江蘇省2012年中考數(shù)學(xué)深度復(fù)習(xí)講義 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（教案 中考真題 模擬試題 單元測試）

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1、 （備戰(zhàn)中考）江蘇省2012年中考數(shù)學(xué)深度復(fù)習(xí)講義（教案+中考真題+模擬試題+單元測試） 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 ◆考點聚焦 1．理解并掌握利用圓心到直線的距離和半徑之間的關(guān)系來判斷直線和圓的位置關(guān)系． 2．能靈活運用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理以及切線長定理解決有關(guān)問題，這也是本節(jié)的重點和中考熱點，而綜合運用這些定理則是本節(jié)的難點． 3．能由兩圓位置關(guān)系寫出圓心距與兩圓半徑之和或差的關(guān)系式以及利用兩圓的圓心距與兩圓半徑之和及差的大小關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系． ◆備考兵法 1．確定點與圓的位置關(guān)系就是確定該點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，涉及

2、點與圓的位置關(guān)系的問題，如果題目中沒有明確點與圓的位置關(guān)系，應(yīng)考慮點在圓內(nèi)、上、外三種可能，即圖形位置不確定時，應(yīng)分類討論，利用數(shù)形結(jié)合進行解決． 2．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種：一是根據(jù)定義看直線和圓的公共點的個數(shù)；二是根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系． 3．證明一條直線是圓的切線的方法有兩種：（1）當(dāng)直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結(jié)起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“作半徑，證垂直”；（2）當(dāng)直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂線，證半徑．” ◆識記鞏固 1．設(shè)圓的半

3、徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓內(nèi)______；點在圓上_______；點在圓外_______． 2．直線與圓的位置關(guān)系：如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線L的距離為d，那么： （1）直線和圓有_____個公共點時，叫做直線與圓相交，這時直線叫做圓的_____，公共點叫做_____，此時d_____r； （2）直線和圓有_____個公共點時，叫做直線與圓相切，這時直線叫做圓的______，公共點叫做______，此時d_______r． （3）直線和圓有____個公共點時，叫做直線與圓相離，此時d______r． 3．圓和圓的位

4、置關(guān)系：如果兩圓半徑分別為R和r（R>r），圓心距為d，那么： （1）兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在______，這時我們稱兩圓______，d_____R+r．   （2）兩個圓有_____公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在_________，這時我們稱兩圓______，d____R+r． （3）兩個圓有兩個公共點，我們稱這兩個圓_________，此時____________． （4）兩個圓有_____公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上所有的點都在______，這時我們稱兩圓_______，d______R

5、－r． （5）兩個圓沒有公共點，并且一個圓上所有的點都在_______，這時我們稱兩圓_______，d_____R－r． 說明：兩圓______和______統(tǒng)稱為兩圓相切，唯一的公共點稱為______，兩個圓同心是兩圓________的特例． 4．圓的切線的判定方法： （1）定義法：與圓只有____個公共點的直線是圓的切線． （2）數(shù)量關(guān)系法：到圓心的距離_________的直線是圓的切線； （3）判定定理：過半徑_______且與這條半徑_______的直線是圓的切線． 5．切線的性質(zhì)定理及推論： 定理

6、：圓的切線_______于經(jīng)過切點的________． 推論1：經(jīng)過______且垂直于________的直線必經(jīng)過切點． 推論2：經(jīng)過______且垂直于________的直線必經(jīng)過圓心． 6．經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這一點和_______之間的線段長，叫做這點到圓的______；從圓外一點可以引圓的______條切線，它們的_______相等，這點和圓心的連線_________． 7．與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的_______，_______的圓心叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形三條_______的交點． 識記鞏固參考答案: 1．0≤d

7、 d=r d>r 2．（1）兩 割線 交點 < （2）－ 切線 切點 = （3）0 > 3．（1）另一個圓的外部 外離 > （2）唯一 另一個圓的外部 外切 = （3）相交 R－r

