【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻綜述 開題報告】用高等代數(shù)方法證明不等式

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1、【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】用高等代數(shù)方法證明不等式 〔　20　屆〕 本科畢業(yè)論文 用高等代數(shù)方法證明不等式 摘要：本文主要利用正定矩陣的性質(zhì)及歐氏空間中的柯布不等式等高等代數(shù)的結(jié)果和方法證明柯西不等式，并對柯西不等式進行改良和推廣。且給出厄米特齊式多項式為正定的一些充要條件，并導(dǎo)出一些相關(guān)的不等式。還研究方陣的特征值及其實部，虛部之間的不等式，以及對這些不等式的證明，并導(dǎo)出特征值，特征值的實部，特征值的虛部的新的一些上，下界。 關(guān)鍵詞：正定矩陣；柯西不等式；柯布不等式；歐式空間 Using hi

2、gher algebra approach to testify inequality Abstract：This paper mainly by using the properties of positive definite matrix and in Euclidean space le corbusier inequality higher algebra results and cauchy inequality, and method to prove of cauchy inequality improvement and promotion. And given eritr

3、ea milt qitype for positive definite some necessary and sufficient conditions polynomials, and derive some related inequalities. Also study square eigenvalue and actually department, imaginary part of inequality between of, as well as on these inequality proof, and derives eigenvalue, characteristic

4、 value of real part, eigenvalues imaginary part of the new some, lower. Key words: Positive definite matrix；Euclidean space Cauchy-Буняковский inequality 目 錄 1 緒論……………………………………………………………………………………………………1 1.1 不等式理論簡史…………………………………………………………………………………1 1.2 柯西不等式的證明方法…………………………………………………………………………2

5、2 柯西不等式的證明、改良及應(yīng)用……………………………………………………………………3 2.1 柯西不等式的證明………………………………………………………………………………3 2.1.1 柯西不等式的詮釋………………………………………………………………………3 2.2 利用正定矩陣性質(zhì)證明柯西不等式……………………………………………………………3 2.2.1 柯西不等式與正定矩陣的關(guān)系…………………………………………………………3 2.2.2 利用柯布不等式證明柯西不等式………………………………………………………4 2.3 柯西不等式的改良…………………………

6、……………………………………………………5 2.4 柯西不等式的推廣………………………………………………………………………………6 2.4.1 柯西不等式在歐式空間里的推廣………………………………………………………7 3 矩陣正定的充要條件，并導(dǎo)出一些不等式………………………………………………9 3.1 矩陣正定的充要條件…………………………………………………………………9 3.1.1 正定矩陣的性質(zhì)………………………………………………………………9 3.2 與矩陣有關(guān)不等式 …………………………………………………………………10 4 方陣的特征值及其實部，虛部之間

7、的不等式 ……………………………………………………12 4.1 證明特征值及其實部，虛部之間的不等式 …………………………………………………12 4.2 特征值及其實部、虛部的界限 ………………………………………………………………15 參考文獻…………………………………………………………………………………………………19 致謝………………………………………………………………………………………………………20 1 緒論 1.1 不等式理論簡史 數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起, 東歐國家有一個較大的研究群體, 特別是原南斯拉夫國家。目前,對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工

8、作者遍布世界各個國家。 在數(shù)學(xué)不等式理論開展史上有兩個具有分水嶺意義的事件,分別是: Chebycheff 在 1882 年發(fā)表的論文和928年Hardy任倫敦數(shù)學(xué)會主席屆滿時的演講；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中對不等式的哲學(xué) philosophy 給出了有見地的見解: 一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明, 證明應(yīng)該是“內(nèi)在的〞,而且應(yīng)該給出等號成立的證明。A. M.Fink認(rèn)為, 人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式. Hardy認(rèn)為, 根本的不等式是初等的.自從著名數(shù)學(xué)家G. H. Hardy,J. E. Littlewoo

9、d和G. Plya的著作Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以來, 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場, 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已開展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。 20 世紀(jì) 70 年代以來 , 國際上每四年在德國召開一次一般不等式 General Inequalities 國際學(xué)術(shù)會議,并出版專門的會議論文集。不等式理論也是2000年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學(xué)家大會 “The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s

10、〞 WCNA - 2000 的主題之一。200年和2001年在韓國召開的第六屆和第七屆非線性泛函分析和應(yīng)用國際會議 International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications 與2000年在我國大連理工大學(xué)召開的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式理論作為主要的議題安排在會議日程之中。2001年的不等式國際會議IN EQUAL IT IES于2001年7月9日至14日在羅馬尼亞 University of the West召開。 歷史上 , 華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域做出過重要奉獻 ,包括華羅庚、樊畿、林東

