傳遞函數(shù)2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù).ppt

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1、工 程 控 制 原 理 2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),主講：彭艷 辦 公 室：機械樓205室 電子郵件： 辦公電話：56334137,拉普拉斯變換,回顧拉普拉斯變換,拉普拉斯反變換,拉普拉斯變換簡表 (待續(xù)),拉普拉斯變換簡表 (續(xù)1),2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)2),2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換,(1) 分母B(s)無重根,系數(shù) ak 稱為極點 s= -pk 處的留數(shù)。,2.2.5 拉普拉斯反變換,如 p1 和 p2 是共軛復(fù)數(shù)時，則留數(shù) 1 和 2 也必然是共軛復(fù)數(shù),(2) 分母B(s)有重根 若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表

2、達式為,2.2.5 拉普拉斯反變換,2.2.5 拉普拉斯反變換,依此類推，當(dāng) p1 為 k 重根時，其系數(shù)為：,比例環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),微分環(huán)節(jié),典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),2.3 傳遞函數(shù) 微分方程的求解十分繁瑣，而且從其本身很難分析研究系統(tǒng)的動態(tài)性能，尤其是對復(fù)雜的系統(tǒng)及高階微分方程。,2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),拉氏變換 方便直觀地描述零初始條件下的單輸入單輸出系統(tǒng)， 是對元件及系統(tǒng)進行分析、研究與綜合的有力工具。,根據(jù)傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的形狀可以直接判斷系統(tǒng)的動態(tài)性能，找出改善系統(tǒng)品質(zhì)的方法。,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)，是極其重要的基本概念。,傳遞函數(shù),得到代數(shù)方程(復(fù)數(shù)域)，使

3、解算簡化而方便。,2.3.1 傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,2.3 傳遞函數(shù),可見傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)方式。,輸入信號經(jīng)系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))傳遞乘以G(s)，得到輸出信號。,稱G(s)為傳遞函數(shù),2.3.2 傳遞函數(shù)的求法 設(shè)線性定常系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）由下述n階線性常微分方程描述,2.3 傳遞函數(shù),式中，nm。,當(dāng)初始條件全為零，即：xi(t)和xo(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0 的值均為零時，對上式進行拉氏變換,2.3.2 傳遞函數(shù)的求法,由此可知，只要知道系統(tǒng)微分方程，就可求出其傳遞函數(shù)。,得到系統(tǒng)（

4、或環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)的一般形式,2.3.3 傳遞函數(shù)的特點,2.3 傳遞函數(shù),(1) 分母是系統(tǒng)的特征多項式，代表系統(tǒng)的固有特性，分子代表輸入與輸出的關(guān)系。傳遞函數(shù)表達了系統(tǒng)本身的動態(tài)性能，與輸入量的大小及性質(zhì)無關(guān)。,(2) 傳遞函數(shù)不說明被描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。只要動態(tài)性能相似，不同的系統(tǒng)可以用同一類型的傳遞函數(shù)描述。,(3) 傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，這要看系統(tǒng)輸入、輸出量的量綱，以及兩者的比值。,(4) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，mn，且所具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。,2.3 傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)分母中的最高階次，等于輸出量最高階導(dǎo)數(shù)的階次。如果 s 的最高階次等于n，則稱這種

5、系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。,例題 已知系統(tǒng)微分方程，求其傳遞函數(shù)。,解：在零初始條件下，對上式兩邊取拉普拉斯變換，得,整理得到描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù),2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)一般由若干元件以一定形式連接而成，從控制理論來看，物理本質(zhì)和工作原理不同的元件可以有完全相同的數(shù)學(xué)模型。,2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),在控制工程中，一般將具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)，經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。,復(fù)雜控制系統(tǒng)常常由一些簡單的典型環(huán)節(jié)組成，求出這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，就可以獲得整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、

6、振蕩環(huán)節(jié)和延時環(huán)節(jié)等。,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.1 比例環(huán)節(jié),比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,如果一個環(huán)節(jié)的輸出與輸入成正比例，既不失真也不延時，則稱此環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)，也稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)模型為,2.4.1 比例環(huán)節(jié),例題 求圖示一齒輪傳動副的傳遞函數(shù)。ni、no 分別為輸入軸及輸出軸轉(zhuǎn)速，z1 和 z2 為齒輪齒數(shù) (假定系統(tǒng)為：齒輪副無傳動間隙，且傳動系統(tǒng)剛性無窮大的理想狀態(tài))。,解：因為,經(jīng)拉氏變換后,比例環(huán)節(jié)：略去彈性的杠桿、作為測量元件的測速發(fā)電機(輸入為轉(zhuǎn)速、輸出為電壓)、電子放大器，等等,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.2 慣性環(huán)節(jié),形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：,

7、凡運動方程為一階微分方程：,慣性環(huán)節(jié)元件中，總含有儲能元件。對于突變形式的輸入而言，輸出總落后于輸入。,表征環(huán)節(jié)的慣性，與環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),2.4.2 慣性環(huán)節(jié),例題1 求圖示質(zhì)量-彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。,解：若質(zhì)量m相對很小，可略去其影響(忽略慣性力)。此時的系統(tǒng)動力學(xué)方程為,經(jīng)拉氏變換后,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,慣性環(huán)節(jié)的 時間常數(shù),2.4.2 慣性環(huán)節(jié),例題2 求圖示簡單阻容電路的傳遞函數(shù)。,經(jīng)拉氏變換后,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,電路的 時間常數(shù),解：電路方程為,2.4.2 慣性環(huán)節(jié),例題3 圖示為簡化了的直流發(fā)電機電路。轉(zhuǎn)子恒速轉(zhuǎn)動，輸入為激磁電壓ui，輸出為電壓uo，求此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：激