8、例解析 例1 （2011湖北黃石，24，9分）已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，點O1在⊙O2上，C為O2上一點（不與A，B，O1重合），直線CB與⊙O1交于另一點D。 （1）如圖（8），若AC是⊙O2的直徑，求證：AC＝CD （2）如圖（9），若C是⊙O1外一點，求證：O1C⊥AD （3）如圖（10），若C是⊙O1內(nèi)的一點，判斷（2）中的結(jié)論是否成立。 【答案】（1）連接C O1，AB ∵AC是⊙O2的直徑 ∴AB⊥BD,AD⊥C O1 ∴AD經(jīng)過點O1 ∵AO1＝DO1 ∴AC＝CD （2）連接O

9、1 O2，AO1 ∵O1 O2⊥AB ∴∠AO1O2+∠AG O1 ∵∠O1AB=∠C 又∵∠D=∠AO1B=∠AO1O2 ∴∠C+∠D=900 ∴O1C⊥AD （3）成立 例2 如圖，⊙O與y軸交于A，B兩點，交x軸于點C，過點C的直線y=－2x－8與y軸交于點P． （1）求證：PC是⊙O的切線； （2）在直線PC上是否存在點E，使得S△BOP=4S△CDO？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）當(dāng)直線PC繞點P轉(zhuǎn)動時，與交于點F（F不與A，C重合），連結(jié)OF，設(shè)PF=m，OF=n，求m，

10、n之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量n的取值范圍． 解析 （1）直線y=－2x－8與x，y軸分別交于點C（－2，0），P（0，－8）． ∴cot∠OCD=2，cot∠OPC=2． ∴∠OCD=∠OPC． ∵∠OPC+∠PCO=90°， ∴∠OCD+∠PCO=90°， ∴PC是⊙O切線． （2）設(shè)直線PC上存在一點E（x，y），使S△BOP=4S△CDO， 則×8×│x│=4××1×2． 解得x=±． 由y=－2x－8可知， 當(dāng)x=時，y=－12；當(dāng)x=－時，y=－4． ∴在

11、直線PC上存在這樣的點（－，－12）和（－，－4）． （3）如圖，作直線PF交AC于點F． 設(shè)F（x，y），作FM⊥y軸，M為垂足，連結(jié)DF，由PF=m，OF=n得， m2－（8+y）2=x2，n2－y2=x2， ∴m2－64－16y－y2=n2－y2， 即m2－64－16y=n2． ① 又∵CD==3，DF2－DM2=FM2， ∴32－（1－y）2=x2，∴32－（1－y）2=n2－y2， 解得y=． ② 將②代入①，解得m=3n或m=－3n（舍去）． ∴m=3n（2

12、 本題為學(xué)科內(nèi)綜合題，它綜合考查了圓，函數(shù)，平面直角坐標(biāo)系，解直角三角形以及解方程（組）的相關(guān)知識，綜合性極強． 例3 （2008，江蘇無錫）如圖，已知點A從（1，0）出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動．以O(shè)，A為頂點作菱形OABC，使點B，C在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，以點P（0，3）為圓心，PC為半徑作圓，設(shè)點A運動了t秒，求： （1）點C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）； （2）當(dāng)點A在運動過程中，所有使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值． 解析 （1）過點C作CD⊥x軸于點D． ∵OA=1+t， ∴OC=

13、1+t， ∴OD=OC·cos60°=． DC=OC·sin60°=， ∴點C的坐標(biāo)為（，）． （2）①當(dāng)⊙P與OC相切時（如圖1），切點為C，此時PC⊥OC， ∴OC=OP．cos30°． ∴1+t=3×， ∴t=－1． 圖1 圖2 圖3 ②當(dāng)⊙P與OA，即與x軸相切時（如圖2），則切點為O，PC=PO，過點P作PE⊥OC于點E，則OE=OC． ∴=OPcos30°=， ∴t=3－1．