11、坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國有許多數(shù)學(xué)工作者始終活潑在國際數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的領(lǐng)域,他們在相關(guān)方面做出了獨特的奉獻,引起國內(nèi)外同行的注意和重視。例如王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、高明哲教授、張晗方教授、楊國勝教授等。 20世紀(jì)80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀(jì)80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對Fanky不等式的深人研究到達國際領(lǐng)先水平。祁鋒教授及其所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于

12、1981年發(fā)表在?中國科學(xué)?上的論文?一個不等式及其假設(shè)干應(yīng)用?針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱之為"一個杰出的非凡的新的不等式"，現(xiàn)在稱之為胡克 HK 不等式。胡克教授對這個不等式及其應(yīng)用作了系統(tǒng)而深刻的研究。 目前我國關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌先生的專著?常用不等式?一書由于供不應(yīng)求,在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第二版 ,重印過屢次。對于數(shù)學(xué)專著來講,這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的?矩陣論中不等式?。另外,國內(nèi)還有一個不等式研究小組比擬活潑,主辦一個?不等式研究通訊?的內(nèi)部交流刊物,數(shù)學(xué)家楊路先

13、生任參謀。 柯西不等式在數(shù)學(xué)各個分支里都有極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域就有著不同的表現(xiàn)形式，對它的應(yīng)用可謂靈活多樣，無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都有著極其不菲的價值，主要都充分表達了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。 1.2 柯西不等式的證明方法 常規(guī)方法： 配方〔Lagrange恒等式〕法 數(shù)學(xué)歸納法 △判別法 向量內(nèi)積法 新方法： 根本不等式法 Jensen總和不等式法 利用二次型正定 利用隨機變量的數(shù)學(xué)期望 利用算術(shù)平均-幾何平均不等式 當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)，，使時，等式成立

14、。 2、在積分學(xué)中，，有， ，當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)，使時，等式成立。 2.2 利用正定矩陣性質(zhì)證明柯西不等式 2.2.1 柯西不等式與正定矩陣的關(guān)系 柯西不等式與正定矩陣之間有什么關(guān)系呢？設(shè)是一個階正定矩陣，那么對任何向量與，定義： 〔1〕那么可以證明由〔1〕式定義的一定是維向量間的內(nèi)積。反之，對于維向量間的任意一種內(nèi)積，一定存在一個階正定矩陣，使得對任何向量和，可由〔1〕式來定義。因此，給定了一個階正定矩陣，在維向量間就可由該矩陣定義一個內(nèi)積，

15、從而可得到相應(yīng)的柯西不等式： 。 那么利用正定矩陣性質(zhì)證明可證明柯西不等式， 證明：記 其中，，顯然，即是半正定的 ，即，也即, 又當(dāng)且僅當(dāng)時 此時設(shè)不全為0，那么，即。 2.2.2 利用柯布不等式證明柯西不等式 命題1 設(shè)是維歐式空間的一組向量，而 那么當(dāng)且僅當(dāng)時，線性無關(guān)。 定理1 在實內(nèi)積空間中，對任意的向量，在平面幾何中，當(dāng)線性無關(guān)時， ，即 在一般歐式空間中，線性無關(guān)時，由兩向量生成的歐式空間與平面上向量全體所成歐式空間同構(gòu)，所以成立。于是可知: 線性相關(guān) 作為柯西―布涅科夫斯基不等式的特殊情況，在實線性空間中，令 ，

16、并定義內(nèi)積如下： 立即可得到柯西不等式： 。 2.3 柯西不等式的改良 引理1 設(shè)，函數(shù) ，那么 。 〔2〕 證明 對的變元進行配方，那么當(dāng)時， 同理，，.于是可得不等式〔2〕成立。 定理2 記 假設(shè) ，那么 〔3〕 且. 證明 不妨設(shè)并記，，易見，于是 ， . 因此有 . 其中，再利用引理立即得到不等式〔3〕。 2.4 柯西不等式的推廣 定理3 ，，那么 〔4〕 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

17、 證明 記 〔4〕式 由均值不等式 將得到的個同向不等式相加 〔4〕成立。 由均值不等式取等號的條件知，當(dāng)且僅當(dāng) 即時等號成立。在定理3中，令有 推論1 設(shè)那么 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅰ? 2.4.1 柯西不等式在歐式空間里的推廣 設(shè)是歐式空間，假設(shè)，那么，等號當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時成立。特別地，如果歐式空間是有限維的，設(shè)，取的任意一個基，那么又可得到柯西不等式的坐標(biāo)形式： 設(shè)， ， 那么 同樣有， 因此得到維歐式空間的一般坐標(biāo)形式的柯西不等式： ， 〔5〕 可簡化為： 令 其中為正定矩

