《高等代數(shù)》試題庫(kù).doc

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1、 《高等代數(shù)》試題庫(kù) 一、 選擇題 1．在里能整除任意多項(xiàng)式的多項(xiàng)式是（ ）。 ．零多項(xiàng)式 ．零次多項(xiàng)式 ．本原多項(xiàng)式 ．不可約多項(xiàng)式 2．設(shè)是的一個(gè)因式，則（ ）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命題不正確的是 （ ）。 . 若；.集合是數(shù)域； .若沒(méi)有重因式； ．設(shè)重因式，則重因式 4．整系數(shù)多項(xiàng)式在不可約是在上不可約的( ) 條件。 . 充分 . 充分必要 .必要 ．既不充分也不必要 5．下列對(duì)于多項(xiàng)式的結(jié)論不正確的是（ ）。 .如果，那么 .如果，那么 .如

2、果，那么，有 .如果，那么 6． 對(duì)于“命題甲：將級(jí)行列式的主對(duì)角線上元素反號(hào), 則行列式變?yōu)?；命題乙：對(duì)換行列式中兩行的位置, 則行列式反號(hào)”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面論述中, 錯(cuò)誤的是( ) 。 . 奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必有實(shí)根； . 代數(shù)基本定理適用于復(fù)數(shù)域； ．任一數(shù)域包含； ． 在中, 8．設(shè)，為的代數(shù)余子式, 則=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代數(shù)余子式是（ ）。 ． ．

3、 ． ． 10．以下乘積中（ ）是階行列式中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。 .； .；．；. 11. 以下乘積中（ ）是4階行列式中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。 .； .；．； . 12. 設(shè)階矩陣，則正確的為（ ）。 . . ． . 13. 設(shè)為階方陣，為按列劃分的三個(gè)子塊，則下列行列式中與等值的是（ ） . . ． . 14. 設(shè)為四階行列式，且，則（ ） . . ． . 15. 設(shè)為階方陣，為非零常數(shù)，則（ ） . . ． . 16.設(shè)，為數(shù)域上的階方

4、陣，下列等式成立的是（ ）。 .；. ； ．； . 17. 設(shè)為階方陣的伴隨矩陣且可逆，則結(jié)論正確的是（ ） . . ． . 18.如果，那么矩陣的行列式應(yīng)該有（ ）。 .； .； ．； . 19.設(shè), 為級(jí)方陣, , 則“命題甲：；命題乙：”中正確的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.設(shè)為階方陣的伴隨矩陣，則（ ）。 . . ． . 21.若矩陣，滿足，則（ ）

5、。 .或；.且；．且；.以上結(jié)論都不正確 22.如果矩陣的秩等于，則（ ）。 .至多有一個(gè)階子式不為零； .所有階子式都不為零；．所有階子式全為零，而至少有一個(gè)階子式不為零；.所有低于階子式都不為零 23.設(shè)階矩陣可逆，是矩陣的伴隨矩陣，則結(jié)論正確的是（ ）。 .；.；．；. 24. 設(shè)為階方陣的伴隨矩陣，則=（ ） . . ． . 25.任級(jí)矩陣與-, 下述判斷成立的是( )。 . ； .與同解； .若可逆, 則；．反對(duì)稱, -反對(duì)稱 26.如果矩陣,則 （ ） . 至多有一個(gè)階子式不為零；.所有階子式都不為零．

6、所有階子式全為零，而至少有一個(gè)階子式不為零；．所有低于階子式都不為零 27. 設(shè)方陣，滿足，則的行列式應(yīng)該有 （ ）。 . . ． . 28. 是階矩陣，是非零常數(shù)，則 ( )。 . ； . ； ． . 29. 設(shè)、為階方陣，則有（ ）. .，可逆，則可逆 .，不可逆，則不可逆 ．可逆，不可逆，則不可逆.可逆，不可逆，則不可逆 30. 設(shè)為數(shù)域上的階方陣，滿足，則下列矩陣哪個(gè)可逆（ ）。 . . ． 31. 為階方陣，，且，則（ ）

7、。 .； .； ．；. 32. ，，是同階方陣，且，則必有（ ）。 . ； . ； ． ． 33. 設(shè)為3階方陣，且，則（ ）。 .；.； ．；. 34. 設(shè)為階方陣，，且，則（ ）. . .或 ． . 35. 設(shè)矩陣，則秩=（ ）。 ．1 ．2 ．3 ．4 36. 設(shè)是矩陣，若（ ），則有非零解。 .； .； ． . 37. ，是階方陣，則下列結(jié)論成立得是（ ）。 .且； . ； ．或； . 38. 設(shè)為階方陣，且，則中（

