2018年高中數學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量在立體幾何中的應用課件9 新人教B版選修2-1.ppt

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1、空間向量證明 立體幾何問題,空間 向量,空間 向量 的運 算,空間 向量 基本 定理,空間 向量 的坐 標運 算,,,,,加減 和數 乘運 算,共線 向量 共面 向量,空間 向量 的數 量積,,,,知識結構,夾角和距離 平行和垂直,,,,1、空間直角坐標系,以單位正方體 的頂點O為原點，分別以射線OA，OC， 的方向 為正方向，以線段OA，OC， 的長為單位長，建立三條數軸：x軸,y軸,z軸,這時我們建立了一個空間直角坐標系,B,,,,O為坐標原點， x軸,y軸,z軸叫坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面,一、基本概念,,,,,右手直角坐標系,橫軸,縱軸,豎軸,,,,,

2、2、空間直角坐標系中點的坐標,有序實數組（x,y,z）叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M（x,y,z）其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標, z叫做點M的豎坐標,如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.,4、平面的法向量,3、直線的方向向量,1、假設平面法向量的坐標為n=(x,y,z). 2、根據na = 0且nb = 0可列出方程組,3、取某一個變量為常數(當然取得越簡單越好), 便得到平面法向量n的坐標.,5、平面法向量的求法,設a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內的兩個不共

3、線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若na = 0且nb = 0,則n⊥α.可按如下步驟求出平面的法向量的坐標,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量,解：平面ABC的法向量為:,例、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,,,解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz（如圖）， 則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）， 設平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得,

4、解得,取z =1得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1),5、兩法向量所成的角與二面角的關系,,,,,,,,,設n1 、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補，于是求二面角的大小可轉化為求兩個平面法向量的夾角.,二、基本公式：,1、兩點間的距離公式（線段的長度）,,2、向量的長度公式（向量的模）,3、向量的坐標運算公式,4、兩個向量平行的條件,5、兩個向量垂直的條件,或,7、重心坐標公式,6、中點坐標公式,,,9、直線與平面所成角公式,8、直線與直線所成角公式,10、平面與平面所成角公式,,( 為二面角兩個

5、半平面的法向量）,,11、點到平面的距離公式,（PM為平面 的斜線, 為平面 的法向量）,12、異面直線的距離公式,（A,B為異面直線上兩點, 為公垂線的方向向量）,利用向量求角,直線與直線所成的角,直線與平面所成的角,平面與平面所成的角（二面角）,利用向量求距離,點到直線的距離,點到平面的距離,直線到平面的距離,平行到平面的距離,直線到直線的距離,三、基本應用,,利用向量證平行,利用向量證垂直,直線與直線垂直,直線與平面垂直,平面與平面垂直,直線與直線平行,直線與平面平行,平面與平面平行,２、垂直問題,四、基本方法,1、平行問題,,３、角度問題,４、距離問題,（１）點到點的距離、點到平面

6、的距離、直線到直線的距離直接用公式求解。,（２）點到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離轉化為點到平面的距離求解。,例：,五、典型例題,,,,,,,,,,,,,所以：,解：以點C 為坐標原點建立空間 直角坐標系 如圖所示， 不妨設 則,,,C,所以 與 所成角的余弦值為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,N,解：如圖建立坐標系A-xyz,則,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,N,,,又,,例.在正方體AC1中，E為DD1的中點，求證：DB1//面A1C1E,,,,,,E,,,,,F,

7、E,,,X,,Y,,Z,或先求平面BDE的法向量 再證明,,,,,,,,,設平面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,X,Y,Z,例：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：面A1BD∥面CB1D1,或先求兩平面的法向量 再證明,例、在正方體AC1中，E、F分別是BB1、CD的中點， 求證：面AED⊥面A1FD1,,,,,,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,,,,,,E,F,,,,,,,,,或證明兩平面的法向量垂直,,,,,,練習,練習,練習,練習,,,,練習,,,,,,,,,,,A,B,C,,,C1,,取x=1,z則y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,F,G,,,,X,Y,Z,練習,,,練習,練習,,,練習,已知正方形ABCD的邊長為1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分別為AB、BC的中點。 求證：PE AF； 求點D到平面PEF的距離； 求直線AC到平面PEF的距離； 求直線PA與EF的距離； 求直線PA與EF所成的角； 求PA與平面PEF所成的角； 求二面角A-PE-F的大小。,練習,