x?的值，并求出?BD?的值，
求出半圓和菱形?ABFC?的面積.
【解析】(1)證明：Q?AB?為半圓的直徑，
\D?AEB?=?90o?,
Q?AB?=?AC?,
\CE?=?BE?,
又Q?EF?=?AE?,
∴四邊形?ABFC?是平行四邊形.
又Q?AB?=?AC?,（或?DAEB?=?90o?，）
∴平行四邊形?ABFC?
19、是菱形.
(3)?解：連接?BD?，
6
∵?AD?=?7,?BE?=?CE?=?2?,
設(shè)?CD?=?x?，則?AB?=?AC?=?7?+?x?，
(第?21?題第?2?問答圖)
∵?AB?為半圓的直徑，
\D?ADB?=?90o?,
在??BDA?中，?BD?2?=?AB?2?-?AD?2?,
在??BDA?中，?BD?2?=?BC?2?-?CD?2?,
\?AB?2?-?AD?2?=?CB?2?-?CD?2
20、\?(7?+?x)2?-?72?=?42?-?x2
\?x?=?1或?x?=?-8?（舍去）
1 2
\?AB?=?AC?=?7?+?x?=?7?+1?=?8
\?S
半圓
1
=?′?p?′?42?=8p
2
\?BD?= AB2?-?AD2?=?82?-?72?=?15?,
\?S
=
菱形?BD???AC?=8′?15=8?15
【知識點】平行四邊形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圓的面積公式，菱形的面積公式.
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2020中考數(shù)學試題分類匯編 知識點14 一元二次方程的幾何應用