8、磁電路電壓方程為,經(jīng)拉氏變換后，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,慣性環(huán)節(jié)的 時間常數(shù),輸出電路中轉(zhuǎn)子恒速，故,慣性環(huán)節(jié) 的增益,K1,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.3 微分環(huán)節(jié),因此，理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,理想微分環(huán)節(jié)的輸出量正比于輸入量的微分，即,當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時，理論上輸出量將是一個幅值為無窮大而時間寬度為零的脈沖，實際上不可能。 因此，在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。,2.4.3 微分環(huán)節(jié),例題1 仍考慮直流發(fā)電機電路。當(dāng)激磁電壓ui恒定時，取輸入為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角，輸出為電樞電壓uo，求此時的傳遞函數(shù)。,解：由于ui恒定，磁通量為定值，所以電樞電壓與轉(zhuǎn)速成正比，即,系

9、統(tǒng)傳遞函數(shù)為,經(jīng)拉氏變換后得,2.4.3 微分環(huán)節(jié),例題2 圖示液壓阻尼器原理。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：液壓缸力平衡方程為,過阻尼的流量方程,以上兩式中消去p1、p2，得,,2.4.3 微分環(huán)節(jié),經(jīng)過拉氏變換后得到,得到傳遞函數(shù),由上面?zhèn)鬟f函數(shù)形式看出，液壓阻尼器是包含有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，稱之為具有慣性的微分環(huán)節(jié)。 若|Ts|<<1時，G(s)Ts，系統(tǒng)近似成為理想微分環(huán)節(jié)。,2.4.3 微分環(huán)節(jié),例題3 圖示電路系統(tǒng)為具有慣性的微分環(huán)節(jié)。求此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：電路方程為,2.4.3 微分環(huán)節(jié),消去IC(s)后，得,得到傳遞函數(shù),時間常數(shù),2.4.3 微分環(huán)節(jié),當(dāng)R1時，,得到傳

10、遞函數(shù),時間常數(shù),經(jīng)拉氏變換后，得,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.4 積分環(huán)節(jié),因此，積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,積分環(huán)節(jié)：輸出量正比于輸入量對時間的積分，即,當(dāng)輸入量xi為定值時，輸出量將正比于時間。,2.4.4 積分環(huán)節(jié),例題1 圖示齒輪齒條傳動機構(gòu)，取齒輪轉(zhuǎn)速n為輸入量，齒條的位移量x為輸出量，求此機構(gòu)的傳遞函數(shù)。,解：由齒輪齒條的轉(zhuǎn)速關(guān)系,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,經(jīng)拉氏變換后得,2.4.4 積分環(huán)節(jié),例題2 圖示電路系統(tǒng)，求此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,解：取輸入量為回路電流i，輸出量為電容器兩端電壓u，則,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,經(jīng)拉氏變換后得,,2.4.4 積分環(huán)節(jié),例題3 圖示液壓缸，其輸入為流量q，輸出

11、為活塞位移x，求此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,解：活塞有效面積為A，則,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,經(jīng)拉氏變換后得,,即,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.5 振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)。 傳遞函數(shù)為,若<1、輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出將是衰減振蕩過程。,2.4.5 振蕩環(huán)節(jié),例題1 圖示質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，求其傳遞函數(shù)。,解：考慮質(zhì)量m的影響，寫出動力學(xué)方程,傳遞函數(shù),或,經(jīng)拉氏變換,2.4.5 振蕩環(huán)節(jié),例題2 由電感、電阻及電容組成的串、并聯(lián)電路。ui為輸入電壓時，uo為輸出電壓，求此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,拉氏變換,解：電路

12、方程,聯(lián)立后得,2.4.5 振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)為,振蕩環(huán)節(jié)的主要特征是含有兩種形式的儲能元件，而且能夠?qū)Υ娴哪芰肯嗷マD(zhuǎn)換，如動能與位能、電能與磁能間的轉(zhuǎn)換等等。在能量轉(zhuǎn)換過程中使輸出量產(chǎn)生振蕩。,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.4.6 延時環(huán)節(jié),也稱純滯后環(huán)節(jié)。延時環(huán)節(jié)是輸出量和輸入量相同而僅延遲一時間。若輸入為x(t)，輸出則與輸入的信號形狀完全相同，而僅時間延遲 ，即輸出為x(t- ) 。,延時環(huán)節(jié)輸出量xo(t)與輸入量為xi(t)的關(guān)系為,拉氏變換后得,傳遞函數(shù),2.4.6 延時環(huán)節(jié),工業(yè)上經(jīng)常會遇到純時間延遲或傳輸滯后現(xiàn)象。如各種傳動系統(tǒng)（液壓傳動、氣壓傳動、機械傳動）和計算機控制系統(tǒng)，有時需要經(jīng)過一定的延遲時間，才能允許輸出對輸入作出響應(yīng)。,軋輥處帶鋼厚度與檢測厚度之間的傳遞函數(shù)是一個延時環(huán)節(jié),2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),延時環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別,慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。,延時環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內(nèi)沒有輸出，但在 t= 之后，輸出完全等于輸入。,2.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),作業(yè)：P3637 2-2、2-3、2-4、2-5、2-8,