18、陣 設(shè)為的轉(zhuǎn)置矩陣，可將〔5〕式改寫為 3 厄米特齊式多項式正定的充要條件，并導(dǎo)出一些不等式 3.1 厄米特齊式多項式正定的充要條件 3.1.1 正定矩陣的性質(zhì)： 一、根本性質(zhì) 設(shè)是階正定矩陣，其特征值為那么 1 是正定矩陣； 2 如果是任一列滿秩矩陣，那么 3 ； 4 。 二、判定性質(zhì) 性質(zhì)1 階矩陣正定的充要條件是的順序主子式均為正數(shù)，即 大于0， 證明 必要性 首先證明正定矩陣的順序主子矩陣也是正定矩陣，其中是的階順序主子矩陣，對任意的且，那么，故是階正定矩陣. 充分性 對矩陣的階數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法，階數(shù)為1時結(jié)論顯然成立.今設(shè)階

19、數(shù)為時結(jié)論成立，對階矩陣，記，其中為的階順序主子矩陣.因為非奇異，令，那么 于是，由歸納法假設(shè)，那么 有根本性質(zhì)可知，這說明階數(shù)為時結(jié)論也成立。 性質(zhì)2 階矩陣正定的充要條件是的所有主子式全大于零。 證明 必要性 對的任一階主子式 存在某一個排列矩陣，使的階順序主子式為.因為，由根本性質(zhì)知，從而由性質(zhì)1有 充分性由根本性質(zhì)〔2〕得. 3.2 與矩陣有關(guān)的不等式 定理4 設(shè)是個階正定矩陣，，那么有 . 證明 由于是正定矩陣，故是正定矩陣。從而 所以. 定理5 設(shè)是個階正定矩陣，且兩兩可交換，當(dāng)，那么有 . 證明 由于是正定矩陣，故為

20、標(biāo)準(zhǔn)方陣。又兩兩可交換，那么必定存在酉陣，使得 ，從而 ，，， 所以有 4 方陣的特征值及其實部，虛部之間的不等式 4.1 證明特征值及其實部，虛部之間的不等式 恒以表示復(fù)數(shù)的實部，以表示的虛部，以表示方陣的跡，并記。恒表示階陣的階順序主子陣，；與分別是陣與陣，并記 〔6〕 〔7〕 〔8〕 另用到下述三

21、個引理. 引理2 設(shè)是階復(fù)陣，如果 〔9〕 那么必是非奇異陣。 引理3 設(shè)是階復(fù)陣，如果 ， 〔10〕 那么必是非奇異陣。 引理4 設(shè)是階復(fù)陣，如果 ， 〔11〕 那么必是非奇異陣。 定理6 設(shè)是階復(fù)陣，且，那么對的任一特征值，成立下面的根本不等式： 〔12〕證

22、明 對任意，；由于 是奇異陣〔此處是階單位陣〕，故由引理1可知，必成立 〔13〕 容易算得 〔14〕 又 〔15〕 將〔9〕和〔10〕兩式代入〔8〕式，得到 經(jīng)化簡整理，得 〔16〕 由于〔11〕式對任何成立，；故由〔11〕和〔1〕兩式可得〔7〕式。證畢。 推論2 如果階復(fù)陣是陣，是的任一特征值，那么 〔17〕 這就是文獻[

23、15]中的一個根本不等式 當(dāng)是實陣時，，有 7 式得 推論3 設(shè)是階實陣且，又設(shè)是的任一特征值，那么 〔1〕當(dāng)時， ； 〔18〕 〔2〕當(dāng)時， 。 〔19〕 上兩式提供了由的各種上、下界估計的上、下界。另外由〔13〕還可估計本身的下界。 由〔7〕還顯然可以得到下面兩個推論 推論4 設(shè)是階實陣的任一特征值，且，那么 〔20〕 推論5 設(shè)是階復(fù)陣，如果 或 ，

24、那么 〔21〕 〔15〕式說明，可由實陣的特征值的實部的上〔下〕界估計的上〔下〕界。 今將〔7〕式改寫為 將上式化為 可得下述結(jié)論： 定理7 設(shè)是階復(fù)陣，是的任一特征值，那么 〔22〕 由〔17〕式顯然可以得到下面推論。 推論6 設(shè)是階復(fù)陣，且，如的特征值全是實數(shù)，那么 〔1〕 〔23〕 〔2〕 24 推論7 如果階陣的跡不等于，對的任一特征

