靜態(tài)場及其邊值問題的解[潘錦].ppt

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1、1,分析求解電磁問題的基本出發(fā)點和強制條件,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,2,分類分析求解電磁問題,,,靜態(tài)電磁場,,,電磁波,按時間變化情況,,,,,,第3章,第4、5、6、7、8章,3,第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,4,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電磁場問題,特點：電場和磁場獨立,5,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,6,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流

2、場,,靜止 任意,勻速運動 有限,7,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)（恒定）磁場問題,8,本章內(nèi)容安排 3.1 靜電場分析 3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,9,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流場,,,靜止 任意,勻速運動 有限,10,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,11,3.1 靜電場分析,學習內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3

3、 導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力,12,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 有何突變邊界？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,13,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構(gòu)關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,3. 按媒質(zhì)分類的兩類問題（特殊性問題）,理想介質(zhì)：,存在導體：,14,導體內(nèi)部的電場為零,或,理想介質(zhì)情況,導體情況,界面兩側(cè)場矢量的方向關系,介質(zhì)表面的自然邊界條件,靜電平衡,導體表面的邊界條件,,,導體,介質(zhì),,,,15,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方

4、法及其適用范圍？ 利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,16,由,稱為靜電場的標量電位函數(shù)或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,,3.1.2 電位函數(shù),優(yōu)越性：求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標量函數(shù)的問題,17,求,2. 電場強度與電位函數(shù)的關系,,已知,已知,求,如何求出電位函數(shù)？,18,在均勻介質(zhì)區(qū)域中，有,3. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,,,,電荷區(qū),19,4. 利用電位求無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題,點電荷源情況：,,,,,,,20,4. 利用電位求無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題(續(xù)),任意電荷源情況：(元電荷產(chǎn)生電位的迭加）,體分布電荷源,,,面分布電荷

5、源,,線分布電荷源,21,5. 利用電位求存在不同媒質(zhì)空間中的問題,導體表面邊界面,兩理想介質(zhì)分界面 （無強加自由電荷）,,常數(shù)，,,靜電位的邊界條件(任意靜電場情況),,,實際問題中典型的靜電場情況,22,6. 由電位函數(shù)引出的經(jīng)典物理量電壓（電位差）,電場力做的功,,問題：選擇不同的積分路徑會改變電壓的計算結(jié)果嗎？,23,靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即無確定值,選參考點,,令參考點電位為零,電位確定值 (與零電位點的電壓),,選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。 同一個問題只能有一個參考點。,7. 電位參考點,解決辦法：,24,例 3.1.1 求電偶極子

6、的電位和電場強度.,解 在球坐標系中,用二項式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。,化簡,25,將 和 代入上式，解得E線方程為,,電力線的微分方程：,等位線方程：,求電場強度,26,解 選定均勻電場空間中的一點O為坐標 原點，而任意點P 的位置矢量為r ，則,若選擇點O為電位參考點，即 ，則,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,,用拉普拉斯方程如何求解,27,解 建立一個最好的坐標系，如圖，則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,選一個最利的電位參考點確定C，例如 則C=0,28,任選有限遠處的某點為電位參考點，例

7、如，= a 點，則有,,求無限長直均勻線電荷產(chǎn)生的電位,最有利的零電位點選擇？,29,例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。,解,方程的解為,分析,用直接積分方法求解？,30,最后得,確定待定常數(shù),利用邊界條件,方法,,31,兩區(qū)的介質(zhì)不同？ 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解？ 其它坐標系下的同類問題？,延伸應用思考：,32,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用： 靜電感應 靜電屏蔽 關聯(lián)的一般性物理問題？,33,電容器在實際問題中的作用：

8、,,3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容,典型的有利作用： 儲能、濾波、移相、隔直、旁路、選頻等,典型的不利作用： 電容耦合系統(tǒng)和部件產(chǎn)生的電磁兼容問題,34,1. 電容,孤立導體的電容,兩導體所組成電容器的電容,*多導體系統(tǒng)中導體兩兩間形成部分電容,35,導體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、尺寸、形狀和其周圍的電介質(zhì) 與導體的帶電量和電位無關,決定電容量大小的因素,36,假定導體/兩導體帶電荷q /q 求導體/兩導體間的電位/電壓,方法一：,求解電容量的方法 （利用與導體的帶電量和電位無關）,方法二：,按定義求得電容,假定導體/兩導體的電位/電壓 求導體表面所帶電量q,37,解：設內(nèi)導體的電荷為q ，則由高斯定