8、 ）. .必有個(gè)行向量線性無(wú)關(guān) .任意個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)．任意個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 .任意一個(gè)行向量都能被其他個(gè)行向量線性表示 39. 設(shè)為矩陣，為矩陣，為矩陣，則下列乘法運(yùn)算不能進(jìn)行的是（ ）。 . . ． . 40.設(shè)是階方陣，那么是（ ） . 對(duì)稱矩陣； . 反對(duì)稱矩陣； ．可逆矩陣； .對(duì)角矩陣 41.若由必能推出（均為階方陣），則 滿足( )。 . . ． . 42.設(shè)為任意階可逆矩陣，為任意常數(shù)，且，則必有（ ） . . ． . 43.，都是階方陣，且與有相同的特征

9、值，則（ ） . 相似于； . ； ． 合同于； . 44. 設(shè)，則的充要條件是（ ） .； （B）；． . 45. 設(shè)階矩陣滿足，則下列矩陣哪個(gè)可能不可逆（ ） . . ． . 46. 設(shè)階方陣滿足，則下列矩陣哪個(gè)一定可逆（ ） . ； . ； ． . 47. 設(shè)為階方陣，且，則中（ ）. .必有個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；.任意個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；．任意個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；.任意一個(gè)行向量都能被其他個(gè)行向量線性表示

10、 48.設(shè)是矩陣，若（ ），則元線性方程組有非零解。 . .的秩等于 ． .的秩等于 49. 設(shè)矩陣，僅有零解的充分必要條件是( ). . 的行向量組線性相關(guān) .的行向量組線性無(wú)關(guān) ．的列向量組線性相關(guān) .的列向量組線性無(wú)關(guān) 50. 設(shè), 均為上矩陣, 則由( ) 不能斷言； . ；.存在可逆陣與使 ．與均為級(jí)可逆；.可經(jīng)初等變換變成 51. 對(duì)于非齊次線性方程組其中，則以下結(jié)論不正確的是（ ）。 .若方程組無(wú)解，則系數(shù)行列式；.若方程組有解，則系數(shù)行列式。 ．若方程組有解，則有惟一解，或者有無(wú)窮多解； .系數(shù)行

11、列式是方程組有惟一解的充分必要條件 52. 設(shè)線性方程組的增廣矩陣是，則這個(gè)方程組解的情況是（ ）. .有唯一解 .無(wú)解 ．有四個(gè)解 .有無(wú)窮多個(gè)解 53. 為階方陣,，且，則 （ ）。 .；.；．齊次線性方程組有非解；. 54. 當(dāng)（ ）時(shí)，方程組，有無(wú)窮多解。 ．1 ．2 ．3 ．4 55. 設(shè)線性方程組，則（ ） .當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解。.當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。 ．當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。.當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。 56. 設(shè)原方程組為，且，則和原方程組同解的方程組為( )。 .；.（為初等矩陣）

12、；．（為可逆矩陣）； .原方程組前個(gè)方程組成的方程組 57. 設(shè)線性方程組及相應(yīng)的齊次線性方程組，則下列命題成立的是（ ）。 .只有零解時(shí)，有唯一解；.有非零解時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解；．有唯一解時(shí)，只有零解；. 解時(shí)，也無(wú)解 58. 設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）。 . . ． . 59. 維向量組 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（ ） .存在一組不全為零的數(shù)，使 .中任意兩個(gè)向量組都線性無(wú)關(guān) ．中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示 .中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示 60. 若向量組

13、中含有零向量，則此向量組（ ） .線性相關(guān)； . 線性無(wú)關(guān)； ．線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)；.不一定 61．設(shè)為任意非零向量，則（ ）。 .線性相關(guān)；.線性無(wú)關(guān)；． 線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)；．不一定 62.維向量組線性無(wú)關(guān)，為一維向量，則（ ）. .，線性相關(guān)；.一定能被線性表出； ．一定不能被線性表出； .當(dāng)時(shí)，一定能被線性表出 63. （1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則它們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組線性無(wú)關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無(wú)關(guān)；（3）設(shè)線性無(wú)關(guān)，則也線性無(wú)關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說(shuō)法正確的有（ ）個(gè)。 .1 個(gè)

