2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

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1、導(dǎo)數(shù) 2.（2012·山東高考卷·T9·5分）函數(shù)的圖像大致為 【答案】D 【解析】函數(shù)，為奇函數(shù)， 當(dāng)，且時；當(dāng)，且時； 當(dāng)，，；當(dāng)，，. 答案應(yīng)選D。 【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)特點，結(jié)合圖象語言，考查了數(shù)形結(jié)合法的思想，函數(shù)圖象是考點中重要內(nèi)容，估計明年還會繼續(xù)考察。 5.( 2011年安徽) 函數(shù)在區(qū)間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則m，n的值 可能是 （A） (B) y 0.5 1 x O 0.5 (C) (D) 【答案】B【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究

2、 函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大. 【解析】代入驗證，當(dāng)，，則 ，由可知，，結(jié) 合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在取得最大值，由 ，知a存在.故選B. 7.（2011年福建）等于 A．1 B． C． D． 【答案】C 8.（2011年福建）對于函數(shù) (其中，)，選取的一組值計算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是 A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【答案】D

3、 9.（2011年福建）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 10.（2011年福建）若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 A．（－1，1） B．（－2，2） C

4、．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C 13.（2011年廣東）函數(shù)的定義域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 14.（2011年湖北）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足 ，若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條件，，即 ，由此解得，， 所以，，所以選B. 15.（2011年湖北）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設(shè)在

5、放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137的含量的變化率是（太貝克/年），則 A. 5太貝克 B. 太貝克 C. 太貝克 D. 150太貝克 【答案】D 【解析】因為，則，解得，所以，那么 （太貝克），所以選D. 16.（2011年湖南）曲線在點處的切線的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以 。 17.（2011年湖南）已知函數(shù)若有則的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】

6、由題可知，，若有則，即，解得。 18.（2011年湖南）由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由定積分知識可得，故選D。 19.（2011年湖南）設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當(dāng)達到最小時的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由題，不妨令，則，令解得，因時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，達到最小。即。 20.（2011年江西）若，則的定義域為( ) B. C. D. 【答案】C 【解析】 21.

7、（2011年江西）曲線在點A（0,1）處的切線斜率為（ ） A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】 22.（2011年江西）觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】B 【解析】 23.（2011年江西）設(shè)，則的解集為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】定義域為，又由，解得或，所以的解集 24.（20

8、11年江西）觀察下列各式：，，，…，則的末四位數(shù)字為 A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125 【答案】D 【解析】觀察可知當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時，末三位為125；又，即為第1004個指數(shù)為奇數(shù)的項，應(yīng)該與第二個指數(shù)為奇數(shù)的項（）末四位相同，∴的末四位數(shù)字為8125 25.（2012·江蘇高考卷·T5·4分）函數(shù)的定義域為 ． 【答案】 【解析】根據(jù)題意得到 ，同時，＞ ，解得，解得，又＞，所以函數(shù)的定義域為： . 【點評】本題主要考查函數(shù)基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象的運用.本題容易忽略＞這個條件

9、，因此，要切實對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)有清晰的認識，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.本題屬于基本題，難度適中. 26.（2012·北京高考卷·T14·5分）已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=2x-2，若同時滿足條件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0 則m的取值范圍是 [答案]（-4,-2） [解析]根據(jù)g(x)= 2x -2<0，可解的x<1.由于x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0成立，導(dǎo)致f(x)在x≥1時，必須是f(x

10、)<0的，因此f(x)的開口必須向下，m<0,且此時兩個根為x1=2m,x2=-m-3,為保證條件①成立，需要，又m<0,故結(jié)果為-4

11、還涉及到簡易邏輯中的“或”，典型的“小題大做”. 27.（2012·上海高考卷·T7·5分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 . 【答案】 【解析】根據(jù)函數(shù)看出當(dāng)時函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為： . 【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分類討論在求解數(shù)學(xué)問題中的運用.本題容易產(chǎn)生增根，要注意取舍，切勿隨意處理，導(dǎo)致不必要的錯誤.本題屬于中低檔題目，難度適中. 28.（2012·上海高考卷·T9·5分）已知是奇函數(shù)，且，若，則 . 【答案】 【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以 . 【點

