小學數(shù)學典型應用題 (3)

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1、 小學數(shù)學典型應用題 ??小學數(shù)學中把含有數(shù)量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。 ?應用題可分為一般應用題與典型應用題。 ?沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。 ?題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題： ? 1、歸一問題 ? 2、歸總問題 ? 3、和差問題 ? 4、和倍問題 ? 5、差倍問題 ? 6、倍比問題

2、? 7、相遇問題 ? 8、追及問題 ? 9、植樹問題 ?10、年齡問題 ?11、行船問題 12、列車問題 13、時鐘問題 14、盈虧問題 15、工程問題 16、正反比例問題 17、按比例分配 18、百分數(shù)問題 19、“牛吃草”問題 20、雞兔同籠問題 ?21、方陣問題 ?22、商品利潤問題 23、存款利率問題 24、溶液濃度問題 25、構圖布數(shù)問題 26、幻方問題 27、抽屜原則問題 28、公約公倍問題 29、最值問題 30、列方程問題 ? ??????????? 1? 歸一問題 【含義】??? 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以

3、單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。 ? 【數(shù)量關系】??? 總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量??? ??????????????? 1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 ??????????????? 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù) ? 【解題思路和方法】?? 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。 ? 例1?? 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ ?????????? 解（1）買1支鉛筆多少錢？?????? 0.6÷5＝0.12（元） ????????????? （2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元） ?

4、????????????? 列成綜合算式?? 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） ?????????? 答：需要1.92元。 例2?? 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？ ?????? 解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？? 90÷3÷3＝10（公頃） ???????? （2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 10×5×6＝300（公頃） ????????????? 列成綜合算式? 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃） ?????? 答：5臺拖拉機6 天耕地300公頃。 例3?? 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同

5、樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？ ?????? 解 （1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？? 100÷5÷4＝5（噸） ????????? （2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？?? 5×7＝35（噸） ????????? （3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷35＝3（次） ?????????? 列成綜合算式? 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次） ?????? 答：需要運3次。 ???2? 歸總問題 ?【含義】???? 解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝

6、地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。 ? ?【數(shù)量關系】? 1份數(shù)量×份數(shù)＝總量????? ?????????????? 總量÷1份數(shù)量＝份數(shù) ?????????????? 總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量 ? ?【解題思路和方法】? 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 ? ?例1??? 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ ?解? （1）這批布總共有多少米？??? 3.2×791＝2531.2（米） ?（2）現(xiàn)在可以做多少套？????????? 2531.2÷2.8＝904（套） ??????

7、????? 列成綜合算式? 3.2×791÷2.8＝904（套） ??????????????????????? 答：現(xiàn)在可以做904套。 ?例2??? 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？ ?解? （1）《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12＝288（頁） ???? （2）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36＝8（天） ??????????????????? 列成綜合算式? 24×12÷36＝8（天） ??????????????????????? 答：小明8天可以讀完《紅巖》。 ?例3??? 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天

8、吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ ?解? （1）這批蔬菜共有多少千克？? 50×30＝1500（千克） ?????（2）這批蔬菜可以吃多少天？? 1500÷（50＋10）＝25（天） ?列成綜合算式??? 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天） ??????????????????????? 答：這批蔬菜可以吃25天。 3? 和差問題 ?【含義】? 已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。 ? ?【數(shù)量關系】??? 大數(shù)＝（和＋差）÷ 2??????? ??

9、?????????????? 小數(shù)＝（和－差）÷ 2 ? ?【解題思路和方法】? 簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。 ? ?例1??? 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ ????? 解? 甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人） ????????? 乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人） ???????????????????????? 答：甲班有52人，乙班有46人。 ? 例2??? 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 ??????????? 解? 長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）? ?????

10、?????????? 寬＝（18－2）÷2＝8（厘米） ??????????????? 長方形的面積 ＝10×8＝80（平方厘米） ???????????????????????? 答：長方形的面積為80平方厘米。 ? 例3??? 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 ??? 解? 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知 ???????? 甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克） ?????????丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

11、 ???????? 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克） ????答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 ? 例4??? 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ ??? 解? “從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此????? 甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐） ???????????? 乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐） ????答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

12、 ?4? 和倍問題 【含義】??? 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 ? 【數(shù)量關系】? 總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)?? ????????????? 總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù) ????????????? 較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù) ? 【解題思路和方法】? 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 ? ?例1??? 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ ??? 解? （1）杏樹有多少棵？? 248÷（3＋1）＝62（棵） ???