14、 .2 個(gè) ．3 個(gè) .4個(gè) 64．（1）維向量空間的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基；（2）設(shè)是向量空間中的個(gè)向量，且中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則是的一個(gè)基；（3）設(shè)是向量空間的一個(gè)基，如果與等價(jià)，則也是的一個(gè)基； （4）維向量空間的任意個(gè)向量線性相關(guān)；以上說(shuō)法中正確的有（ ）個(gè)。 .1 個(gè) .2 個(gè) ．3 個(gè) .4個(gè) 65． 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)，則（ ）。 .線性表示；.線性表示； ．線性表示； .線性表示 66.設(shè)向量組Ⅰ（），Ⅱ（）則必須有（ ）。 .Ⅰ無(wú)關(guān)Ⅱ無(wú)關(guān)； . Ⅱ無(wú)關(guān)Ⅰ

15、無(wú)關(guān)；.Ⅰ無(wú)關(guān)Ⅱ相關(guān)；.Ⅱ相關(guān)Ⅰ相關(guān) 67．向量組:與:等價(jià)的充要條件為（ ）. .； .且；．；. 68．向量組線性無(wú)關(guān)( ) 。 . 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量線性表出； ．每個(gè)向量均不能由其余向量表出； ．與單位向量等價(jià) 69.已知?jiǎng)ta =( ). .；.；．；. . 70. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)，則（ ）。 .線性表示；.線性表示； ．線性表示；.線性表示 71．下列集合中，是的子空間的為（ ），其中 .．. 72． 下列集合有（ ）個(gè)是的子空間； ；

16、 ； ； ； 73．設(shè)是相互正交的維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）。 .； .； ．；. .1 個(gè) .2 個(gè) ．3 個(gè) .4個(gè) 74.是階實(shí)方陣，則是正交矩陣的充要條件是（ ）。 .； .； ． ； . 75．（1）線性變換的特征向量之和仍為的特征向量；（2）屬于線性變換的同一特征值的特征向量的任一線性組合仍是的特征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式； （4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說(shuō)法正確的有（ ）個(gè)。 .1 個(gè) .2 個(gè) ．3 個(gè) . 4個(gè) 75. 階方陣具有個(gè)不同的特征

17、值是與對(duì)角陣相似的（ ）。 .充要條件；.充分而非必要條件；．必要而非充分條件；.既非充分也非必要條件 76. 對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）。 .一定有個(gè)不同的特征根；.正交矩陣，使成對(duì)角形；．它的特征根一定是整數(shù)；.屬于不同特征根的特征向量必線性無(wú)關(guān)，但不一定正交 77. 設(shè)都是三維向量空間的基，且，則矩陣是由基到（ ）的過(guò)渡矩陣。 . . ． . 78. 設(shè)，是相互正交的維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）。 . . ． . 二、 填空題 1．最小的數(shù)環(huán)是 ，最小的數(shù)域是

18、 。 2．一非空數(shù)集,包含0和1, 且對(duì)加減乘除四種運(yùn)算封閉，則其為 。 3．設(shè)是實(shí)數(shù)域上的映射，，若，則= 。 4．設(shè)，若，則= 。 5.求用除的商式為 ，余式為 。 6．設(shè)，用除所得的余式是函數(shù)值 。 7．設(shè)是兩個(gè)不相等的常數(shù)，則多項(xiàng)式除以所得的余式為_(kāi)___ 8．把表成的多項(xiàng)式是 。 9．把表成的多項(xiàng)式是 。 10．設(shè)使得，且，，，則 。 11．設(shè)使得=

19、____。 12．設(shè)使得=___。 13. 若，并且 ，則。 14. 設(shè)，則與的最大公因式為 。 15. 多項(xiàng)式、互素的充要條件是存在多項(xiàng)式、使得 。 16. 設(shè)為，的一個(gè)最大公因式, 則與的關(guān)系 。 17. 多項(xiàng)式的最大公因式 。 18. 設(shè)。，若，則 ， 。 19．在有理數(shù)域上將多項(xiàng)式分解為不可約因式的乘積 。 20．在實(shí)數(shù)域上將多項(xiàng)式分解為不可約因式的乘積 。 21. 當(dāng)滿足條件