9、理可求得內(nèi)外導體間的電場,同心導體間的電壓,,球形電容器的電容,當 時，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a 、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,38,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線的軸線距離為D ，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。,解 設兩導線上的帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似地認為電荷在各導線表面均勻分布。因此導線間x處的電場強度為,兩導線間的電位差,故單位長度的電容為,39,例3.1.6 同軸線內(nèi)導體半徑為a ，外導體半徑為b ，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電

10、容。,內(nèi)外導體間的電位差,解 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為 和 ，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為,故得同軸線單位長度的電容為,40,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用! 關聯(lián)的一般性物理問題: 靜電場的能量 電容的儲能,41,,靜電場能量的分布空間,靜電場具有能量的實驗證據(jù),3.1.4 靜電場的能量,42,,1. 靜電場的能量,通過電位計算,體分布電荷情況,面分布電荷,電容器的儲能, 第i 個導體所帶的電荷, 第i 個導體的電位,式中：,43,2. 電場能量密度,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,通過電場分布計算,44,由于體積V

11、外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面S 無限擴大時，則有,故,推證：,,,,,45,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計算,根據(jù)高斯定理求得電場強度,故,46,方法二：利用 計算,先求出電位分布,故,47,靜態(tài)電場問題,按電荷靜止或運動情況分類,,,,靜電場,恒定電流場,,,靜止 任意,勻速運動 有限,48,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,49,3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析,3.2.1 恒定電場的基本方程和

12、邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導,50,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 有何特殊現(xiàn)象？ 邊界有何物理量的突變？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,51,什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？ 導電媒質(zhì)中存在電場的時候！,52,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)電場問題,53,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構(gòu)關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,或,3. 按媒質(zhì)分類的兩類問題（特殊性問題）,導電媒質(zhì)：,存在介質(zhì)：,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,均勻?qū)щ娒劫|(zhì)

13、中存在凈電荷？,54,導電媒質(zhì)情況,存在介質(zhì)情況,界面兩側(cè)場矢量的方向關系,分界上兩側(cè)的邊界條件,界面上兩側(cè)場量的特殊性,,,導體,介質(zhì),,,,,面電荷？,導體是等位體？,有限,,55,56,面對的問題！ 分析方法： 哪些方法最適合？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,57,什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？ 導電媒質(zhì)中存在電場的時候！ 分析解決問題的關鍵是求電場強度 基于已知電荷的方法 基于電流（歐姆定律） 基于電位的方法,58,（1）利用歐姆定律（導電媒質(zhì)的本構(gòu)關系）表示了電場強度,基于電流求解分析恒定電場問題的方法,（2）用已知量（通常是激勵電壓）表示出未知量,59,電位函數(shù)滿足Lap

14、lace方程,基于電位求解分析恒定電場問題的方法,電位的邊界條件,,60,例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z 方向。,,,,,,61,例3.2.2 如圖示設內(nèi)導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（1）同軸線中各區(qū)域中的電流密度和電場強度分布；（2）各分界面上的自由電荷面密度。,,,,外導體,內(nèi)導體,介質(zhì)2,,,,,,,介質(zhì)1,,,,,,,,62,（1）設同軸電纜中的徑向電流為I ,則由 可得電流密度,介質(zhì)中的電場,解 電流由內(nèi)導體流向外導體，在分界面上只有法向分量

15、，所以電流密度成軸對稱分布。,單位長度的徑向電流,63,故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強度分別為,由于,于是得到,64,（2）由 可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為,介質(zhì)2外表面的電荷面密度為,兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為,65,面對的問題！ 分析方法！ 典型應用： 導體的電阻和電導 關聯(lián)的一般性物理問題？,66,3.2.3 電阻和電導,67,(1) 假定兩電極間的電流為I ； 由 ，求出兩導 體間的電位差； (3) 由定義求電導：,計算電導的方法一：,計算電導的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 由 ，求出兩導體 間電流； (3) 由定義求電導：

16、,,,計算電導的方法三：,靜電比擬法：,68,恒定電場與靜電場的比擬,,,基本方程,靜電場（ 區(qū)域）,,,,,,,,,,,本構(gòu)關系,位函數(shù),邊界條件,恒定電場（電源外）,69,例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為l ，其間媒質(zhì)的電導率為、介電常數(shù)為。,解：直接用恒定電場的計算方法,電導,絕緣電阻,,,設由內(nèi)導體流向外導體的電流為I 。,70,方程通解為,例3.2.4 在一塊厚度為h 的導電板上， 由兩個半徑為r1 和 r2 的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質(zhì)的電導率為。,解： 設在沿 方向的