14、 ③當(dāng)⊙P與AB所在直線相切時（如圖3），設(shè)切點為F，PF交OC于點G，則PF⊥OC， ∴FG=CD=． ∴PC=PF=OP·sin30°+=+． 過點C作CH⊥y軸于點H，則PH+CH=PC， ∴（）2+[－3]2=[+]2． ∴（t+1）2－18（t+1）+27=0． ∴t+1=9±6． ∵t=9－6－1<0， ∴t=9+6－1． ∴所求t的值是－1，3－1和9+6－1． 點評 運動過程中出現(xiàn)多種情況，在分類討論時一定要注意不重不漏． 2011年中考真題 一、選擇題 1

15、. （2011寧波市，11，3分）如圖，⊙O1的半徑為1，正方形ABCD的邊長為6，點O2為正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB與P點，O1O2＝8．若將⊙O1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O1與正方形ABCD的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn) A． 3次 B．5次 C． 6次 D． 7次 【答案】B 2. （2011浙江臺州，10,4分）如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（ ） A. B. C.

16、 3 D.2 【答案】B 3. （2011浙江溫州，10，4分）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上．現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE＝2，則正方形ABCD的邊長是( ) A．3 B．4 C． D． 【答案】C 4. （2011浙江麗水，10，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ） A．點(0，3) B．點(2，3) C．點(5，1

17、) D．點(6，1) 【答案】C 5. （2011浙江金華，10，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ） A．點（0，3） B．點（2，3） C．點（5，1） D．點(6，1) 【答案】C 6. （2011山東日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（ ） 【答案】C 7. （2011湖北鄂州，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PC

18、A=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° C D A O P B ?第13題圖 【答案】D[] 8. (2011 浙江湖州，9，3)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，BC＝OB，CE是⊙O的切線，切點為D，過點A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是 A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 9. （2011臺灣全區(qū)，33）如圖(十五)，為圓O的直徑，在圓O上取異于A、B的一點C，并連接、 ．若想在上取一點P，使得P與直線BC的距離等于長，判斷下列四個作法何者正確？ A．作的

19、中垂線，交于P點 B．作∠ACB的角平分線，交于P點 C．作∠ABC的角平分線，交于D點，過D作直線BC的并行線，交于P點 D．過A作圓O的切線，交直線BC于D點，作∠ADC的角平分線，交于P點 【答案】Ｄ 10．（2011甘肅蘭州，3，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A=25°，則∠D等于 A．20° B．30° C．40° D．50° A B D O C 【答案】C 11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面積為，若點0到直線的距離為，則直線與⊙O的位置關(guān)系是C (A)相交 (B)相切 (

20、C)相離 (D)無法確定 【答案】C 12. (2011重慶綦江，7，4分) 如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所對弧的長度為（ ） A．6л B．5л C．3л D．2л 【答案】：D 13. （2011湖北黃岡，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° C D A O P B ?第13題圖

21、 【答案】D 14. （2011山東東營，12，3分）如圖，直線與x軸、y分別相交與A、B兩點，圓心P的坐標(biāo)為（1，0），圓P與y軸相切與點O。若將圓P沿x軸向左移動，當(dāng)圓P與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點P′的個數(shù)是（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5 【答案】B 15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(-3，4)為圓心，4為半徑的圓（ ） A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相交 C．與x軸相切，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離 【答案】C 16. （2011山東棗莊，7，3分）

22、如圖，是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為（ ） O P A A.1 B. C.2 D.4 【答案】C 二、填空題 1. （2011廣東東莞，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結(jié)BC.若∠A＝40°，則∠C＝ ° 【答案】 2. （2011四川南充市，13，3分）如圖，PA，PB是⊙O是切線，A，B為切點， AC是⊙O的直徑，若∠BAC=25°，則∠P= __________度. 【答案】50 3. （2011浙江衢州，16,4分）木工師傅可以用角

