第五章 特征值與特征向量 矩陣的對角化

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1、第五章 特征值與特征向量 矩陣的對角化 本章介紹矩陣的特征值和特征向量概念, 并利用它們解決矩陣的對角化問題。另外特征值理論在解線性微分方程組和工程技術中諸如振動與穩(wěn)定性問題時, 都有廣泛的應用。 §1 矩陣的特征值與特征向量 定義1　 設A是n階方陣,如果存在數和非零的n 維向量,使得 (1.1) 那么, 稱為矩陣A的一個特征值,而稱為A 的屬于特征值的一個特征向量。 從幾何上看, 矩陣A的特征向量經過矩陣A作用后所得到的向量與特征向量共線, 而比例系數就是特征向量所屬的特征值。 如果是矩陣A的屬于

2、特征值的特征向量, 則的任何一個非零倍數也是A的屬于的特征向量, 因為從(1.1)式可以推出 進一步,若，都是A的屬于的特征向量,且≠0, 則仍然是A的屬于的特征向量。這說明特征向量不是被特征值所唯一決定的。相反,特征值卻是被特征向量所唯一決定的。因為,容易證明一個特征向量只能屬于一個特征值。 下面討論特征值和特征向量的求法。 根據定義, 若為n階矩陣的屬于特征值的特征向量,則為齊次線性方程組即 （1.2） 的非零解,反之亦然。根據線性方程組解的理論可知,是矩陣的特征值的充分必要條件為方程組(1.2)的系數行列式。 定義2 對于n階矩陣， 是的n次多項式,稱為方陣的特征多

3、項式,方程稱為方陣的特征方程。 根據前面的討論，得到求矩陣的特征值和特征向量的具體步驟: (1)寫出矩陣的特征多項式; (2)求出特征方程的全部根。這些根就是的全部特征值。 (3)對所求得的每一個特征值,代入齊次線性方程組,求出一個基礎解系:，則 不全為0)便是的屬于特征值的全部特征向量。 例1 求矩陣 的特征值和特征向量。 解 的特征多項式為 所以的特征方程為，得的特征值。 對于時,解方程,由 得基礎解系,所以屬于特征值的全部特征向量是,其中,為實數。 對于,解方程,由 得基礎解系,所以屬于特征值的全部特征向量是,其中,為實數。 例2 求矩陣

4、 的特征值和特征向量。 解 的特征多項式為: 所以的特征方程為=0，得的特征值。 對于時,解方程,由 得基礎解系,所以屬于特征值的全部特征向量是 ，其中,為實數。 對于,解方程,由 得基礎解系,所以屬于特征值的全部特征向量為(其中,是不全為0的實數)。 例3　 求n階數量矩陣的特征值和特征向量。 解 矩陣的特征多項式 。 從而的特征方程為,得的特征值 。 對于,解方程組此方程組的系數矩陣是零矩陣,所以任意n個線性無關的向量都是它的基礎解系。取單位向量組 ,,…, 作為基礎解系,于是的屬于特征值的全部特征向量為 (不全為0)。 由例3可推廣,任一

5、對角矩陣的特征值就是它的主對角線上的元素,從而對角矩陣的所有特征值之和等于主對角線上元素之和，而的所有特征值的乘積等于行列式,根據多項式的根與系數之間的關系,此結論可推廣到任意方陣。 設n階矩陣有n個特征值為(k重特征值算作k個特征值),則 (1)　　 ； （2） 。 其中是的主對角線元素之和,稱為矩陣的跡,記作。 例4 設是方陣的特征值,證明是的特征值。 證 因為是方陣的特征值,所以存在非零向量,使 。 從而 。 所以是的特征值。 按例4類推,若是的特征值,則是的特征值,是的特征值，其中,(留作練習)。 定理1　設是矩陣的互不相同的特征值,是其對

6、應的特征向量,則是線性無關的。 證 對不同特征值的個數作數學歸納法。當時,因為特征向量非零,所以是線性無關的,結論成立。 假設定理對成立,下面證明: 時也成立。 設 　 　　　 (1.3) 用矩陣左乘上式兩端,得 即 　　　　 (1.4) 將(1.3