13、???? （2）桃樹有多少棵？?? 62×3＝186（棵） ?????????????????????????? 答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。 ? 例2??? 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ ??? 解? （1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸） ??????? （2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸） ???????????????????????? 答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。 ? ?例3??? 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天

14、后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ ?解? 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當于（2＋1）倍， ?那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為???? ???????????????? （52＋32）÷（2＋1）＝28（輛） ?所求天數(shù)為???? （52－28）÷（28－24）＝6（天） ??????????????????? 答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。 ? ?例4??? 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各

15、是多少？ ?解? 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。 ?因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； ?又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； ?這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么， ?????????? 甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 ?????????? 乙數(shù)＝28×2－4＝52 ???????????丙數(shù)＝28×3＋6＝90 ???????????????? 答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。 5? 差倍問題 【含義】??? 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾

16、分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 ? 【數(shù)量關系】?? 兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) ?????????????? 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù) ? 【解題思路和方法】? 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 ? ?例1??? 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ ???? 解? （1）杏樹有多少棵？??? 124÷（3－1）＝62（棵） ???????? （2）桃樹有多少棵？???? 62×3＝186（棵） ?????????????????? 答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。 ?

17、 ?例2??? 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ ???????????? 解? （1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲） ???????????????? （2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲） ????????????????? 答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。 ? ?例3??? 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？ ?? 解? 如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此???? ??????

18、? 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元） ??????? 本月盈利＝18＋30＝48（萬元） ??????????????????答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。 ? ?例4??? 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ ?? 解? 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當于（3－1）倍，因此 ????? 剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸） ?

19、???? 運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸） ????? 運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天） ??????????????????答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。 6? 倍比問題 【含義】??? 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題。 ? 【數(shù)量關系】? 總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)??? ????????????? 另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量 ? 【解題思路和方法】? 先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。 ? 例1??? 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可

20、以榨油多少？ 解? （1）3700千克是100千克的多少倍？? 3700÷100＝37（倍） ??? （2）可以榨油多少千克？???????????40×37＝1480（千克） ?????????? 列成綜合算式??? 40×（3700÷100）＝1480（千克） ??????????????????????? 答：可以榨油1480千克。 ? 例2??? 今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解? （1）48000名是300名的多少倍？? 48000÷300＝160（倍） ??? （2）共植樹多少棵？?????????

21、???400×160＝64000（棵） ??????? 列成綜合算式??? 400×（48000÷300）＝64000（棵） ????????????????????? 答：全縣48000名師生共植樹64000棵。 ? 例3??? 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解? （1）800畝是4畝的幾倍？?????????? 800÷4＝200（倍） ??? （2）800畝收入多少元？??????? 11111×200＝2222200（元） ??? （3）16000畝是800畝的幾

22、倍？??? 16000÷800＝20（倍） ??? （4）16000畝收入多少元？??? 2222200×20＝44444000（元） ????????? 答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元， ????????????? 全縣16000畝果園共收入44444000元。 7? 相遇問題 【含義】??? 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。 ? 【數(shù)量關系】??? 相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速） ??????????????? 總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間 ? 【解題思路和方法】? 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變

23、通后再利用公式。 ? 例1??? 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ ??????????? 解??? 392÷（28＋21）＝8（小時） ????????????????????????? 答：經(jīng)過8小時兩船相遇。 ? 例2??? 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？ ????? 解?? “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。 ??????????

24、???因此總路程為400×2 ?????????? 相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒） ????????????? 答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。 ? 例3??? 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 ? 解? “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此， ?????????? 相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時） ?????????? 兩地距

25、離＝（15＋13）×3＝84（千米） ????????????????????????? 答：兩地距離是84千米。 ?8? 追及問題 【含義】??? 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。 ? 【數(shù)量關系】?? 追及時間＝追及路程÷（快速－慢速） ?????????????? 追及路程＝（快速－慢速）×追及時間 ? 【解題思路和方法】? 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 ?