23、尺測量并計算出圓的半徑.用角尺的較短邊緊靠，并使較長邊與相切于點.假設(shè)角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點，較短邊.若讀得長為，則用含的代數(shù)式表示為 . （第16題） 【答案】當(dāng)時，；當(dāng). 4. (2011浙江紹興，16，5分) 如圖，相距2cm的兩個點在在線上，它們分別以2 cm/s和1 cm/s的速度在上同時向右平移，當(dāng)點分別平移到點的位置時，半徑為1 cm的與半徑為的相切，則點平移到點的所用時間為 s. 第16題圖 【答案】 5. （2011江蘇蘇州，16,3分）如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長AB至C點，使得AC=3BC，CD與

24、⊙O相切，切點為D.若CD=，則線段BC的長度等于__________. 【答案】1 6. （2011江蘇宿遷,17,3分）如圖，從⊙O外一點A引圓的切線AB，切點為B，連接AO并延長交圓于點C，連接BC．若∠A＝26°，則∠ACB的度數(shù)為 ▲ ． 【答案】32 7. （2011山東濟寧，13，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以點C為圓心，以3cm長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是 ． 第13題 【答案】相交 8. （2011廣東汕頭，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結(jié)

25、BC.若∠A＝40°，則∠C＝ ° 【答案】 9. （2011山東威海，17，3分）如圖①，將一個量角器與一張等腰直角三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，沒得CE＝5cm，將量角器沿DC方向平移2cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC、BC相切，如圖②，則AB的長為 cm.（精確到0.1cm） 圖① （第17題） 圖② 【答案】 24.5 10．（2011四川宜賓,11,3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC

26、是⊙O的直徑，∠P=40°，則∠BAC=_____． （第11題圖） 【答案】20° 11. （2010湖北孝感，18，3分）如圖，直徑分別為CD、CE的兩個半圓相切于點C，大半 圓M的弦AB與小半圓N相切于點F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長分別為x、y，線 段ED的長為z，則z（x+y）= . 【答案】8π 12. （2011廣東省，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結(jié)BC.若∠A＝40°，則∠C＝ ° 【答案】 三、解答題 1. （2011浙江義烏，21，8分）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD

27、互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的 延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD= . （1）求證：CD∥BF； （2）求⊙O的半徑； （3）求弦CD的長. FM A DO EC O C B 【答案】（1）∵BF是⊙O的切線 ∴AB⊥BF ∵AB⊥CD ∴CD∥BF （2）連結(jié)BD ∵AB是直徑 ∴∠ADB=90° ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD= ∴cos∠BAD=

28、 又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O的半徑為2 F A D E O C B （3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE= ∴ED= ∴CD=2ED= 2. （2011浙江省舟山，22，10分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC． （1）求證：CA是圓的切線； （2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑． （第22題）

29、 【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線． (2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,; 在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=, ∴BC=．即圓的直徑為10. 3. （2011安徽蕪湖，23，12分）如圖，已知直線交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作，垂足為D. (1) 求證：CD為⊙O的切線； (2) 若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度.

30、 【答案】 （1）證明：連接OC， ……………………………………1分 因為點C在⊙O上，OA=OC，所以 因為，所以，有.因為AC平分∠PAE，所以……………3分 所以 ……4分 又因為點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，所以CD為⊙O的切線. ………………5分 （2）解:過O作，垂足為F，所以， 所以四邊形OCDF為矩形，所以 ……………………………7分 因為DC+DA=6，設(shè),則 因為⊙O的直徑為10，所以，所以. 在中，由勾股定理知 即化簡得， 解得或x=9. ………………9分 由

31、，知，故. ………10分 從而AD=2， …………………11分 因為，由垂徑定理知F為AB的中點，所以…………12分 4. （2011山東濱州，22，8分）如圖，直線PM切⊙O于點M,直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM, 連接OM、BC. 求證：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC. （第22題圖） 【答案】證明：（1）∵直線PM切⊙O于點M，∴∠PMO=90°………………1分 ∵弦AB是直徑，∴∠ACB=90°………………2分 ∴∠ACB=∠PMO………………3分 ∵AC