7、)式兩端分別乘以,得 　　　 (1.5) (1.5)式兩端分別減去(1.4)兩端,得 由假設線性無關,于是有 , 由已知條件是個不同的特征值,從而(),所以 (1.6) 將(1.6)式代入(1.3)式,得 由特征向量,得,故線性無關。 綜合上述，定理成立。 推論1 設是n階矩陣A的個互不相同的特征值,對應于的線性無關的特征向量為(),則由所有這些特征向量構成的向量組線性無關。 §2 相似矩陣和矩陣的對角化 對角矩陣是最簡單的一種矩陣, 現(xiàn)在考慮對于給定的n階方陣, 是

8、否存在可逆矩陣,使為對角矩陣, 這就稱為把方陣對角化。為此,首先給出相似矩陣的概念。 定義1 設都是n階方陣, 若存在可逆矩陣,使 則稱矩陣與相似,或、是相似矩陣,記為～,可逆矩陣稱為將變換成的相似變換矩陣。 由定義可知,矩陣的相似關系是一種特殊的等價關系, 具有如下性質 (1) 反身性 ～； (2) 對稱性 若～, 則～； (3) 傳遞性 若～,～, 則～。 它們的證明,留給讀者作為練習。 定理1 相似矩陣有相同的特征多項式, 從而也有相同的特征值。 證 設～, 則存在可逆矩陣,使,故 。 推論1 相似矩陣的行列式相同, 跡相同, 秩也相同。 下面介紹矩陣可

9、對角化,即相似于對角矩陣的條件。 定理2 n階矩陣可對角化的充分必要條件是有n個線性無關的特征向量。 證 必要性 設可對角化, 則存在可逆矩陣, 使 即 將矩陣按列分塊,令=(), 則有 =() 因此 ()。 因為為可逆矩陣, 所以的n個列向量都是非零向量, 且為線性無關組,因而是的n個特征值，是的屬于特征值的n個線性無關的特征向量。 充分性 設有n個線性無關的特征向量,對應的特征值分別為, 則有 ,()。 以這些向量為列,構造矩陣(), 則P可逆,且 = 即為對角矩陣。 從定理2的證明過程可以看出, 如果矩陣相似于對角陣,那么的對角線元素都是

10、特征值（重根重復出現(xiàn)），而相似變換矩陣的各列就是的n個線性無關的特征向量,其排列次序與特征值在對角陣中的排列次序相一致。 如果n階矩陣有n個互異的特征值, 根據上節(jié)定理1, 每個不同的特征值對應的特征向量必線性無關, 那么必與對角矩陣相似。 推論2 如果n階方陣有n個互異的特征值, 那么與對角陣相似。 如果n階矩陣有重根時,就不一定有n個線性無關的特征向量,從而不一定能對角化(見下面例1（1）)。但如果的每一個重特征值對應有個線性無關的特征向量, 根據上節(jié)定理1的推論1, 必有n個線性相關的特征向量, 從而可對角化, 反之亦然。 推論3 n階矩陣的每一個重特征值對應有個線性無關

11、的特征向量的充要條件是相似于對角矩陣。 例1 下列矩陣能否對角化? 若能, 求出對角陣及相似變換矩陣,使,若不能,則說明理由。 (1) (2) 解 (1) 在上一節(jié)的例1中,求得的特征值為,,對于二重特征值, 線性無關的特征向量只有一個,根據推論3, 不可對角化。 (2) 在上一節(jié)的例2中,求得的特征值為,,對應的線性無關的特征向量為 , ， 由定理2或推論3，可對角化, 取相似變換矩陣 則 。 例2 設3階方陣,和都不可逆,問能否對角化？若能,寫出其對角陣。 解　 因為,和都不可逆,所以 ， 即 。 從而3階

12、矩陣有三個不同的特征值, 由推論2，可對角化, 且 ～ 。 §3 實對稱矩陣的對角化 為了下面討論需要,先引入矩陣(包括向量)的共軛運算。設=是復數域上的矩陣。則稱( )是的共軛矩陣,其中是的共軛復數。 容易驗證共軛運算具有以下性質: (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 由上節(jié)我們知道,并不是任何矩陣都可對角化,但是有一類很重要的矩陣——實對稱矩陣一定可對角化,其特征值與特征向量有許多特殊的性質。 定理1 實對稱矩陣的特征值都是實數。 證 設復數是矩陣的任一特征值, 為的屬于的特征向量, 則 兩邊取轉置，再取共軛,得: 因為是實

