全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及解析 全國(guó)卷I

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1、 2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（大綱卷） 數(shù)學(xué)（文科） 一．選擇題：每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)答案中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合，，，，則 A． B． C． D． 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了集合的概念，集合的包含關(guān)系的運(yùn)用。 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四邊形，矩形是特殊的平行四邊形，可知集合是最小的，集合是最大的，故選答案B。 2．函數(shù)的反函數(shù)為 A． B． C． D． 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了反函數(shù)的求解，利用原函數(shù)反解，再互換得到結(jié)論，同時(shí)

2、也考查了函數(shù)值域的求法。 【解析】由，而，故 互換得到，故選答案A 3．若函數(shù)是偶函數(shù)，則 A． B． C． D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了偶函數(shù)的概念與三角函數(shù)圖像性質(zhì)，。 【解析】由為偶函數(shù)可知，軸是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，而三角函數(shù)的對(duì)稱軸是在該函數(shù)取得最值時(shí)取得，故，而，故時(shí)，，故選答案C。 4．已知為第二象限角，，則 A． B． C． D． 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用以及正弦二倍角公式的運(yùn)用。 【解析】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，而，故，所以，故選答案A。 5．橢圓的中

3、心在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為，則該橢圓的方程為 A． B． C． D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。通過(guò)準(zhǔn)線方程確定焦點(diǎn)位置，然后借助于焦距和準(zhǔn)線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程。 【解析】因?yàn)?，由一條準(zhǔn)線方程為可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上縣，所以。故選答案C 6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 A． B． C． D． 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列中由遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。 【解析】由可知，當(dāng)時(shí)得 當(dāng)時(shí)，有 ① ② ①－②可得即，故該數(shù)列是從第二項(xiàng)起以為首項(xiàng)，以為公比的

4、等比數(shù)列，故數(shù)列通項(xiàng)公式為， 故當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，故選答案B 7．6名選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有 A．240種 B．360種 C．480種　　　D．720種 答案C 【命題意圖】本試題考查了排列問(wèn)題的運(yùn)用。利用特殊元素優(yōu)先安排的原則分步完成得到結(jié)論。 【解析】甲先安排在除開(kāi)始與結(jié)尾的位置還有個(gè)選擇，剩余的元素與位置進(jìn)行全排列有，故不同的演講次序共有種。 8．已知正四棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為 A．2　　　　B．　　　　C．　　　　　D．1 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用，以

5、及點(diǎn)到面的距離的求解。體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸的思想的運(yùn)用，以及線面平行的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可。 【解析】因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為2，高為，且連接，得到交點(diǎn)為，連接，，則點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作，則即為所求，在三角形中，利用等面積法，可得，故選答案D。 9．中，邊的高為，若，，，，，則 A．　　　　　B．　　 C．　　　　　D． 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了向量的加減法幾何意義的運(yùn)用，結(jié)合運(yùn)用特殊直角三角形求解點(diǎn)D的位置的運(yùn)用。 【解析】由可得，故，用等面積法求得，所以，故，故選答案D 10．已知為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則 A．　　　B．　　　C．　　　

6、　　D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用，以及余弦定理的運(yùn)用。首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由題意可知，，設(shè)，則，故，，利用余弦定理可得。 11．已知，，，則 A．　　　　　　B．　　　C．　　　　　　D． 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了對(duì)數(shù)、指數(shù)的比較大小的運(yùn)用，采用中間值大小比較方法。 【解析】，，，故選答案D。 12．正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形

7、的邊碰撞的次數(shù)為 A．8　　　B．6　　　C．4　　　　D．3 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用。通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可。 【解析】解：結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞8次即可。 二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上． 13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為　　　　． 答案 【命題意圖】本試題主要考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)公式的運(yùn)用。利用二項(xiàng)式系數(shù)相等，確定了的值，然后進(jìn)一步借助

8、通項(xiàng)公式，得到項(xiàng)的系數(shù)。 【解析】根據(jù)已知條件可得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，故所求的系數(shù)為。 14．若函數(shù)，則的最小值為　　　　　． 答案： 【命題意圖】本試題考查了線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解的運(yùn)用。常規(guī)題型，只要正確作圖，表示出區(qū)域，然后借助于直線平移法得到最值。 【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)最小為。] 15．當(dāng)函數(shù)取最大值時(shí)，　　　?。? 答案： 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，求解值域的問(wèn)題。首先化為單一三角函數(shù)，然后利用定義域求解角的范圍，從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn)。 【解析】由

9、 由可知 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，時(shí)即取得最大值。 16．已知正方形中，分別為，的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的余弦值為　　　?。? 答案 【命題意圖】本試題考查了正方體中的異面直線所成角的求解問(wèn)題。 【解析】首先根據(jù)已知條件，連接，則由可知或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則可以求解得到，再由余弦定理可得。 三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本小題滿分10分） 中，內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，其對(duì)邊滿足，求． 【命題意圖】： 本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用。該試題從整體看保持了往年的解題風(fēng)格，依然是通過(guò)邊角的轉(zhuǎn)