32、∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分 ∴△ABC∽△POM………………5分 (2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分 又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分 ∴2OA2=OP·BC………………8分 5. （2011山東菏澤，18，10分）如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4， (1)求證：△ABE∽△ADB； (2)求AB的長； (3)延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由． 解：(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

33、∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， 又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB， (2) ∵△ABE∽△ADB，∴， ∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12 ∴AB=． (3) 直線FA與⊙O相切，理由如下： 連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°， ∴， BF=BO=， ∵AB=，∴BF=BO=AB，可證∠OAF=90°， ∴直線FA與⊙O相切． 6. （2011山東日照，21，9分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D． 求證：（1）

34、∠AOC=2∠ACD； （2）AC2＝AB·AD． 【答案】證明：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD； （2）如圖，連接BC． ∵AB是直徑，∴∠ACB=90°． 在Rt△ACD與△RtACD中， ∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD． 7. （2011浙江溫州，20，8分）如圖，AB是⊙O

35、的直徑，弦CD⊥AB于點E，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．已知OA＝3，AE＝2， (1)求CD的長； (2)求BF的長． 【答案】解：(1)連結(jié)OC，在Rt△OCE中，． ∵CD⊥AB， ∴ (2) ∵BF是⊙O 的切線， ∴FB⊥AB， ∴CE∥FB， ∴△ACE∽△AFB， ∴，， ∴ 8. （2011浙江省嘉興，22，12分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC． （1）求證：CA是圓的切線； （2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑． （第22題）

36、 【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線． (2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,; 在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=, ∴BC=．即圓的直徑為10. 9. （2011廣東株洲，22，8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點E，D 為AC上一點，∠AOD=∠C． （1）求證：OD⊥AC； （2）若AE=8，，求OD的長． 【答案】（1）證明：∵BC是⊙O的切線，A

37、B為⊙O的直徑 ∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°， 又∵∠AOD=∠C， ∴∠AOD+∠A=90°， ∴∠ADO=90°， ∴OD⊥AC. （2）解：∵OD⊥AE，O為圓心， ∴D為AE中點 ， ∴， 又 ，∴ OD=3. 10．（2011山東濟寧，20，7分）如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F(xiàn)是CD的中點，連接OF， （1）求證：OD∥BE； （2）猜想：OF與CD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由． 第20題 【答案】（1）證明：連接OE， ∵AM、DE

38、是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑， ∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE， ∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE （2）OF=CD， 理由：連接OC， ∵BC、CE是⊙O的切線， ∴∠OCB=∠OCE ∵AM∥BN， ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得∠ADO=∠EDO， ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90° 在Rt△DOC中，∵F是DC的中點， ∴OF=CD． 第20題 11

39、. （2011山東聊城，23，8分）如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接OD、AE，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P， （1）求∠AOD的度數(shù)； （2）求證：PD是半圓O的切線； 【答案】（1）∵點C是OA的中點，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°， （2）證明：連接OC，點E是BD弧的中點，DE?。紹E弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋

40、∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圓O的切線 12. （2011山東濰坊，23，11分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2.射線AM、BN為半圓的切線.在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC.過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F.過D點做半圓的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q. （1）求證：△ABC∽ΔOFB； （2）當(dāng)ΔABD與△BFO的面積相等時，求BQ的長； （3）求證：當(dāng)D在AM上

41、移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點. 【解】（1）證明：∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°，即AC⊥BC. 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB. ∵BN是半圓的切線，故∠BCA=∠OBF=90°. ∴△ACB∽△OBF. （2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， 當(dāng)△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO. ∴AD=BO=AB =1. ∵DA⊥AB，∴DA為⊙O的切線. 連接OP，∵DP是半圓O的切線， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四邊形AD

