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1、第3講數(shù)列的綜合問題,專題二數(shù)列,板塊三專題突破核心考點,,考情考向分析,1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍. 3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系,,熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an,2.求數(shù)列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式. (2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.,(3
2、)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an. (4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,解答,例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項和Sn滿足：bn1Sn2(nN*). (1)求數(shù)列an，bn的通項公式；,解a22，a3a58， 2d23d8，d1，ann(nN*). bn1Sn2(nN*)， bnSn12(nN*，n2). 由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)， bn12bn(nN*，n2). b12，b22b1， bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， bn2n(nN*).
3、,解答,兩式相減，得,給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.,,解答,跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：a1anS1Sn. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解由已知a1anS1Sn，可得,由an是正項數(shù)列，故a12. 當(dāng)n2時，由已知可得2an2Sn，2an12Sn1，,數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 故an2n. 數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*).,解答,顯然bn是等差數(shù)列，,,熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的
4、綜合問題,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.,解答,例2設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2. (1)求fn(2)；,解由題設(shè)fn(x)12xnxn1， 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1， 則2fn(2)2222(n1)2n1n2n， 由得，fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,證明,證明因為fn(0)1<0，
5、,又fn(x)12xnxn10，,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點 (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視. (2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件. (3)不等關(guān)系證明中進行適當(dāng)?shù)姆趴s.,,跟蹤演練2(2018泉州質(zhì)檢)記數(shù)列an的前n 項和為Sn，已知1，an，Sn 成等差數(shù)列. (1)求an的通項公式；,解答,解由已知1，an，Sn成等差數(shù)列， 得2anSn1， 當(dāng)n1 時，2a1S11，所以a11； 當(dāng)n2時，2an1Sn11，,則數(shù)列an是以a11為首項，q2為公比的等比數(shù)列， 所以ana1qn112n12n1(
6、nN*).,證明,所以b1b2bn,,用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結(jié)果.,熱點三數(shù)列的實際應(yīng)用,解答,例3科學(xué)研究證實，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸，通過
7、技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放總量比上一年的碳排放總量減少10%.同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸(m0). (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；,解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，， 由已知，a14000.9m， a20.9(4000.9m)m 4000.920.9mm3241.9m.,解答,(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.,解a30.9(4000.920.9mm)m 4000.930.92m0.9mm， ， an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm,(40010
8、m)0.9n10m. 由已知nN*，an550， (1)當(dāng)40010m0，即m40時，顯然滿足題意； (2)當(dāng)40010m0，即m<40時，,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得(40010m)0.910m550，解得m190. 綜合得m40時， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550， 解得m55，綜合得40
9、按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr). (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .,,跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目.規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項目.2016 年該項目的凈收入為 5 百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年，f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)
10、為正值時，認(rèn)為該項目贏利.,解答,(1)試求f(n)的表達式；,解由題意知，第1年至此后第n(nN*)年的累計投入為82(n1)2n6(千萬元)， 第1年至此后第n(nN*)年的累計凈收入為,解答,(2)根據(jù)預(yù)測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.,當(dāng)n3時，f(n1)f(n)0， 故當(dāng)n4時，f(n)遞增.,該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利. 答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,x4.,從而當(dāng)x1,4)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.,該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利. 答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,真題押題精練,1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和.若S
11、n2an1，則S6______.,真題體驗,解析,63,答案,解析Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11. 數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，,S612663.,2.(2017山東)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22. (1)求數(shù)列xn的通項公式；,解答,解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.,所以3q25q20， 由已知得q0， 所以q2，x11. 因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1(nN*).,(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1，1)，P2(
12、x2，2)，，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.,解答,解過P1，P2，，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， ,得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1,押題預(yù)測,已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù). (1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；,押
13、題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.,解答,押題依據(jù),解若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3. 又取n2，得a1a2S2ka3， 于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.,押題依據(jù)是高考的熱點問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.,解答,押題依據(jù),從而Snan1. 當(dāng)n2時，由Sn1an，得anSnSn1an1an，,從而其前n項和Sn2n2(nN*). 由得bnn2，,記C2121220n2n2， 則2C2120221n2n1，,即n2n900，因為nN*且n1，故n9， 從而最小正整數(shù)n的值是10.,
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