25、值，有 〔1〕； 〔25〕 〔2〕 〔26〕 例1 對3階陣 由于，故由上兩式得 4.2 特征值及其實部、虛部的界限 定理8 設(shè)是階復(fù)陣任一特征值，且，那么 〔1〕 ； 〔27〕 〔2〕 。 〔28〕 證明 因為是奇異陣，由引理2可知 〔29〕 由于 〔30〕

26、 而 〔31〕 故由〔25〕和〔26〕兩式，〔24〕式可化為 與定理1的證明完全一樣，上式經(jīng)配方后可得 〔32〕 由上式既得〔22〕、〔23〕兩式，證畢. 定理3的一個明顯推論是下面的 推論8 設(shè)是階實陣的任一特征值，且，那么 〔1〕 〔33〕 〔2〕 〔34〕 如果，

27、那么由〔28〕、〔15〕兩式，得 由上式即得 定理9 設(shè)是階實陣，，那么對的任一特征值，恒有 〔35〕 與定理3的證法完全一樣，應(yīng)用引理3，便可以得到的估計式，這只要將定理3中的換成，換成，即成立下面的不等式 〔36〕 由上式得到下面的 定理10 設(shè)是階復(fù)陣的任一特征值，且，那么 〔1〕 〔37〕 〔2〕 〔38〕 由

28、〔27〕與〔31〕兩式顯然可得 即 〔39〕 由于復(fù)陣可表示為，故算得 對此式兩邊取跡，再應(yīng)用得 〔40〕 由〔34〕、〔35〕 又可得到定理2中的〔17〔式。不過，這里對的假設(shè)比定理2中的假設(shè)強，需設(shè)，，而定理2僅需假設(shè)或即可，此時必有，所以我們不用此法導(dǎo)出〔17〕式。 假設(shè)，，那么應(yīng)用〔28〕、〔32〕、〔7〕三式可得 由上式即得 定理11 設(shè)設(shè)是階復(fù)陣的任一特征值，且，，那么 〔41〕 例2 對

29、3階復(fù)陣 由于 應(yīng)用〔36〕式，容易得到 因為，故 又因為， 所以 那么可得 . 在經(jīng)過簡單計算，得 參考文獻 [1] 王照泉,李麗.柯西不等式的幾種證明方法[J].價值工程.2021, 11 :210. [2] 徐麗君.柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J].科學(xué)信息 科學(xué)教研 .2021, 11 :236-237. [3] 燕子忠,王章雄.柯西不等式的改良下界[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報.2000,23 2 :10-11. [4] 張可賢.柯西不等式的證明、推廣和應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2021,[19]:106-108. [5] 吳亞敏.正定矩陣的性質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)

30、學(xué)習(xí)與研究.2021, 3 :110-112. [6] 宋海洲.正定厄米特矩陣的幾個不等式[J].華僑大學(xué)學(xué)報 自然科學(xué)版 .2004, 01 :108-109. [7] 屠伯塤.方陣特征值及其實部,虛部之間的不等式[J].復(fù)旦學(xué)報 自然科學(xué)報 .1994,33 6 :634-642. [8] 楊忠鵬,陳智雄.關(guān)于用矩陣的跡表示的特征值的界[J].福建師范大學(xué)學(xué)報 自然科學(xué)版 . 2002,18 4 :7-10. [9] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔I〕[J].復(fù)旦學(xué)報 自然科學(xué)報 .1982.21 4 :416-422. [10] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔II

31、I〕[J].復(fù)旦學(xué)報 自然科學(xué)報〕.1985.24 3 :321-331. [11] WolkowiczH，Styan GDH. More bounds for eigenvalues using traceLin Alg Appl,1980.31:1-17. [12] Kress R,Ludwig de Vries H,Wegmann R.On nonnormal matrcs[J]. Lin Alg Appl,1974,8:109-120. 文獻綜述 用高等代數(shù)方法證明不等式 一、前言局部 21世紀(jì)變得更加重要來認(rèn)識不等式的重要性。美國?數(shù)學(xué)評論?2000年

32、新的分類中,一級分類已到達63個,主題分類已超過5600多個,說明現(xiàn)代數(shù)學(xué)已形成龐大的科學(xué)體系,并且仍在不斷向縱深開展。它在自然科學(xué)、工程技術(shù)、國防、國民經(jīng)濟 如金融、管理等 和人文社會科學(xué) 如語言學(xué)、心理學(xué)、歷史、文學(xué)藝術(shù)等 以至我們的日常生活中的應(yīng)用都在不斷深化和開展。它為我們提供了理解信息世界的一種強有力的工具,它也是新世紀(jì)公民的文化和科學(xué)的重要組成局部。而不等式在數(shù)學(xué)中又處于獨特的地位。美國?數(shù)學(xué)評論?在為作者的?常用不等式?第2版寫的長篇評論中指出:“不等式的重要性,無論怎么強調(diào)都不會過分。〞在美國?數(shù)學(xué)評論?MR2000中,除了MR26中的9個主題分類外,還有24個主題分類分散在其