42、PO為正方形. ∴DP//AB，∴四邊形DABQ為矩形. ∴BQ=AD=1. （3）由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴，∴. ∵DPQ是半圓O的切線，∴AD=DP，QB=QP. 過點Q作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，， ∴， ∴，∴BF=2BQ，∴Q為BF的中點. 13. （2011四川廣安，29，10分）如圖8所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）求證： AQ?PQ= OQ?BQ；

43、 （3）設(shè)∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的長 _ Q _ P _ O _ B _ A 圖8 【答案】（1）證明：如圖，連結(jié)OP ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB是⊙O的切線 （2）證明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB∽QOA ∴ 即AQ?PQ= OQ?BQ （3）解：cos== ∴AO=12

44、 ∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ= ∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12 ∵AB?PO= OB?BP ∴AB= _ Q _ P _ O _ B _ A 圖8 14. （2011江蘇淮安，25，10分）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，∠DAB=∠B=30°. (1)直線BD是否與⊙O相切？為什么？(2)連接CD，若CD=5，求AB的長. 【答案】(1)答：直線BD與⊙O相切.理由如下：

45、如圖，連接OD， ∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°， 即OD⊥BD， ∴直線BD與⊙O相切. (2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD， ∴△DOB是等邊三角形， ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10. ∴AB=OA+OB=5+10=15. 15. （2011江蘇南通，22，8分）（本小題滿分8分） 如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，BD⊥AM于點D，

46、BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度數(shù). 【答案】60°. 16. （2011四川綿陽22，12）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的 半圓O與BC相切. (1)求證：OB丄OC; (2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1與半⊙O 外切，并與BC、CD 相切，求⊙O1的面積. 【答案】（1）證明：連接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中 ∵ ∴△AOB≌△AOB（HL） 同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC (2) 過點做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，

47、∴∠DCO=∠BCO=30°，設(shè)O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根據(jù)勾股定理可知O1G2+GC2=O1C2 x2+3x2=（6-x）2∴(x-2)(x+6)=0,x=2 17. （2011四川樂山24，10分）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD. (1)求證:CD是⊙O的切線; (2)過點B作O的切線交CD的延長線于點E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的長 【答案】 ⑴證明：連接OD ∵OA=OD ∴∠ADO=∠OAD ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADO+∠BDO=9

48、0° ∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD ∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD⊥CE 即CE為⊙O的切線 18. （2011四川涼山州，27，8分）如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為的中點，連接交于點，為的角平分線，且，垂足為點。 （1） 求證：是半圓的切線； （2） 若，，求的長。 B DA OA HA CA EA MA FA A 27題圖 【答案】 ⑴證明：連接， ∵是直徑 ∴ 有∵于 ∴ ∵ ∴ ∵是的角平分線 ∴

49、 又 ∵為的中點 ∴ ∵于 ∵ 即 又∵是直徑 ∴是半圓的切線 ···4分 （2）∵，。 由（1）知，，∴。 在中，于，平分， ∴，∴。 由∽，得。 ∴， ∴。 19. （2011江蘇無錫，27，10分）(本題滿分10分)如圖，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。動點P從O點出發(fā)，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊OA、AB、BO作勻速運動；動直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸負(fù)方向作勻速平移運動。若它們同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當(dāng)點P運動到O時，它們都停止運動。

50、(1)當(dāng)P在線段OA上運動時，求直線l與以點P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍； (2)當(dāng)P在線段AB上運動時，設(shè)直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發(fā)時間，使得四邊形CPBD會是菱形。 y O x A B 【答案】 解：(1)當(dāng)點P在線段OA上時，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分) ⊙P與x軸的兩交點坐標(biāo)分別為(3t ? 1，0)、(3t + 1，0)，直線l為x = 4 ? t， 若直線l與⊙P相交，則……………(3分)