10、換，結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí)，以及正弦定理求解三角形中的角的問(wèn)題。試題整體上比較穩(wěn)定，思路比較容易想，先利用等差數(shù)列得到角，然后利用正弦定理與三角求解運(yùn)算得到答案。 【解析】由A．B．C成等差數(shù)列可得，而，故且 而由與正弦定理可得 所以可得 ，由，故 或，于是可得到或。 18．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的通項(xiàng)公式． 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和相結(jié)合的綜合運(yùn)用。 解：（1）由與可得 ， 故所求的值分別為。 （2）當(dāng)時(shí)，① ② ①－②可得即 故有 而，所以的通項(xiàng)公式為 【點(diǎn)評(píng)

11、】試題出題比較直接，沒(méi)有什么隱含的條件，只要充分發(fā)揮利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系式變形就可以得到結(jié)論。 19．（本小題滿分12分） D A B P C E 如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）設(shè)二面角為90°，求與平面所成角的大小． 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度，并加以證明和求解。 解：設(shè),以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)。 （Ⅰ）證明：由得， 所以，，，所以， 。所以,，所以平面； （Ⅱ） 設(shè)平

12、面的法向量為，又，由得，設(shè)平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。 所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角為. 【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來(lái)看，整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問(wèn)題，那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn)，這樣的解決對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是比較有點(diǎn)難度的，因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問(wèn)題為好。 20．（本小題滿分12分） 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲．乙的比

13、賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球． （Ⅰ）求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲．乙的比分為1比2的概率； （Ⅱ）求開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率． 【命題意圖】本試題主要是考查了關(guān)于獨(dú)立事件的概率的求解。首先要理解發(fā)球的具體情況，然后對(duì)于事件的情況分析，討論，并結(jié)合獨(dú)立事件的概率求解結(jié)論。 解：記為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1,2,3，則。 （Ⅰ）事件“開(kāi)始第次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為比”為，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式得 。 即開(kāi)始第次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為比 （Ⅱ）五次發(fā)球甲領(lǐng)先時(shí)的比分有：這兩種情況 開(kāi)始第5次

14、發(fā)球時(shí)比分為的概率為： 開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)比分為的概率為： 故求開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率為。 【點(diǎn)評(píng)】首先從試題的選材上來(lái)源于生活，同學(xué)們比較熟悉的背景，同時(shí)建立在該基礎(chǔ)上求解進(jìn)行分類討論的思想的運(yùn)用。情景比較親切，容易入手，但是在討論情況的時(shí)間，容易丟情況。 21．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過(guò)兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值。 【命題意圖】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)就是三次函數(shù)，通過(guò)求解導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間。另外就是運(yùn)用極值概念，求解參數(shù)值的運(yùn)用。 解：（1）依題意可得 當(dāng)即時(shí)，恒成立

15、，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)即時(shí)， 有兩個(gè)相異實(shí)根且 故由或，此時(shí)單調(diào)遞增 由，此時(shí)此時(shí)單調(diào)遞增遞減 綜上可知 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。 （2）由題設(shè)知，為方程的兩個(gè)根，故有 因此 同理 因此直線的方程為 設(shè)與軸的交點(diǎn)為，得 而 由題設(shè)知，點(diǎn)在曲線的上，故，解得或或 所以所求的值為或或。 【點(diǎn)評(píng)】試題分為兩問(wèn)，題面比較簡(jiǎn)單，給出的函數(shù)比較常規(guī)，這一點(diǎn)對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)沒(méi)有難度，但是解決的關(guān)鍵還是要看導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第二問(wèn)中，運(yùn)用極值的問(wèn)題，和直線方程的知識(shí)求解交點(diǎn)，得到參數(shù)的值。 22

16、．（本小題滿分12分） 已知拋物線C：與圓：有一個(gè)公共點(diǎn)，且在處兩曲線的切線為同一直線上． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)是異于且與及都切的兩條直線，的交點(diǎn)為，求到的距離。 【命題意圖】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離。 解：（1）設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得，故直線的斜率，當(dāng)時(shí)，不合題意，所心 圓心為，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）設(shè)為上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為即 若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡(jiǎn)可得 求解可得 拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其方程分別為 ① ② ③ ②－③得，將代入②得，故 所以到直線的距離為。 【點(diǎn)評(píng)】該試題出題的角度不同于平常，因?yàn)樯婕暗氖莾蓚€(gè)二次曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，并且要研究?jī)汕€在公共點(diǎn)出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來(lái)，是該試題的創(chuàng)新處。另外對(duì)于在第二問(wèn)中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問(wèn)題對(duì)于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。