26、 例1??? 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解? （1）劣馬先走12天能走多少千米？? 75×12＝900（千米） ??? （2）好馬幾天追上劣馬？?? 900÷（120－75）＝20（天） ?? 列成綜合算式?? 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） ?????????????????????? 答：好馬20天能追上劣馬。 ? 例2??? 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解? 小明第一次追上小

27、亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是??? ?????????? （500－200）÷［40×（500÷200）］ ??????????＝300÷100＝3（米） ????????????????????? 答：小亮的速度是每秒3米。 ? 例3??? 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙

28、兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？ 解? 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 ?????? 追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10） ?????????????? ＝220÷20＝11（小時） ??????????????????? 答：解放軍在11小時后可以追上敵人。 ? 例4??? 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 解? 這道題可以由相遇問題

29、轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間， 這個時間為??????????????? 16×2÷（48－40）＝4（小時） 所以兩站間的距離為????????? （48＋40）×4＝352（千米） 列成綜合算式?? （48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ?????????????? ＝88×4 ?????????????? ＝352（千米） ??????????????????????? 答：甲乙兩站的距離是352千米。 ? 例5??? 兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校

30、門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？ 解? 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米， 那么，二人從家出走到相遇所用時間為 ????????????????? 180×2÷（90－60）＝12（分鐘） ??? 家離學校的距離為????? 90×12－180＝900（米） ??????????????????? 答：家離學校有900米遠。 ? 例6?? ?孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從

31、家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。 解? 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。 所以 步行1千米所用時間為??? 1÷［9－（10－5）］ ???????????????????? ＝0.25（小時） ??????????????

32、?????? ＝15（分鐘） 跑步1千米所用時間為??? 15－［9－（10－5）］＝11（分鐘） 跑步速度為每小時??????? 1÷11／60＝5.5（千米） 答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。 ?9? 植樹問題 【含義】??? 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。 ? 【數(shù)量關系】?????? ?線形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 ??????????????????? 環(huán)形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距 ??????????????????? 方形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距－4 ?

33、?????????????????? 三角形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距－3 ??????????????????? 面積植樹???? 棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距） ? 【解題思路和方法】? 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 ? 例1??? 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ ?????????????? 解?? 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） ??????????????????????????? 答：一共要栽69棵垂柳。 ? 例2??? 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ ??

34、??????????? 解?? 400÷4＝100（棵）??? ?????????????????????????? 答：一共能栽100棵白楊樹。 ? 例3??? 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ ?????????????解?? 220×4÷8－4＝110－4＝106（個） ????????????????????????? 答：一共可以安裝106個照明燈。 ? 例4??? 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ ???????????? 解? 96÷（

35、0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊） ????????????????????????? 答：至少需要400塊地板磚。 ? 例5??? 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解? （1）橋的一邊有多少個電桿？? 500÷50＋1＝11（個） ??? （2）橋的兩邊有多少個電桿？? 11×2＝22（個） ??? （3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞） ???????????????????????? 答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。 ?10? 年齡問題 【含義】??

36、? 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 ? 【數(shù)量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。 ? 【解題思路和方法】? 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 ? 例1??? 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ ?????? 解????????? 35÷5＝7（倍）?? ?????????????? （35+1）÷（5+1）＝6（倍） ???????答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，

37、 ???????????明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 ? 例2??? 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解? （1）母親比女兒的年齡大多少歲？??? 37－7＝30（歲） ??? （2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年） ???????? 列成綜合算式? （37－7）÷（4－1）－7＝3（年） ??????????????????????? 答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。 ? 例3??? 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解? 今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，

38、 ??? 今年二人的年齡和為?????49＋3×2＝55（歲） ??? 把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為????? 55÷（4＋1）＝11（歲） ?? 今年父親年齡為????? 11×4＝44（歲） ????????????? 答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。 ? 例4??? 甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？ 解 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： ?????????????? 過

39、去某一年 今? 年 將來某一年 ?? 甲 ?? □歲 ?△歲 ??? 61歲 ?? 乙 ?? 4歲 ?□歲 ??? △歲 ????表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。 ????因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差， ??? 因此二人年齡差為?????????（61－4）÷3＝19（歲） ????????????? ?甲今年的歲數(shù)為??△＝61－19＝42（歲） ?????????????? 乙今年的歲數(shù)為? □＝42－19＝23（歲） ????????? 答：甲今年的