51、 解得： < t < ．……………………………………………………………………(5分) (2)點P與直線l運動t秒時，AP = 3t ? 4，AC = t．若要四邊形CPBD為菱形，則CP // OB， ∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴，∴，解得t = ，……(6分) 此時AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 ? 3t = ≠ PC， 故四邊形CPBD不可能時菱形．……………………………………………(7分) (上述方法不唯一，只要推出矛盾即可) 現(xiàn)改變直線l的出發(fā)時間，設(shè)直線l比點P晚出發(fā)a秒， 若四邊形CPBD為菱形，則CP //

52、 OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴， 即：，解得 ∴只要直線l比點P晚出發(fā)秒，則當(dāng)點P運動秒時，四邊形CPBD就是菱形．………………(10分) 20．（2011湖北武漢市，22，8分）（本題滿分8分）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點．過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E． （1）求證：PB為⊙O的切線； （2）若tan∠ABE=，求sinE的值． ? 【答案】(本題8分)（1）證明：連接OA ∵PA為⊙O的切線， ????∴∠PAO=90° ????∵OA＝OB，OP⊥AB于C ????

53、∴BC＝CA，PB＝PA ????∴△PBO≌△PAO ????∴∠PBO＝∠PAO＝90° ????∴PB為⊙O的切線 （2）解法1：連接AD，∵BD是直徑，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90° ????∴AD∥OP ????∴△ADE∽△POE ????∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，設(shè)OC＝t,則BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ????∴EA/EP=AD/OP=2/5，可設(shè)EA＝2m,EP=5m,則PA=3m ????∵PA=PB

54、∴PB=3m ????∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：連接AD，則∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,設(shè)OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2t 過A作AF⊥PB于F，則AF·PB=AB·PC ????∴AF=t 進而由勾股定理得PF＝t ????∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5 21. （2011湖南衡陽，24，8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長線交與點D． (1)判斷

55、CD與⊙O的位置關(guān)系并說明理由； (2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長． 【解】 (1) CD與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由如下： 作直徑CE，連結(jié)AE． ∵CE是直徑， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°， ∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E， ∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥D C，∴CD與⊙O相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B， 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°， ∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，

56、 ∴∠DOA=60°， ∴在Rt△DCO中， =， ∴DC=OC=OA=2． 22. （2011湖南永州，23，10分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是⊙O上一點（不與A，B重合），連接AC，BC，過點O作OD∥AC交BC于點D，在OD的延長線上取一點E，連接EB，使∠OEB=∠ABC． ⑴求證：BE是⊙O的切線； ⑵若OA=10，BC=16，求BE的長． （第25題圖） 【答案】證明：⑴∵AB是半圓O的直徑 ∴∠ACB=90° ∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90°

57、 ∴∠OBE=90° ∵AB是半圓O的直徑 ∴BE是⊙O的切線 ⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴ ∴ ∴ ∴． 23. （2011江蘇鹽城，25，10分）如圖，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F． （1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半徑； （2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由． 【答案】（1）連接OD. 設(shè)⊙O的半徑為r. ∵BC切⊙O于點D，∴OD⊥BC. ∵∠C=9

58、0°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ∴ = ，即 = . 解得r = ， ∴⊙O的半徑為. (2)四邊形OFDE是菱形. ∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠B. ∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB. ∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四邊形OFDE是平行四邊形. ∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形. 24. (20011江蘇鎮(zhèn)江27,9分)在平面直

59、角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)的圖象是直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點.直線過點C(a,0)且與垂直,其中a>0,點P、Q同時從A點出發(fā),其中點P沿射線AB運動,速度為每秒4個單位;點Q沿射線AO運動,速度為每秒5個單位. (1)寫出A點的坐標(biāo)和AB的長; (2)當(dāng)點P、Q運動了t秒時,以點Q為圓心,PQ為半徑的⊙Q與直線、y軸都相切,求此時a的值. 答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由題意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB. ∴∠APQ=∠AOB=90°。 ∵點P在上，∴⊙Q在運動過程中保持與相切。 ①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸

