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1、第三節(jié)三角函數(shù)的圖象和性質,1.周期函數(shù)的定義,2.三角函數(shù)的圖象和性質,教材研讀,考點一 三角函數(shù)的定義域與值域,考點二 三角函數(shù)的單調性,考點突破,考點三 三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對稱性,1.周期函數(shù)的定義 對于函數(shù)y=f(x),若存在一個不為零的常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,則稱y=f(x)為周期函數(shù).,教材研讀,2.三角函數(shù)的圖象和性質,1.(2019江蘇南通海安高級中學高三模擬)函數(shù)f(x)=sin的最小正 周期為.,答案,,2.(2018常州教育學會學業(yè)水平檢測)函數(shù)f(x)=log2(sin2x+1)的值域為 .,答案0,1,解析因為0s
2、in2x1,所以1sin2x+12,則函數(shù)的值域為0,1.,,,3.(教材習題改編)函數(shù)y=sin的單調減區(qū)間為 .,答案(kZ),,解析由2k+x+2k+,kZ得2k+x2k+,kZ,故減 區(qū)間為(kZ).,,4.(教材習題改編)函數(shù)y=tan的定義域為.,答案,,解析由3x+k+,kZ解得x+,kZ,故函數(shù)的定義域為 .,,5.(2018江蘇蘇州高三上學期期中)函數(shù)y=sin(2x+)的圖象的 一條對稱軸是直線x=,則的值是.,答案,,解析由題意可得+=+k,kZ,=+k,kZ,又0<<,則=.,,6.(2019江蘇南通模擬)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)y=sin 2x的圖象與y=cos x的
3、圖象的交點個數(shù)是.,答案7,解析在同一平面直角坐標系中作出y=sin 2x與y=cos x在區(qū)間0,3上的圖象(如圖).由圖象可知,共有7個交點.,,,考點一 三角函數(shù)的定義域與值域 角度一求三角函數(shù)的定義域 典例1(1)函數(shù)y=lg sin x+的定義域為 . (2)函數(shù)y=的定義域為.,考點突破,解析(1)要使函數(shù)有意義,則有 即 解得 2k
4、是構造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象來求解.,典例2(1)函數(shù)f(x)=3sin在區(qū)間上的值域為. (2)當x時,函數(shù)y=3-sin x-2cos2x的最小值是,最大值是 .,角度二求三角函數(shù)的值域與最值,答案(1)(2);2,,解析(1)當x時,2x-, sin,則3sin, 故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是. (2)x, sin x. 又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x),=2+, 當sin x=時,ymin=; 當sin x=-或sin x=1時,ymax=2.,+cos x均可以通過換元轉化為二次函數(shù),y=則可以通過換元轉 化
5、為一次分式函數(shù),注意換元后“新元”的取值范圍不能忽略;(3)導數(shù)法:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值等性質.,規(guī)律總結 求與三角函數(shù)相關的函數(shù)的值域與最值的常見題型和解法:(1)直接法:利用三角公式化為標準型y=Asin(x+)(A0,0),結合正弦函數(shù)的圖象求解;(2)換元法:利用換元法轉化為基本函數(shù)型,如y=cos2x-sin x+1,y=sin2 x,典例3已知函數(shù)f(x)=2asin xcos x+asin2x-acos2x+b(a,bR),當x 時,函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為1-,求a和b的值.,角度三已知三角函數(shù)的最值,求參數(shù)的值,解析因為f(x)=asin 2x-ac
6、os 2x+b=2asin+b,當x時, 2x-,2sin-2,. 則當a0時,函數(shù)f(x)的最大值為a+b,最小值為-2a+b, 所以 解得a=1,b=3-; 當a<0時,函數(shù)f(x)的最大值為-2a+b,最小值為a+b,,所以 解得a=-1,b=1. 綜上,a=1,b=3-或a=-1,b=1. 方法技巧 已知三角函數(shù)的最值或值域,求參數(shù)的值或取值范圍時,一般先按照求三角函數(shù)的值域或最值的方法求出最值,再由題中所給的最值建立方程(組)求解,含有參數(shù)的還要注意可能需要對參數(shù)進行分類討論.,,1-1函數(shù)y=的定義域為.,答案,,解析要使函數(shù)有意義,則sin x-cos x0. 則sin x-co