40、歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。 11? 行船問題 【含義】??? 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 ? 【數(shù)量關系】? （順水速度＋逆水速度）÷2＝船速 ????????????? （順水速度－逆水速度）÷2＝水速 ?????????????? 順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 ?????????????? 逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2 ? 【解題思路和方法】? 大多

41、數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。 ? 例1??? 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解? 由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時????? 320÷8－15＝25（千米） ?????? 船的逆水速為????? 25－15＝10（千米） 船逆水行這段路程的時間為?? 320÷10＝32（小時） ?????????????????? 答：這只船逆水行這段路程需用32小時。 ? 例2??? 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返

42、回原地需多少時間？ 解由題意得??? 甲船速＋水速＝360÷10＝36 ?????????????? 甲船速－水速＝360÷18＝20 ?????????????? 可見?? （36－20）相當于水速的2倍， ?????? 所以，? 水速為每小時??? （36－20）÷2＝8（千米） ?????? 又因為， 乙船速－水速＝360÷15， ?????? 所以，? 乙船速為? 360÷15＋8＝32（千米） ???????乙船順水速為?? 32＋8＝40（千米） ?????? 所以，? 乙船順水航行360千米需要? ??????????????? 360÷40＝9（小時） ??

43、?????????????????????? 答：乙船返回原地需要9小時。 ? 例3??? 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？ 解? 這道題可以按照流水問題來解答。 ??????? （1）兩城相距多少千米？??????? ?????????????? （576－24）×3＝1656（千米） ????????（2）順風飛回需要多少小時？ ??????????????? 1656÷（576＋24）＝2.76（小時） ??? 列成綜合算式 ??????? ［（576－24）×3］÷（576＋2

44、4） ?????? ＝2.76（小時） ????????????????????? 答：飛機順風飛回需要2.76小時。 ?12? 列車問題 【含義】??? 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 ? 【數(shù)量關系】? 火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 ????????????? 火車追及： 追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離） ??????????????????????????????????? ÷（甲車速－乙車速） ????????????? 火車相遇： 相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離） ??????????????????????????

45、????????? ÷（甲車速＋乙車速） ? 【解題思路和方法】? 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。 ? 例1??? 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解? 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 ??? （1）火車3分鐘行多少米？? 900×3＝2700（米） ??? （2）這列火車長多少米？??? 2700－2400＝300（米） ???? 列成綜合算式??? 900×3－2400＝300（米） ?????????????????????????? 答：這列火車長300

46、米。 ? 例2??? 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解? 火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為 ????????????????? 8×125－200＝800（米） ???????????????????????????答：大橋的長度是800米。 ? 例3??? 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解? 從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋

47、140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為 ????????????? （225＋140）÷（22－17）＝73（秒） ????????????????????????? 答：需要73秒。 ? 例4??? 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解? 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。 ???????????????????? 150÷（22＋3）＝6（秒） ?????????????????????????答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。 ?

48、 例5??? 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？ 解? 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 ????????????? （2000－1250）÷（88－58）＝25（米） ?? 進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米， ?? 因此，車長為??????????? 25×58－1250＝200（米） ?????????????????? 答：這列火車的車速

49、是每秒25米，車身長200米。 ?13? 時鐘問題 【含義】??? 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 ? 【數(shù)量關系】?? 分針的速度是時針的12倍， ?????????????? 二者的速度差為11/12。 ?????????????? 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 ? 【解題思路和方法】? 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。 ? 例1??? 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解? 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；

50、時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為??? 20÷（1－1/12）≈ 22（分） ???????????????????? 答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。 ? 例2??? 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解? 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走???? （5×4－15）

51、格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。? ?????????? （5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分） ?????????? （5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分） ????????????????? 答：4點06分及4點38分時兩針成直角。 ? 例3??? 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解? 六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。 （5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分） ?????