20、 時(shí)，多項(xiàng)式才能有重因式。 22. 設(shè)是多項(xiàng)式的一個(gè)重因式，那么是的導(dǎo)數(shù)的一個(gè) 。 23. 多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的充要條件是 互素。 24．設(shè)的根，其中，則 。 25．設(shè)的根，其中，則 = 。 26．設(shè)的根，其中，則 。 27．設(shè)的根，其中，則 = 。 28. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，排列的反序數(shù)為 。 29．按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，排列的反序數(shù)為 。 30．排列的反

21、序數(shù)為 。 31．排列的反序數(shù)為 。 32．排列的反序數(shù)為 。 33．排列的反序數(shù)為 。 34. 若元排列是奇排列，則_____, _______。 35. 設(shè)級(jí)排列的反數(shù)的反序數(shù)為，則= 。 36. 設(shè),則 。 37. 當(dāng) ， 時(shí)，5階行列式的項(xiàng)取“負(fù)”號(hào)。 38. 。 39． 。 40． 。 41． 。 42. _

22、________________。 43． ________________。 44. ， _________________。 45. , 則 ______________________。 46. 設(shè)兩兩不同, 則的不同根為 。 47. =______________。 48．,，則= 。 49. 設(shè)行列式中，余子式，則＝__________。 50. 設(shè)行列式中，余子式，則＝__________。 51. 設(shè)，則 。 52行列式 的余子式的值為 。 53.設(shè)，,則 _____

23、_______。 54．設(shè)，,則____________。 55．設(shè)， ,則 ____________。 56. 設(shè)，，則＝_____________。 57. 設(shè)，則＝_____________。 58．設(shè)矩陣可逆，且，則的伴隨矩陣的逆矩陣為 。 59．設(shè)、為階方陣，則的充要條件是 。 60．一個(gè)級(jí)矩陣的行（或列）向量組線性無(wú)關(guān)，則的秩為 。 61. 設(shè)、都是可逆矩陣，若，則 。 62. 設(shè)，則 。 63. 設(shè)，則 。 64. 設(shè)矩陣，且,則。 65. 設(shè)

24、為階矩陣，且,則 ______________。 66. ,則________________。 67.,則________________。 68. 已知其中，則_________________。 69. 若為級(jí)實(shí)對(duì)稱陣，并且，則= 。 70. 設(shè)為階方陣，且，則 ， ，的伴隨矩陣的行列式 。 71. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則= 。 72. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則= 。 73. ____________。 74. 設(shè)為階矩陣，且,則 ____________。 75. 為階矩陣，

25、，則=（ ）。 76. 設(shè),則____________。 77. 是同階矩陣，若,必有，則應(yīng)是 _____。 78. 設(shè)，則的充要條件是 。 79.一個(gè)齊次線性方程組中共有個(gè)線性方程、個(gè)未知量，其系數(shù)矩陣的秩為，若它有非零解，則它的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為 。 80.含有個(gè)未知量個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是 。 81.線性方程組有解的充分必要條件是 。 82. 方程組有解的充要條件是 。 83. 方程組有解的充

26、要條件是 。 84. 是矩陣，對(duì)任何矩陣，方程都有解的充要條件是_______。 85．已知向量組，，， ，則向量 。 86.若，則向量組必線性 。 87.已知向量組，，， ，則該向量組的秩是 。 88. 若可由唯一表示, 則線性 。 89. 單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是_____________。 90. 設(shè)為維向量組, 且，則 。 91. 個(gè)維向量構(gòu)成的向量組一定是線性 的。（無(wú)關(guān)，相關(guān)） 92.已知

27、向量組線性無(wú)關(guān)，則 _______。 93. 向量組的極大無(wú)關(guān)組的定義是___________。 94. 設(shè)兩兩不同, 則線性 。 95.二次型的矩陣是____________. 96. 是正定陣，則滿足條件__________________。 97 . 當(dāng)滿足條件 ，使二次型是正定的。 98. 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值中有個(gè)為正值，有為負(fù)值，則的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)是 。 99. 相似于單位矩陣，則 = _______________。 100. 相似于單位陣， 。 101. 矩陣的特征值是____________。 10

28、2. 矩陣的特征值是____________。 103. 設(shè)為3階方陣，其特征值為3，—1，2，則 。 104.滿足，則有特征值______________________。 105. 設(shè)階矩陣的元素全為，則的個(gè)特征值是 。 106. 設(shè)矩陣是階零矩陣，則的個(gè)特征值是 。 107. 如果A的特征值為，則的特征值為 。 108. 設(shè)是的任意向量，映射是否是到自身的線性映射 。 109. 設(shè)是的任意向量，映射是否是到自身的線性映射 。