7、s x=sin0,則2kx-+2k(kZ),解得2k+ x2k+(kZ), 所以函數(shù)的定義域為.,,1-2函數(shù)y=sin x-cos x+sin xcos x的值域為.,答案,,解析設t=sin x-cos x,則-t,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,則 sin xcos x=, y=-+t+=-(t-1)2+1. 當t=1時,ymax=1; 當t=-時,ymin=--. 函數(shù)的值域為.,1-3若函數(shù)y=sin x(0)在區(qū)間上的最小值是-1,則的最小值 是.,答案,,解析x,0,則x,函數(shù)的最小值是-1,則-- ,,則的最小值是.,,典例4已知函數(shù)f(x)=sin2x-
8、cos2x-2sin xcos x(xR). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.,考點二 三角函數(shù)的單調性,解析(1)由sin=,cos=-,得 f=--2=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x,得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin, 所以f(x)的最小正周期是. 欲求函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間,只需求y=sin的單調減區(qū)間即可,,令+2k2x++2k,kZ, 解得+kx+k,kZ, 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(kZ).,方法技巧 1.求三角函數(shù)單調區(qū)間的兩種方法 (1)在比較復雜的三角函數(shù)解析式
9、中,將含自變量的代數(shù)式(如x+)整體當作一個角u(或t),利用基本三角函數(shù)(y=sin x、y=cos x、y=tan x)的單調性列不等式求解. (2)畫出三角函數(shù)的圖象,利用圖象求函數(shù)的單調區(qū)間. 提醒:注意求函數(shù)y=Asin(x+)的單調區(qū)間時的符號,如果<0,那么一定要先借助誘導公式將化為正數(shù),同時切莫忘記考慮函數(shù)自身的定義域.,2.利用單調性確定的范圍的方法 已知函數(shù)的單調區(qū)間的某一部分,確定參數(shù)的范圍時,要明確已知的單調區(qū)間應為函數(shù)的單調區(qū)間的子集,其次要確定已知函數(shù)的單調區(qū)間,從而利用它們之間的關系求解.,同類練函數(shù)f(x)=sin的單調減區(qū)間為.,答案(kZ),,解析因為f(x
10、)=sin=-sin,所以欲求函數(shù)f(x)的單調減區(qū) 間,只需求y=sin的單調增區(qū)間即可. 由2k-2x-2k+,kZ, 得k-xk+,kZ, 故所給函數(shù)的單調減區(qū)間為(kZ).,變式練已知函數(shù)f(x)=2sin,設a=f,b=f,c=f,則a,b,c的 大小關系是.(用“<”連接),答案c
11、析由已知得f(x)=sin,令2k-x+2k+(kZ),由 0,得x(kZ).當k=0時,得f(x)的單調增區(qū)間為 ,所以(-,),所以解得0<. 又y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,所以2+=k+(kZ),則2=k+(k Z),又0<,所以=.,考點三 三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對稱性 角度一三角函數(shù)的周期性,典例5(2019江蘇宿遷高三模擬)若函數(shù)f(x)=sin(0)的最小 正周期為,則f的值為.,答案-,,解析由題意可得=,故=10, 則f(x)=sin, 則f=sin=sin=sin=-sin=-.,方法技巧 三角函數(shù)最小正周期的兩種求法 (1)先將所給函數(shù)化為y=Asin(x+)
12、,y=Acos(x+),或y=Atan(x+)的形式,然后正弦函數(shù)與余弦函數(shù)用公式T=求,正切函數(shù)用T=求. (2)畫出函數(shù)的圖象,利用圖象的特征求解.,角度二三角函數(shù)的奇偶性,典例6(1)設函數(shù)f(x)=cos(0<<)是奇函數(shù),則=. (2)若f(x)=sin(x+)-cos(x+)是定義在R上的偶函數(shù),則= .,答案(1)(2)-,,解析(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù), -=+k(kZ), =+k(kZ), 又0<<,=. (2)函數(shù)f(x)=sin(x+)-cos(x+)=2sinx+-是R上的偶函數(shù),- =k+(kZ),,=k+(kZ), 又-,=-. 規(guī)律總結 函數(shù)f(x)=Asin(