17、兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條件,可以得到,71,電流密度,兩電極之間的電流,故沿 方向的兩電極之間的電阻為,所以,72,面對的問題！ 分析方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題： 功耗,73,導體媒質(zhì)的功耗,功耗密度和功耗,為什么電阻R消耗的功率是,74,分類分析求解電磁問題,,,靜態(tài)電磁場,,,電磁波,按時間變化情況,,,,,,第3章,第4、5、6、7、8章,75,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,,,,,靜電場,恒定電場,76,一、

18、靜止電荷產(chǎn)生的場（靜電場）,導體（ ）內(nèi)部的電場為零 導體表面的切向電場為零 等勢體 導體內(nèi)部的電荷為零 電荷只能位于導體表面，密集于表面類銳部分 應用：靜電感應，靜電屏蔽，避雷針， ,靜態(tài)電場的典型現(xiàn)象和結(jié)論,,77,二、運動電荷產(chǎn)生的直流電場（恒定電場）,導體（ ）內(nèi)部可存在電場 導體表面的切向電場一般非零 非等勢體 導體內(nèi)部可有運動電荷，但凈電荷量為零 凈電荷只能位于導體表面 理想導體（ ）內(nèi)部電場為零，電流為零 理想導體邊界上的電場垂直于表面 等勢體,典型靜電場現(xiàn)象,,,78,進一步理解靜電場和恒定電場,思考題：,,,,,,,,,,,導體,U,求：1） ；2）儲能或功耗？

19、,,,,,,,,導體,,,w,,,,,t,,,0,,,t,,,,,,,U,,,,,,79,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,80,面對的問題？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,81,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力,3.3 恒定磁場分析,82,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 突變邊界上有何現(xiàn)象？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,83,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本

20、構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,靜態(tài)（恒定）磁場問題,84,2. 邊界條件（一般性問題）,微分形式：,本構(gòu)關系：,1. 基本方程（一般性問題）,積分形式：,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件,或,85,面對的問題: 存在什么源？ 在何媒質(zhì)環(huán)境中？ 突變邊界上有何現(xiàn)象？ 分析方法？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,86,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方法及其適用范圍？ 利用靜磁場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,87,稱為矢量磁位或簡稱磁矢位。,1. 矢量磁位的定義,3.3.2 恒定磁場的矢量磁位,優(yōu)越性：可以任意選擇規(guī)定磁矢位的

21、散度,,在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。,如何求出電位函數(shù)？,88,2. 磁矢位的微分方程（一般性問題）,在無源區(qū)：,,,,89,,3. 無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題 （特殊性問題）,類比方法求解,,,,,90,3. 無限大均勻媒質(zhì)空間中的問題(續(xù)),對于電流的不同分布形式：,體電流分布,面電流分布,線上的電流,91,4. 存在不同媒質(zhì)空間中的問題（一般性問題）,磁矢位的邊界條件,,,,,,,92,面對的問題！ 分析求解方法： 已有方法及其適用范圍？ 利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？ 典型應用？ 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,93,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用： 電感

22、（自感、互感） 關聯(lián)的一般性物理問題？,靜態(tài)磁場,94,1. 磁通與磁鏈,3.3.3 電感,,,,,,,,,C,,回路,磁通,磁鏈,,,,,,,C,I,電流回路,特征：回路可以是任意幾何回路,與所有電流回路鉸鏈的總磁通,,特征： 回路是電流回路 計入電流存在的所有回路 每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通,,,,,,I,95,n: 為磁場鉸鏈的電流與回路電流I 之比 （不一定為整數(shù)）,,單匝線圈,多匝線圈,粗導線回路,磁鏈計算,o :外磁鏈； i :內(nèi)磁鏈,96,稱為導體回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。, 外自感,2. 自感, 內(nèi)自感；,粗導體回路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何

23、形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關，與電流和磁鏈的大小無關。,自感的特點：,特征：磁鏈是I自已產(chǎn)生的,97,回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。,3. 互感,同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為,,,,,,C1,C2,I1,I2,特征： 在C2中看由I1產(chǎn)生的磁鏈,特征： 在C1中看由I2產(chǎn)生的磁鏈,紐曼公式,,,C1 中總磁鏈:1總 =1+12,C2 中總磁鏈:2總 =2 +21,思考： 1總 =？； 2總 =？,98,4. 紐曼公式的證明,紐曼公式,所以：,同理：,而：,故：,99,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題： 磁場能量 電感的儲能,靜態(tài)磁場