33、他局部,其中MR39B62 泛函不等式 、39B72、49J20、40 變分不等式 、26E60 平均 等都是MR2000新增加的。這說明不等式仍然是十分活潑又富有吸引力的研究領(lǐng)域。 自1934年出版的哈代等的?不等式?把不等式領(lǐng)域從孤立公式的聚集改造為系統(tǒng)的學(xué)科以來。不等式已經(jīng)在幾何、代數(shù)、分析以及自身的證明上有了比擬突出的成果。而在不等式中，柯西不等式是比擬重要的，在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面都要應(yīng)用到 柯西不等式： 柯西不等式有多種情況，一般的形式為： 設(shè) ， 為兩組實數(shù)，那么有 為了提高其精度，減少誤差，有許多人對其進行過廣泛研究。[1]就

34、是其中的一篇，它參加一個引理與柯西不等式結(jié)合，得到柯西不等式進一步加強的結(jié)果。 [2]是有關(guān)分析不等式方面的文章，研究的是一些著名的古典不等式。 [3]是一部非常重要的文獻，幾代人都受益無窮。同時也反映了中國學(xué)者在不等式研究上的成果。 [4]是有關(guān)不等式的應(yīng)用。 [5]-[7]那么涉及到有關(guān)高等代數(shù)中的一些不等式。 [8]那么是給出了正定矩陣不等式的簡單證明，[11]中第九章習(xí)題給出的不等式： 設(shè)是一階正定實對稱矩陣 當(dāng)且僅當(dāng)是對角矩陣是等號成立。 的一種證明方法〔本文用代數(shù)方法給出了證明〕，再有上述不等式證 明了著名的不等式：

35、 設(shè)是任一階實稱矩，那么 [9]主要對正定矩陣的重要定理： 設(shè)、為階正定的實對稱矩陣，那么有 等號僅當(dāng)〔為常數(shù)〕是成立 的推廣，得到更普遍的結(jié)論。 [10]是一本不管在代數(shù)、解析還是幾何方面都涉及不等式的專業(yè)書籍，本書絕大多數(shù)研究的命題，都可歸結(jié)為其前提和結(jié)論都是多元代數(shù)多項式不等式〔組〕的代數(shù)命題。在幾何方面，就分為涉及2維或3維等指定維數(shù)的并具體有確定邊數(shù)的初等幾何圖形的不等式及涉及到平面角形或維歐式空間中的有限點集、單形、多面體等幾何對象問題兩層次。 [11]-[14]也有有關(guān)高等代數(shù)中的一些不等式。 [15] 主要研究方陣的特征值及其實部

36、、虛部之間的不等式及由特征值與其實部、特征值與其虛部、特征值的實部與虛部之間的一些根本不等式，導(dǎo)出特征值、特征值的實部、特征值的虛部的一些新的上、下界。 二、主題局部 1934年出版的哈代等的?不等式?把不等式領(lǐng)域從孤立公式的聚集改造為系統(tǒng)的學(xué)科。1961年出版的貝肯巴赫、別爾曼的名著?不等式?反映了1934年至1960年不等式的研究成果,標(biāo)志著不等式的方法和論題范圍的擴大。1970年出版的密特利諾維奇的?解析不等式?那么進一步擴大了不等式的論題,其中第三局部收集的459個特殊不等式是不等式課題很有價值的源泉,而且很多不等式可作為更一般性理論的出發(fā)點。此后,以為首的南斯拉夫不等式研究集體又

37、陸續(xù)出版了一系列不等式專著。 20世紀(jì)80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。研究成果之豐富,研究成果水平之高,研究隊伍的迅速壯大,都是前所未有的的。1994年成立了“中國不等式研究小組〞,并自費 創(chuàng)辦了?研究通訊?。隨著這個隊伍的逐步壯大，?研究通訊?更名為?不等式研究通訊?,并正在籌備成立中華不等式研究協(xié)會,研究成果除發(fā)表在國內(nèi)有關(guān)期刊外,在國外許多核心期刊上,已經(jīng)可以看 到越來越多的中國不等式作者的名字。 今后工作的展望 今后不等式的研究,可從以下4個方面考慮: 1 推廣和改良現(xiàn)有的不等式;2 建立新的不等式;3 擴大不等式的應(yīng)用范圍；4 探索不等式的證明方法