13、對稱矩陣, 所以, 從而 兩邊右乘得 即 因為, 所以 因此, 即為實數。 顯然,當特征值為實數時, 齊次線性方程組 是實系數方程組,由知必有實的基礎解系, 從而對應的特征向量一定可以取實向量。 定理2 實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量必正交。 證　 設是的兩個不同的特征值, 是其對應的實特征向量, 則有 從而 = 即 因為, 所以 即正交。 定理3 對于任一個n階實對稱矩陣, 都存在正交矩陣, 使得 ， 其中是

14、的n個特征值。 證 對n用數學歸納法。 當n=1, 結論顯然成立。 假設當時結論成立, 下面證明對階實對稱矩陣也成立。設是的一個特征值,是屬于的實單位特征向量,則: , 根據第三章正交化過程可知,必能找到個維實單位向量(未必是特征向量), 使為兩兩正交的單位向量組, 令=(), 則為正交矩陣, 且 = = 因為 () 記 所以, 因為是k-1階實對稱矩陣, 所以由歸納法假設,存在k-1階正交矩陣, 使得 。 令 顯然, 為正交矩陣, 且 ===。 令, 因為為正交矩陣, 故為正交矩陣

15、, 且 由歸納法, 定理成立。 定理3說明n階實對稱矩陣一定有n個線性無關的特征向量。再結合上一節(jié)的推論3得到 推論1 實對稱矩陣的每一個重特征值恰有個線性無關的特征向量。 由定理1～3,　我們得到用正交矩陣將n階實對稱矩陣對角化的具體步驟: (1) 求出特征多項式所有的根, 即的特征值, 設為,其重數分別為, 其中。 (2) 對每個求出個線性無關的特征向量, 利用正交化方法, 把它們正交單位化, 得到個相互正交的單位特征向量。 (3) 把屬于每個特征值的正交單位特征向量放在一起, 得到的n個相互正交的單位特征向量,　以它們作為列, 得正交矩陣, 且 例1　設

16、求正交矩陣,使為對角陣。 解　 因為為實對稱矩陣，所以這樣的正交矩陣必存在。 (1) 的特征多項式為 令,得的特征值為。 （2）　對于,　解方程組,　由 取其基礎解系,可得線性無關的特征向量 , 正交化,　得 , = 再單位化,　得 , 。 對于,　解方程組　 ， 取基礎解系,　可得線性無關的特征向量 單位化,　得 (3)令 因為是兩兩正交的單位特征向量,　所以為正交矩陣,　且 。 要注意,　如取(), 則仍為正交矩陣,　但 另外,因為基礎解系有多種取法,所以兩兩正交的單位特征向量也有多種解法,因此,

17、使為對角陣的正交矩陣是不唯一的。 習題五 1 求下列矩陣的特征值與特征向量: (1) (2) (3) 2 設 n階方陣,　均不可逆,求的所有特征值。 3 設是矩陣的屬于二個不同特征值的特征向量, 證明 ()不是的特征向量。 4 設是矩陣A的特征值多項式，試證明：（1）是的特征值，（2）若=0，則A的任一特征值滿足=0。 5 設,試證的特征值只能是或1,并就,舉例說明0和1未必都是的特征值。 6 設n階方陣可逆,是的特征值,試證: (1) ； (2) 為的特征值。 7 已知3階矩陣的特征值為1、－1、2，設

18、 , 試求及。 8 若矩陣可逆,證明: ～ 。 9 設 ～,～，證明 ～ 10 已知矩陣=與相似,　求 。 11 設矩陣,　求 。 12 第1題中的矩陣能否對角化？若能,求矩陣和對角陣,使 。 13 設3階方陣的特征值為, 對應的特征向量分別為 , , 求 。 14 求正交矩陣,使為對角矩陣: (1) ； (2) 15 設相似,其中 , 求實數、及正交矩陣,使 。 16 已知三階實對稱矩陣的特征值為: －2、1、4, ,分別是的屬于－2和1的特征向量,　求 。 17 設為實對稱矩陣,證明: 存在實對稱矩陣,使 。 109