12、評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性.在運用此性質(zhì)解題時要注意：函數(shù)為奇函數(shù)，所以有這個條件的運用，平時要加強這方面的訓(xùn)練，本題屬于中檔題，難度適中. 29.（2012·上海高考卷·T20·14分）（6+8=14分）已知函數(shù)． （1）若，求的取值范圍； （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，求函數(shù)（）的反函數(shù). 【答案及解析】 ， 【點評】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識．考查數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題． 30.（2012·新課標(biāo)卷·T10·5分） 已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ） 【答案】B

13、 【解析】排除法，因為，排除A.，排除C,D，選B. 【點評】結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決，基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的畫法以及圖象的三種變換。在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究。 31（2012·四川高考卷·T5·5分）函數(shù)的圖象可能是（ ） 【答案】C 【解析】采用排除法. 函數(shù)恒過（1,0），選項只有C符合，故選C. 【點評】函數(shù)大致圖像問題，解決方法多樣，其中特殊值驗證、排除法比較常用，且簡單易用. 32.（2012·四川高考卷·T16·4分）記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，

14、現(xiàn)有下列命題： ①當(dāng)時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2； ②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有； ③當(dāng)時，； ④對某個正整數(shù)，若，則。 其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號） [答案]①③④ [解析]若，根據(jù) 當(dāng)n=1時，x2=[]=3, 同理x3=, 故①對. 對于②③④可以采用特殊值列舉法： 當(dāng)a=1時，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時②③④均對. 當(dāng)a=2時，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時②③④均對 當(dāng)a=3時，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1,

15、 ……此時③④均對 綜上，真命題有 ①③④ . [點評]此題難度較大，不容易尋找其解題的切入點，特殊值列舉是很有效的解決辦法. 33.（2012·湖南高考卷·T8·5分）已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m＞0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a ,b ,當(dāng)m 變化時，的最小值為 A． B. C. D. 【答案】B 【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m＞0)，圖像如下圖， 由= m，得，= ，得. 依照題意得. ，. 【點評】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y

16、=(m＞0)，圖像，結(jié)合圖像可解得. 34. （2012·天津高考卷·T4·5分）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】B. 【解析】以數(shù)形結(jié)合思想來解答問題.原題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)的交點個數(shù)問題.由作圖可知在正區(qū)間內(nèi)最多有一個交點，故排除C、D項；當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在區(qū)間（0，1）內(nèi)一定會有一個交點，所以A項錯誤，正確答案為B. 【點評】本題考查了函數(shù)的零點分布.考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力. 【考場雷區(qū)】

17、考生要避免用導(dǎo)數(shù)思想來解答試題，這樣會進入運算的盲區(qū)中，即使能運算出來，也是量大費時，作為小題而言有些大作之味. 8.（江蘇17）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=cm （1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問應(yīng)取何值？ （2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。 P

18、 本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實際問題的能力。滿分14分. 解：設(shè)饈盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得 （1） 所以當(dāng)時，S取得最大值. （2） 由（舍）或x=20. 當(dāng)時， 所以當(dāng)x=20時，V取得極大值，也是最小值. 此時裝盒的高與底面邊長的比值為 9.（福建理18）。某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中3

19、I）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分。 解：（I）因為x=5時，y=11，所以 （II）由（I）可知，該商品每日的銷售量 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 從而， 于是，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表： （3，4） 4 （4，6） + 0 - 單調(diào)遞增 極大值42 單調(diào)遞減 由上表可得，x=4是函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點； 所以，當(dāng)x=4時，

20、函數(shù)取得最大值，且最大值等于42。 答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。 10.（山東理21）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設(shè)該容器的建造費用為千元． （Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； （Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的． 解：（I）設(shè)容器的容積為V， 由題意知 故 由于 因此 所以建造費用 因此 （II）由（I）得 由于 當(dāng) 令 所以 （1）當(dāng)時， 所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。 （2）當(dāng)即時， 當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減， 所以r=2是函數(shù)y的最小值點， 綜上所述，當(dāng)時，建造費用最小時 當(dāng)時，建造費用最小時