38、。 下面從10個方面分析進一步研究的領(lǐng)域。 1 在泛函分析中,距離空間,賦范線性空間的建立依賴于距離或范數(shù)是否滿足三角不等式。因而,不等式，不等式的各種推廣、加細(xì)、反向以及尋求不同證法一直成為研究的熱點。如何用不等式去刻劃各種函數(shù)空間是一個值得特別關(guān)注的研究方向。 2 在函數(shù)論,特別是函數(shù)逼近論中,有正定理 定理 ,即從函數(shù)的構(gòu)造性質(zhì)去推斷最正確逼近收斂于零的速度,以及逆定理〔定理 ,關(guān)于代數(shù)多項式,三角多項式的導(dǎo)數(shù)的各種不等式起了關(guān)鍵作用;還有與可微函數(shù)類的嵌入相聯(lián)系的不等式。 3 在概率化中許多定律是通過不等式陳述的。例如,用不等式推導(dǎo)大數(shù)律,用不等式證明強大數(shù)律和有關(guān)隨機變量級數(shù)

39、的收斂定理。因此,概率統(tǒng)計中的不等式的研究一直是人們關(guān)注的熱點之一。 4 微分方程理論中大量用到微分不等式和先驗估計。 5 計算數(shù)學(xué)中,用不等式估計各種問題近似解的誤差。在本質(zhì)上是由于線性規(guī)劃,使得在計算數(shù)學(xué)中使用不等式已經(jīng)變成與使用等式一樣頻繁。 6 數(shù)論中,有一個分支,即逼近就是完全建立在不等式上。研究有限個整變量的函數(shù)值逼近于零的數(shù)論分支,最初的逼近問題涉及到實數(shù)的有理逼近, 它的開展導(dǎo)致研究某些實函數(shù)在整數(shù)變量上必須取“小〞值的問題。因此, 逼近與求解整數(shù)變量的不等式 即不等式 和求解整數(shù)變量的方程 即方程 有密切的關(guān)系。 7 幾何學(xué)中的不等式,應(yīng)該特別關(guān)注凸體理論和等周不等式

40、。經(jīng)典等周不等式提供了等周問題的一個解。所謂等周問題是在平面上所有具有給定周長的曲線中,求圍成最大的一條曲線。等周不等式還包括經(jīng)典等周不等式的各種推廣,以及圖形、集合、流形的幾何特征之間的其他不等式。借助于幾何特征對物理起源的量 如慣性矩、彈性梁的抗扭剛度、膜的根本頻率、靜電容量等等 的估計也屬于等周不等式的一般領(lǐng)域,一個精確的不等式等價于某一極值問題的解。等周不等式能把兩個或更多的量聯(lián)系起來,利用等周不等式作為對圖形的某些參數(shù)借助于其他參數(shù)的估計是在幾何學(xué)的范圍內(nèi)出現(xiàn)的。等周不等式在數(shù)學(xué)物理、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、函數(shù)逼近論和變分學(xué)等都有廣泛而深刻的應(yīng)用： a.泛函分析中,空間的嵌入算子的

41、有界性和緊性條件要借助于等周不等式給出,這時使測度與容量聯(lián)系起來。 b.用關(guān)于面積、體積的等周不等式證明線性和擬線性橢圓型微分方程解的先驗估計。 c.函數(shù)逼近論中的寬度是空間中凸體的一種特殊的等周不等式。 d.在共形與擬共形映射理論中應(yīng)用等周不等式是一種標(biāo)準(zhǔn)方法。包含子流形平均曲率,特別是對極小曲面的等周不等式在問題的求解中起著重要作用。所謂問題,就是求具有給定邊界的極小曲面問題。 e.幾何學(xué)中的等周不等式更為復(fù)雜。對一個維空間,等周不等式通常與截曲率或曲率的單側(cè)界相聯(lián)系。 8 線性規(guī)劃 運輸調(diào)配、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料、配方、經(jīng)濟方案等 歸結(jié)為一個線性函數(shù) 目標(biāo)函數(shù) 。 9 在數(shù)學(xué)分

42、析中,極限概念定義的本質(zhì)就是將無限過程 不能直接處理 轉(zhuǎn)化為有限次的不等式的運算。因此,運用不等式,是每個數(shù)學(xué)工作者必須掌握的根本技能。 10 新積分不等式。前面已指出勒貝格積分是一種絕對積分,還不能完全包含積分和積分。于是各種新的積分就成了研究中的一個熱點, 這些新積分不等式的結(jié)果還很少。 三、總結(jié)局部 柯西不等式在數(shù)學(xué)各個分支里都有極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域就有著不同的表現(xiàn)形式，對它的應(yīng)用可謂靈活多樣，無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都有著極其不菲的價值，主要都充分表達了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性。柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。由此

