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1、第三節(jié) 單元剛度方程和單元剛度矩陣,單元的桿端力和桿端位移之間的關系是通過單元剛度方程反映出來的，本節(jié)重點掌握單元剛度矩陣中每個剛度系數的物理意義，由此求得不同桿單元的剛度矩陣。,（1）單元剛度方程,單元的剛度方程給出了單元的桿端位移(e)與桿端力F(e)之間的關系. 其中矩陣K(e) 稱為單元剛度矩陣。 單元剛度矩陣是一個方陣. 它的階數和內容視單元而定。如桿端位移(e)和桿端力F(e)為6階向量，則K(e)為6X6方陣。,單元的剛度方程：,單元剛度矩陣物理意義利用矩陣乘法,展開可得：,如：單元剛度矩陣中第i列的元素表示第i號位移為一單位值(ui=1，其它為0) 時引起的六個桿端力。單元剛度
2、矩陣中的每一個元素稱為剛度系數， 剛度系數表示一個力。 矩陣中第r行s列的元素krs，表示第s號位移為一單位值時引起沿第r個桿端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以單元剛度矩陣是一個對稱矩陣。它的每一個元素的值都可由結構力學中位移法的剛度方程中獲得。,(2) 平面桁架單元,平面桁架單元只有軸向變形, 桿端力也只有軸力；,單元的桿端力向量可表示為: F(e)=FNi 0 FNj 0 T 單元桿端位移向量可表示為 ：(e)=ui vi uj vj T 根據單元剛度矩陣的物理意義, 由 得單元的剛度方程為:,則剛度矩陣：,（3）平面兩端剛結點梁單元,平面兩端剛節(jié)點梁單元在一般
3、情況下單元上作用著桿端力：軸力、剪力和彎矩，單元的剛度方程為：,根據單元的剛度矩陣的物理意義,由梁單元受力和變形及前面等截面直桿的剛度方程可以列出平面兩端剛節(jié)點梁單元的單元剛度矩陣為:,則：,或：,注意：桿端力與內力的符號規(guī)定不盡相同。,vi=1,i=1,vj=1,j=1,平面梁單元的單元剛度矩陣,ui=1,uj=1,分別填寫在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， j=1 作用下，桿左右端截面的軸力、剪力、彎矩及右端截面的軸力、剪力、彎矩。由此可得單元的剛度方程：,平面梁單元的單元的剛度方程為:,平面兩端剛節(jié)點梁單元的單元剛度矩陣為:,單元剛度矩陣常用子塊形式表示:,其中每
4、個都是33的方陣，子塊 K(e)ij表示桿端j 作用一單位位移時, 桿i 端引起的桿端力。,（4）一端剛結點另一端鉸結點的梁單元,鉸支端一般只有兩個位移需計算. 鉸結點的轉角位移可認為它是不獨立的而不予考慮. 這樣單元的桿端位移向量及桿端力向量都只有五階. 單元剛度矩陣為55:,如梁右端為鉸結點，則：,或：,根據單元的剛度矩陣的物理意義,由梁單元受力和變形可以列出該單元的單元剛度矩陣為:,平面一端剛結點另一端鉸結點梁單元的單元剛度矩陣,vi=1,i=1,vj=1,分別填寫在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， 作用下，桿左右端截面的軸力、剪力、彎矩及右端截面的軸力、剪力。由
5、此可得單元的剛度方程：,若單元 i 端為鉸結點， j 端為剛結點, 同樣可建立起單元剛度矩陣:,若單元 i 端為剛結點， j 端為鉸結點, 則單元剛度矩陣為:,(5) 空間桁架單元,空間桁架單元每個節(jié)點具有x、y、z方向的三個位移分量。,單元的桿端力向量可表示為: 單元桿端位移向量可表示為 ： 單元的剛度方程為： 根據單元剛度矩陣的物理意義得:,(6) 空間剛架單元,空間剛架單元每個節(jié)點具有應有6個自由度，即沿三個坐標軸方向的線位移及分別繞三個坐標軸的轉角 。桿端位移和桿端力向量均為12階。,單元的桿端力向量可表示為:,單元桿端位移向量可表示為 ：,單元的剛度方程為：,則單元剛度矩陣為1212階。可根據單元剛度矩陣中的各系數的物理意義求得空間剛架單元的剛度矩陣。,空間剛架單元剛度矩陣,,返回目錄,
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