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1、第十四章 推理與證明
第79課 推理與證明
1．(2012江西高考)觀察下列事實(shí)的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4 ，的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8， 的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12，…，則的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
【答案】B
【解析】個(gè)數(shù)為首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，
∴，，選B．
2．（2011江西高考）觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ）A．01 B．43 C．07 D．49
【答案】B
【解析】設(shè)（，
∵
2、
∴當(dāng)時(shí)，末兩位數(shù)字為07；
當(dāng)時(shí)，末兩位數(shù)字為49；
當(dāng)時(shí)，末兩位數(shù)字為43；
當(dāng)時(shí)，末兩位數(shù)字為01；
∵，故選B．
3．（2012房山一模）設(shè)函數(shù)，，，（）,則方程有___個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有___個(gè)實(shí)數(shù)根．
【答案】，
【解析】，∴或，有4個(gè)解．
∵可推出，根個(gè)數(shù)分別為，
∴通過(guò)類比得出有個(gè)實(shí)數(shù)根．
4．(2012湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．則
（1）位回文數(shù)有
3、 個(gè)；
（2）位回文數(shù)有 個(gè)．
【答案】，
【解析】（1）位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，
但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，
∴位回文數(shù)有種．
5．(2012湖北高考)傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：
…
將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè)：
（1）是數(shù)列中的第______項(xiàng)；
（2） ______．（用表示）
【答案】（1）；（2）
4、【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…，的一個(gè)通項(xiàng)公式為，
寫(xiě)出其若干項(xiàng)有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,
發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,
故．
∴可猜想：（為正整數(shù)），
，
故，
即是數(shù)列中的第項(xiàng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，猜想的能力．歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經(jīng)驗(yàn)與能力，不能憑空猜想．來(lái)年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問(wèn)題的考查．
（2）由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，位回文數(shù)和位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，
∴可以算出位回文數(shù)的個(gè)數(shù)．
位回文數(shù)只用看前位的排列情況，
第一位不能為0，有9種情況，
后面項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，
∴個(gè)數(shù)為．
6．證明 ：已知,求證：.
【證明】 要證：,
只要證.
∵,故只要證，
即，
即，
從而只要證,
只要證，
即，而該不等式顯然成立，
故原不等式成立.
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