43、可見,一般不等式的研究前景是十分廣闊的。由于高等代數(shù)方法在證明不等式中的獨特作用，如文獻[16]-[17],本課題著重用高等代數(shù)方法證明不等式。 數(shù)學(xué)到今天有幾千年的歷史了，然而它仍然是永不衰弱的一門學(xué)科。他揭露了世界的至美，是哲學(xué)的最高形式，人有追求美的欲望，就有熱愛數(shù)學(xué)的激情。 四、參考文獻 [1] 燕子宗,王章雄.柯西不等式的改良[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.2000.8,23 2 :9-11 [2] 陳廣卿.一個有關(guān)凸函數(shù)不等式及其應(yīng)[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識.1986.1,26 1 :54-57 [3] 徐利治，王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育

44、出版社，1984.5:126 [4] 陳亞萍.柯西不等式的妙用[J].黔南師專學(xué)報〔自然科學(xué)版〕.1996.2, 22 2 :10-12 [5] 楊尚駿.高等代數(shù)重要習(xí)題講解[M].安徽省教學(xué)學(xué)會,安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系,1982.4:52-56 [6] 張遠(yuǎn)達.線性代數(shù)原理[M].上海教育出版社,1980.8:28-36 [7] 樊惲，錢吉林.代數(shù)學(xué)辭典[M].華中師范大學(xué)出版社，1994.12:411-421 [8] 丁衛(wèi)平.關(guān)于正定矩陣一不等式的簡單證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué). 2004.12,20 6 :10-17 [9] 孫杰，王震.一個正定矩陣不等式定理的推廣[J].棗莊師專學(xué)報.

45、 1996.3,12 5 :38-39 [10] 楊學(xué)技.不等式研究[M].西藏人民出版社, 2000.7:98-103 [11] 張禾瑞，赫鑌新.高等代數(shù)〔第三版〕[M].高等教育出版社，1983.5:25-32 [12] 葉伯誠.高等代數(shù)[M].青島海洋大學(xué)出版社,1989.8:38-47 [13] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔I〕[J].復(fù)旦學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.1982.21 4 :416-422 [14] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔III〕[J].復(fù)旦學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.1985.24 3 :321-331 [15] 屠伯塤,李君如.方陣特征值之分布及其在

46、穩(wěn)定性理論中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)年刊A輯. 1987,8 6 :659-663 [16] WolkowiczH，Styan GDH. More bounds for eigenvalues using trace[J]. Lin Alg Appl,1980.31:1-17 [17] Kress R,Ludwig de Vries H,Wegmann R.On nonnormal matrcs[J]. Lin Alg Appl,1974,8:109-120 開題報告 用高等代數(shù)方法證明不等式　　　　　 一、選題的背景、意義 柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西〔Cauchy〕在研究數(shù)學(xué)分析

47、中的“流數(shù)〞問題時得到的。 柯西不等式的根本形式 1、在初等數(shù)學(xué)中， ，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)，，使 時，等式成立。 2、在積分學(xué)中，，有， ，當(dāng)且僅 當(dāng)存在不全為零的常數(shù)，使時，等式成立。 柯西不等式在數(shù)學(xué)各個分支里都有極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域就有著不同的表現(xiàn)形式，對它的應(yīng)用可謂靈活多樣，無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都有著極其不菲的價值，主要都充分表達了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通

48、性、滲透性和統(tǒng)一性?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。 不等式是關(guān)于正定矩陣的行列式上界估計的不等式 不等式 我們總約定：為實數(shù)域上矩陣的集合，為的跡, 為的行列式，且用表示在復(fù)數(shù)域上的所有特征根。 設(shè)使正定矩陣，那么的行列式當(dāng)且僅當(dāng)是對角矩陣時，上式成立。 尤其應(yīng)該指出的是，高等代數(shù)方法在證明不等式中有著獨特的作用，參見[1]-[17]。 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀、開展動態(tài) 本人以1999―2021十一年為時間范圍，以“柯西不等式〞、“柯西不等式的應(yīng)用〞 “不等式“為關(guān)鍵詞，在中國知網(wǎng)以及萬方數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)庫中共搜索到30余篇文章，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外對可

49、惜不等式的其研究進展主要分配在以下領(lǐng)域： 一、柯西不等式、不等式的證明 ； 二、柯西不等式的推廣； 三、柯西不等式的應(yīng)用舉例； 二、研究的根本內(nèi)容與擬解決的主要問題 【研究內(nèi)容】 柯西不等式的證明 一、常規(guī)方法 配方〔Lagrange恒等式〕法 數(shù)學(xué)歸納法 △判別法 向量內(nèi)積法 二、新方法 根本不等式法 Jensen總和不等式法 利用二次型正定 利用2維隨機變量的數(shù)學(xué)期望 利用算術(shù)平均-幾何平均不等式 柯西不等式的推論： 推論1： 設(shè)為實數(shù)，那么有 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 推論2： 設(shè)為實數(shù)，那么有 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 推廣： 命題1：那么