29、 110. 若線性變換關(guān)于基的矩陣為，那么線性變換關(guān)于基的矩陣為 。 111. 對(duì)于階矩陣與，如果存在一個(gè)可逆矩陣U,使得 ，則稱與是相似的。 112.實(shí)數(shù)域R上的n階矩陣Q滿足 ，則稱Q為正交矩陣。 113.實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 。 114. 復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間，則_____，它的一個(gè)基為_(kāi)___。 115. 復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則____，它的一個(gè)基為_(kāi)____。 116. 復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則___________。

30、117. 設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是，，則關(guān)于的坐標(biāo)是____________。 118. 設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到 的過(guò)渡矩陣為_(kāi)__________________。 119. 設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到 的過(guò)渡矩陣為_(kāi)_________。 120. 設(shè)與都是上的兩個(gè)有限維向量空間，則 。 121. 數(shù)域F上任一維向量空間都卻與 。（不同構(gòu)，同構(gòu)） 122. 任一個(gè)有限維的向量空間的基是____的，但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是_____。 123. 令是數(shù)域上一切滿足條件的階矩陣所成的向

31、量空間，則= 。 124. 設(shè)為變換，為歐氏空間，若都有，則 為 變換。 125. 在 。 126. 在歐氏空間里的長(zhǎng)度為_(kāi)_ _ __。 127. 在歐氏空間里的長(zhǎng)度為_(kāi)________。 128. 設(shè)是歐氏空間，則是正交變換 。 129. 設(shè)，則在= 。 三、計(jì)算題 1.把按的方冪展開(kāi). 2．利用綜合除法，求用去除所得的商及余式。，。 3．利用綜合除法，求用去除所得的商及余式。，。 4.已知 ,求被除所得的商式和余式。 5.設(shè)，求的最大

32、公因式。 6．求多項(xiàng)式與的最大公因式． 7. 求多項(xiàng)式，的最大公因式，以及滿足等式的和。 8.求多項(xiàng)式，的最大公因式，以及滿足等式的和。 9.令是有理數(shù)域，求出的多項(xiàng)式，的最大公因式，并求出使得。 10. 令是有理數(shù)域，求的多項(xiàng)式 的最大公因式。 11. 設(shè)，，求出 ，使得。 12.已知，求 。 13.在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式為不可約因式的乘積。 14.應(yīng)該滿足什么條件，有理系數(shù)多項(xiàng)式才能有重因式。 15.求多項(xiàng)式的有理根。 16.求多項(xiàng)式的有理根。 17．求多項(xiàng)式的有理根。 18.求多項(xiàng)式的有理根。 19.求多項(xiàng)式的有理根。 20.求多項(xiàng)式的有理根。 21

33、.求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使得：。 22.問(wèn)取何值時(shí)，多項(xiàng)式，有實(shí)根。 23.用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示元對(duì)稱多項(xiàng)式。 24.用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示元對(duì)稱多項(xiàng)式。 25.請(qǐng)把元對(duì)稱多項(xiàng)式表成是初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式。 26.求行列式的值。 27.求行列式 的值。 28.求行列式 的值。 29.求行列式的值。 30.求行列式的值。 31.求行列式的值。 32.求行列式的值。 33.求行列式的值。 34.把行列式 依第三行展開(kāi)然后加以計(jì)算。 35.求行列式的值。 36.求行列式的值。 37.求行列式的值。 38.求行列式的值。 39.計(jì)算階行列式 40.計(jì)算階行列式 4

34、1. 計(jì)算階行列式 42. 計(jì)算階行列式 43. 計(jì)算階行列式 44. 計(jì)算階行列式 45. 計(jì)算階行列式 46.計(jì)算階行列式 47.計(jì)算階行列式() 48.計(jì)算階行列式 (其中) 49.計(jì)算階行列式 50.計(jì)算階行列式 51.計(jì)算階行列式 52.計(jì)算階行列式 53.計(jì)算階行列式 54.計(jì)算階行列式 55.解方程。 56.解方程。 57.解方程。 58.解方程。 59.設(shè)為矩陣，，把按列分塊為。其中是的第列。求（1）；（2）。 60. ）____________________