24、,100,,磁場能量的分布空間,磁場具有能量的實驗證據(jù),3.3.4 恒定磁場的能量,哪里有磁場，哪里就有磁場能量！,101,1. 通過磁場分布計算磁場能量,磁場能量密度：,磁場能量：,對于線性各向同性媒質(zhì)，則有,102,,體分布電流時,面分布電流時,回路線電流時,2. 通過磁矢位計算磁場能量,103,3. 通過電感計算磁場能量,電感儲能（單個載流回路）：,電感儲能（ N個載流回路）：,例如對2個載流回路,104,面對的問題！ 分析求解方法！ 典型應用！ 關聯(lián)的一般性物理問題！,靜態(tài)磁場！,105,解：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點 的距離 。則,例

25、3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設電流沿+z 方向流動。,與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位,106,解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理,處面元的磁通為,例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。,得,則其磁鏈為,107,因此內(nèi)導體中總的內(nèi)磁鏈為,故單位長度的內(nèi)自感為,再求內(nèi)、外導體間的外自感。,,則,故單位長度的外自感為,單位長度的總自感為,108,例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。（D a ）,外磁鏈為，,解 應用安培環(huán)路定理和疊加原理 可得，,于是單位長度的外自感為，,109,兩根導線單位長度的內(nèi)自感為,

26、故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為,110,例3.3.8 試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。,解：由安培環(huán)路定理，得,111,三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為,112,單位長度內(nèi)總的磁場能量為,單位長度的總自感,內(nèi)導體的內(nèi)自感,,,內(nèi)外導體間的外自感,,,113,分類分析求解靜態(tài)電磁場問題,靜態(tài)電場,按場的類型,,,,,,靜態(tài)磁場,114,出發(fā)點,,Maxwell方程組,,條 件,本構(gòu)關系,,邊界條件,,,,,,直接針對場量計算的靜態(tài)電磁場分析方法,115,電位函數(shù)滿足Poisson方程,基于電位求解分析靜態(tài)電場問題的方法,電位的邊界條件,通過位函數(shù)間接計算靜態(tài)電磁場的分析方法,

27、116,磁矢位的邊界條件,磁矢位函數(shù)滿足Poisson方程,基于磁矢位求解分析靜態(tài)磁場問題的方法,117,具有強對稱性的問題,無限大的均勻媒質(zhì)空間中的問題,已經(jīng)學習掌握的分析能力,待求場量或位函數(shù)具有單一坐標變量依賴的特征?。?！,（一維問題）,（包括高維問題）,118,對于高維問題(多自變量) 如何著手分析？ 求解邊值問題！ 邊值問題的描述 邊值問題的解法,119,3.4 靜態(tài)場的邊值問題,討論內(nèi)容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的 泊松方程或拉普拉斯方程,120,求解邊值問題： 邊值問題的描述 邊值問題的解法,1

28、21,3.4.1 邊值問題的類型,給定,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,給定,給定,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,V：求解域 S：V的包圍面,122,自然邊界條件 （無界空間）,要求：掌握用解邊值問題的思想求解 任意復雜問題的數(shù)學描述方法,123,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,124,求解邊值問題： 邊值問題的描述 邊值問題的解法 鏡象法 分離變量法 有限差分法 ..,125,在求解域V內(nèi)保持待求量的方程不變，同時，在V的包圍邊界面S上保持給定的 或 的邊值不變，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 內(nèi)的解惟一。,3.4.2 惟一性定

29、理,惟一性定理的重要意義,給出了邊值問題具有惟一解的條件,為求解場問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,V：求解域 S：V的包圍面,126,3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導體平面的鏡像 3.5.3 導體球面的鏡像 3.5.4 導體圓柱面的鏡像 3.5.5 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像,3.5 鏡像法,127,,1. 問題的提出,幾個實例 接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。,,q,q,非均勻感應面電荷,等效電荷,,3.5.1 鏡像法的基本原理,,128,接地導體球附近有一個點電