50、 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立。 命題2：設(shè)，那么 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 命題3：當(dāng)令既得 設(shè)，那么 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 命題4： 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 柯西不等式在證明不等式中的應(yīng)用 1、 2、 柯西不等式在求條件極值中的應(yīng)用 柯西不等式在解三角形方面的應(yīng)用 1、 2、 3、 不等式的證明那么運用到代數(shù)的方法即算術(shù)-幾何平均不等式。 論文擬解決的主要問題 在本次論文中，我設(shè)定的擬解決的主要問題： 在解題中怎么分析題設(shè)條件及其形式特點,并把握處理規(guī)那么,如何比擬好地利用柯西不等

51、式來提高解題的技巧，如何對柯西不等式的證明及其推廣及多方面的應(yīng)用做一個系統(tǒng)的歸納和總結(jié)。 三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期到達的目標(biāo) 1、文獻收集整理上，我將在中國期刊網(wǎng)、中國知識網(wǎng)和中國數(shù)字化期刊群等互聯(lián)網(wǎng)上查找相關(guān)論文；再到圖書館查找相關(guān)文獻仔細(xì)閱讀，爭取做好畢業(yè)論文工作。 2、在具體解題中，我將采用了數(shù)學(xué)歸納法、分析法、反證法、演繹法等方法，通過幾個典型的例題，說明幾個類型的問題。 四、論文詳細(xì)工作進度和安排 第七學(xué)期第9周至第12周：收集相關(guān)資料，閱讀相關(guān)文獻。 第七學(xué)期第13周至第15周：在廣泛閱讀相關(guān)材料的根底上，深入分析問題，建立研究和解決問題的根本方案和技術(shù)

52、路線，完成文獻綜述、開題報告，外文翻譯。 第八學(xué)期第1周至第3周：全面開展課題研究，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，按照研究方案和路線撰寫論文，完成論文初稿。 第八學(xué)期第4周至第10周：在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，對論文進行第一次修改。 第八學(xué)期第11周至第12周：對論文進行第二次修改，并完善定稿。 第八學(xué)期第13周至第14周:做好畢業(yè)論文辯論準(zhǔn)備事項，進行辯論 五、主要參考文獻： [1] 燕子宗,王章雄.柯西不等式的改良[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.2000.8,23 2 :9-11 [2] 陳廣卿.一個有關(guān)凸函數(shù)不等式及其應(yīng)[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識.1986.1,26 1 :54-57 [3

53、] 徐利治，王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育出版社，1984.5:126 [4] 陳亞萍.柯西不等式的妙用[J].黔南師專學(xué)報〔自然科學(xué)版〕.1996.2, 22 2 :10-12 [5] 楊尚駿.高等代數(shù)重要習(xí)題講解[M].安徽省教學(xué)學(xué)會,安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系,1982.4:52-56 [6] 張遠(yuǎn)達.線性代數(shù)原理[M].上海教育出版社,1980.8:28-36 [7] 樊惲，錢吉林.代數(shù)學(xué)辭典[M].華中師范大學(xué)出版社，1994.12:411-421 [8] 丁衛(wèi)平.關(guān)于正定矩陣一不等式的簡單證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué). 2004.12,20 6 :10-17 [9

54、] 孫杰，王震.一個正定矩陣不等式定理的推廣[J].棗莊師專學(xué)報. 1996.3,12 5 :38-39 [10] 楊學(xué)技.不等式研究[M].西藏人民出版社, 2000.7:98-103 [11] 張禾瑞，赫鑌新.高等代數(shù)〔第三版〕[M].高等教育出版社，1983.5:25-32 [12] 葉伯誠.高等代數(shù)[M].青島海洋大學(xué)出版社,1989.8:38-47 [13] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔I〕[J].復(fù)旦學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.1982.21 4 :416-422 [14] 屠伯塤.矩陣秩的下界與方陣的非異性〔III〕[J].復(fù)旦學(xué)報〔自然科學(xué)報〕.1985.24 3 :

55、321-331 [15] 屠伯塤,李君如.方陣特征值之分布及其在穩(wěn)定性理論中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)年刊A輯. 1987,8 6 :659-663 [16] WolkowiczH，Styan GDH. More bounds for eigenvalues using trace[J]. Lin Alg Appl,1980.31:1-17 [17] Kress R,Ludwig de Vries H,Wegmann R.On nonnormal matrcs[J]. Lin Alg Appl,1974,8:109-120 20