60、相切時，設(shè)與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得 ,∴PQ=6, 連接QF，則QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得. ∴,,∴QC=,a=OQ+QC=. ②當(dāng)⊙Q在y軸左側(cè)與y軸相切時，設(shè)與⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得 ,∴PQ=. 連接QE，則QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，， ∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值為和。 25. （2011廣東湛江27,12分）如圖，在中，，點D是AC的中點，且,過點作，使圓心在上，與交于點． （1）求證：直線與相切； （2）若,求的直徑． 【答案】（1）證明：連接OD，在中，OA=OD， 所

61、以， 又因為， 所以，所以，即， 所以BD與相切； （2）由于AE為直徑，所以,由題意可知,又點D是AC的中點，且 ，所以可得，即的直徑為5. 26. （2011貴州安順，26，12分）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E． ⑴求證：點D是AB的中點； ⑵判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ⑶若⊙O的直徑為18，cosB =，求DE的長． 第26題圖 【答案】（1）證明：連接CD,則CD， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴≌ ∴AD = BD ， 即點D是AB的中點． 第2

62、6題圖 （2）DE是⊙O的切線 ． 理由是：連接OD, 則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC ， 又∵DE； ∴DE 即DE是⊙O的切線； （3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =， BC = 18， ∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2， 在中，DE=． 27. （2011河北，25，10分）如圖14-1至14-4中，兩平行線AB,CD間的距離為6，點M為AB上一定點. 思考 如圖14-1，圓心為O的半圓紙片在AB,CD之間（包括AB

63、,CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)∠MOP=α. 當(dāng)α= 度時，點P到CD的距離最小，最小值為 。 探究一 在圖14-1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB,CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖14-2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO= 度，此時點N到CD的距離是 探究二 將圖14-1中的扇形紙片NOP按下面對α要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB,CD之間順時針旋轉(zhuǎn)。 （1）如圖14-3，當(dāng)α=60°時，球在旋轉(zhuǎn)過程中，點p到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值； （2）如圖14-4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)

64、過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍. （參考數(shù)據(jù)：sin49°=,cos41°=，tan37°= ） 【答案】思考 90，2； 探究一 30，2； 探究二 （1）由已知得M與P的距離為4，∴當(dāng)MP⊥AB時，點P到AB的最大距離為4，從而點P到CD的最小距離為6-4=2.當(dāng)扇形MOP在AB,CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切，此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°。 （2）如圖，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切點時，α達到最大，即OP⊥CD。此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH+∠OHM=30

65、°+90°=120°。 如圖，當(dāng)點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD,α達到最小，連接MP，作OH⊥MP于點H，由垂徑定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值為98°。∴α的取值范圍是98°≤α≤120°。 2011中考模擬分類匯編：直線與圓的位置關(guān)系 一、選擇題 1、（2011年北京四中中考模擬19）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PO交⊙O于點B，PA＝8，OA＝6，則tan∠APO的值為（ ） A、 B、 C、 D、 2、（2011年北京四中模擬26） 如果

66、等邊三角形的邊長為6，那么它的內(nèi)切圓的半徑為 （ ） A．3 B． C． D． 答案：B 3.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）一個鋼管放在V形架內(nèi)，圖3是其截面圖，O為鋼管的圓心．如果鋼管的半徑為25 Cm，∠MPN = 60°，則OP 的長為 A．50 Cm B．25Cm C．Cm D．50Cm 答案:A 4.(2011湖北省天門市一模)如圖，在中，，，，經(jīng)過點且與邊相切的動圓 與分別相交于點，則線段長度的最小值是（ ） A． B． C． D． （第4題） 答案:B A G B H C F D E 第5題 5．（2011年浙江省杭州市模2）如圖，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，經(jīng)過點B和點D的兩個動圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點G、H、E、F，則EF+GH的最小值是（ ） A．6 B．8 C．