30、荷，如圖。,接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,,,q,非均勻感應電荷,,q,等效電荷,,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,,129,2. 鏡像法的原理,方法： 在求解域外設置等效電荷，集中代表邊界上分布電荷的作用,3. 鏡像法的理論基礎,目的： 使復雜邊值問題，化為無限大單一媒質(zhì)空間的問題,解的惟一性定理,130,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小確定“三要素”,4. 鏡像法應用的關鍵點,5. 確定鏡像電荷的兩條原則,明確等效求解的“有效場域”,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于求解域以外,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小的選擇目標 是保持問題的邊

31、界條件不變,131,,1. 點電荷對無限大接地導體平面的鏡像,,滿足原邊值問題，所得的結(jié)果正確！,3.5.2 接地導體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時，,,有效區(qū)域,,,,132,求接地平板導體上的感應電荷面密度和總電荷量,,q,,,導體平面上的感應電荷密度為,導體平面上的總感應電荷為,133,2. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像,鏡像線電荷：,電位函數(shù)：,邊值 問題,當z = 0 時，,,滿足原邊值問題， 所得的結(jié)果正確！,134,3. 點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像,q對于平面1: 有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),q對于平面2: 有鏡像電荷q2=q，位于

32、( d1, d2 ),求得電位函數(shù)為：,q1對于平面2及q2對于平面1: 有鏡像電荷q3=q，位于( -d1, d2 ),135,例3.5.1 一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？,解：,,,136,3.5.3 導體球面的鏡像,1. 點電荷對接地導體球面的鏡像,方法: ?,問題：,邊界條件！,137,,像電荷的電量,,,常數(shù),138,可見，導體球面上的總感應電荷也與所設置的鏡像電荷相等。,求球面上的感應電荷密度和總電荷,導體球面上的總感應電荷為,球面上的感應電荷面密度為,139,點電荷對接地空心導體球殼的鏡像,| q||q| 與外半徑 b 無關（為什么？）

33、,140,感應面密度為：,導體球內(nèi)表面的總感應電荷為,求球殼內(nèi)表面上的感應電荷密度和總電荷,等效電荷量總是等于感應電荷量？,等效電荷量總是等于感應電荷量？ NO！,141,2 . 點電荷對不接地導體球的鏡像,導體球不接地時的特點：,導體等勢但不為零,球面上感應電荷總量為零,負電荷分布同接地球球分布？ 正電荷均勻分布？,感應電荷的面分布為：,142,用鏡像法要求分析求解的問題,1. 平面（接地）導體 2. 球面（接地）導體（包括球內(nèi)、球外） 3. 球面（不接地）導體（包括球內(nèi)、球外） 思考題： 求不接地無限大導體上點電荷的電位函數(shù)？,143,分析方法總結(jié),已經(jīng)學到的方法和可以解決的問題 無限大單

34、一媒質(zhì)空間的問題（一維、二維、三維問題） 場-源直接積分法 積分方程方法（Maxwell方程的積分形式） 微分方程方法（Maxwell方程的微分形式、Poisson方程） 2. 單一/非單一媒質(zhì)空間的問題（一維問題） Gauss定律、安培環(huán)路定律（積分方程簡化為代數(shù)方程） Poisson方程（偏微分方程簡化為常微分方程） 3. 非單一媒質(zhì)空間的高維問題 鏡像法,144,3.6 分離變量法,3.6.1 分離變量法解題的基本原理 3.6.2 直角坐標系中的分離變量法 3.6.3 圓柱坐標系中的分離變量法 3.6.4 球坐標系中的分離變量法,145,將未知函數(shù)對其多自變量（高維問題）的依賴關系

35、，化為對各自變量單獨依賴的關系（變量可分離），從而實現(xiàn)將高維問題轉(zhuǎn)化為一維問題求解,分離變量法是求解邊值問題的一種一般性方法,分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理,分離變量法解題的基本思路：,3.6.1 分離變量法解題的基本原理,146,在直角坐標系中，若位函數(shù)與z 無關，則拉普拉斯方程為,3.6.2 直角坐標系中的分離變量法,將 (x, y) 表示為兩個一維函數(shù) X( x )和Y( y )的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以 X( x ) Y( y ) ，有,147,若取k2 ，則有,,當,,,當,,148,將所有可能的 (x, y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即,若取k2 ，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,149,例3.6.1 無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,,因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函數(shù)的通解應取為,150,,確定待定系數(shù),,,,,,,,151,,,,,將U0 在（0, a）上按 展開為傅里葉級數(shù)，即,其中,152,,由,故得到,