13、x+)(A0,0),若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則=+k(kZ); 若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則=k(kZ).函數(shù)g(x)=Acos(x+)(A0,0),若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),則=k(kZ);若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),則=+k(kZ).,,典例7(1)(2018蘇州模擬)若函數(shù)f(x)=cos(N*)的一個對稱 中心是,則的最小值為. (2)(2018江蘇啟東中學高三月考)已知函數(shù)f(x)=sin-cos x(0), 若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=2對稱,且在區(qū)間上是單調增函數(shù), 則的取值集合為. (3)已知函數(shù)f(x)=sin 2 017x+cos 2 017x的最大值為A,若存在實數(shù)x1,x2
14、,角度三三角函數(shù)圖象的對稱性,使得對任意實數(shù)x總有f(x1)f(x)f(x2)成立,則A|x1-x2|的最小值為.,答案(1)2(2)(3),,解析(1)由題意可得f=cos=0,則+=+k,kZ,則=2 +6k,kZ,又N*,則k=0時,取得最小值2. (2)f(x)=sin-cos x=sin xcos+cos xsin-cos x=sin x- cos x=sin, f(x)的圖象關于直線x=2對稱, 2-=+k,kZ,=(kZ),,f(x)在區(qū)間上是單調增函數(shù), mZ,解得mZ, 0,0<, 由得當k=0時,=,滿足式, 當k=1時,=,滿足式,,當k=2時,=,滿足式, 故的取值集
15、合為. (3)f(x)=2sin的最大值A=2, 由題意可知 f(x1)=f(x)min, f(x2)=f(x)max, 則直線x=x1,x=x2是函數(shù)f(x)的圖象的兩條對稱軸, 則|x1-x2|min=T=, 所以(A|x1-x2|)min=.,探究將(1)中的條件“對稱中心是”變?yōu)椤皩ΨQ軸為x=”,則 的最小值為.,答案5,,解析由題意可知f=cos=1,則+=k,kZ,=6k-1,k Z,又N*,所以k=1時,取得最小值5.,,方法技巧 三角函數(shù)圖象的對稱性 (1)函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A,,是常數(shù),A0,0)的圖象的對稱軸是使f(x)取得最大、最小值時的x的值,而其圖象的對
16、稱中心則是使函數(shù)值為0的點.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱中心一定在圖象上,而正切函數(shù)的圖象的對稱中心不一定在圖象上.,(2)圖象上在對稱軸兩邊與對稱軸等距離的點的函數(shù)值相等;在對稱中心兩邊與對稱中心等距離的點的函數(shù)值互為相反數(shù),以上是數(shù)形結合解題的關鍵. (3)相鄰兩條對稱軸之間的距離等于T,相鄰兩個對稱中心之間的距離 等于T,相鄰對稱軸與對稱中心之間的距離等于T(其中T為最小正周 期).,3-1(2018江蘇徐州銅山中學高三上學期期中)函數(shù)f(x)=2sin的 最小正周期為.,答案6,,解析最小正周期T==6.,,3-2(2018鹽城高三第三次模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)-cos(x+) (0,0<<)為偶函數(shù),且其圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為,則 f的值為.,答案,,解析函數(shù)f(x)=sin(x+)-cos(x+)=2sin為偶函數(shù),則- =+k,kZ,=+k,kZ,又0<<,則=, f(x)=2sin=2cos x,因為其圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為,所以T==,=2,f(x)= 2cos 2x,則f=2cos=.,
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