52、???????????? 答：6點33分的時候分針與時針重合。 14? 盈虧問題 【含義】??? 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。 ? 【數(shù)量關系】? 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： ???????????? 參加分配總人數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： ???????????? 參加分配總人數(shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 ?????????????參加分配總人數(shù)＝（大虧－小虧）÷分配差 ? 【解題思路和方法】? 大多數(shù)情況

53、可以直接利用數(shù)量關系的公式。 ? 例1??? 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解?? 按照“參加分配的總人數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關系： ??? （1）有小朋友多少人？? （11＋1）÷（4－3）＝12（人） ??? （2）有多少個蘋果？???? 3×12＋11＝47（個） ???????????????????????? 答：有小朋友12人，有47個蘋果。 ? 例2??? 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解? 題中原定

54、完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)”，按照“參加分配的總人數(shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關系，可以得知 原定完成任務的天數(shù)為? ?????? （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天） 這條路全長為?????????? 300×（22＋4）＝7800（米） ??????????????????????????? 答：這條路全長7800米。 ? 例3??? 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解? 本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)”，于是就有 ????? （1）有多少車？? （3

55、0－0）÷（45－40）＝6（輛） ????? （2）有多少人？?? 40×6＋30＝270（人） ??????????????????????????? 答：有6 輛車，有270人。 15? 工程問題 【含義】??? 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。 ? 【數(shù)量關系】? 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根

56、據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。 ????????????工作量＝工作效率×工作時間???? ????????????工作時間＝工作量÷工作效率 ????????????工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） ? 【解題思路和方法】? 變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。 ? 例1???? 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？ 解? 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15

57、天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式：???1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） ???????????????????????? 答：兩隊合做需要6天完成。 ? 例2??? 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解? 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24

58、個零件，所以 （1）每小時甲比乙多做多少零件？ ???????????????? 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個） （2）這批零件共有多少個？?????? ???????????????? ?7÷（1/6－1/8）＝168（個） ????????????????????????? 答：這批零件共有168個。 解二? 上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為? 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的? 4－3? /? 4＋3? ＝1/7 所以，這批零件共有??? 24÷1/7＝168（個） ? 例3??? 一件工

59、作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解? 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 ??????????? 60÷12＝5??? 60÷10＝6??? 60÷15＝4?????????? 因此余下的工作量由乙丙合做還需要?????? ?????????? （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時） ??????????????????????? 答：還需要5小時

60、才能完成。 ? 例4??? 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 解? 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。 要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。 我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1

61、，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知 每小時的排水量為??? （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為?? 1×4×5－1×5＝15?? 又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為? 1×2，??? 所以，2小時內(nèi)注滿一池水 至少需要多少個進水管？? （15＋1×2）÷（1×2） ?????????????????????? ＝8.5≈9（個） ???????????????????????答：至少需要9個進水管。 ?16? 正反比例問題

62、?【含義】??? 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 ?兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 ? ?【數(shù)量關系】? 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。 ? ?【解題思路和方法】? 解決這

63、類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。 ?正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。 ? ?例1??? 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ ?解? 由條件知，公路總長不變。 ?????????? 原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 ?????????? 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 ?比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為??? 300÷（4－3）×12＝3600（米） ???????????

64、?????????????? 答： 這條公路總長3600米。 ? ?例2??? 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？ ?解? 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系 ???? 設91分鐘可以做X應用題? 則有? 28∶4＝91∶X ????????? 28X＝91×4??? X＝91×4÷28???? X＝13 ???????????????????????? 答：91分鐘可以做13道應用題。 ? ?例3??? 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ ?解? 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與

65、需要的天數(shù)成反比例關系 ???? 設X天可以看完，就有? 24∶36＝X∶15?? ????????????????????????? 36X＝24×15?? X＝10 ???????????????????????? 答：10天就可以看完。 ? 例4??? 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。 A???????????????????????????????????????????????? 25 20 36 B 16 ?????解?? 由面積÷寬＝長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的

66、正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此， ??????????? ?A∶36＝20∶16??????? 25∶B＝20∶16?? ???????? 解這兩個比例，得? A＝45? B＝20 ??????? ?所以，大矩形面積為? 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162 ?????????????????????????????答：大矩形的面積是162 ?? 17? 按比例分配問題 【含義】??? 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 ? 【數(shù)量關系】? 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。? 總份數(shù)＝比的前后項之和 ? 【解題思路和方法】? 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 ? 例1??? 學校把植樹560棵的任