《（廣東專(zhuān)用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書(shū) 第70課 圓錐曲線綜合問(wèn)題 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（廣東專(zhuān)用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書(shū) 第70課 圓錐曲線綜合問(wèn)題 文（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第70課 圓錐曲線綜合問(wèn)題
1．（2012廣州調(diào)研）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線：與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓：的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．
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【解析】（1）由題設(shè)知，，，
∵，∴
∴，解得．
∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)圓：的圓心為，
則
．
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．
∵是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，
∴，即．
∵點(diǎn)，
2、
∴．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
∴的最大值為．
2．（2012東城二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)作兩直線，交橢圓于，，，四點(diǎn)，若，求證：為定值．
【解析】（1）由已知得，解得 ．
故所求橢圓方程為．
證明：（2）由（1）知，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 ：．
由 ，得 ．
由于，設(shè)，則有
，，
．
同理．
∴．
綜上，為定值．
3、
3．（2012汕頭一模）如圖，已知橢圓（）的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓：相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，
求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）∵圓：
∴圓，
∴圓的圓心為，半徑為．
∴，，，
∴直線的方程為，
即，
∵直線與圓相切，
∴，∴，
∴橢圓的方程為．
（2）由，知，
∴直線與坐標(biāo)軸不垂直，由，
可設(shè)直線的方程為，
則直線的方程為，
由，整理得：，
解得或，
∴的坐標(biāo)為，
即．
將上式中的換成，得．
∴直線的方程為，
化簡(jiǎn)得直線的方程為，
因此直線
4、過(guò)定點(diǎn)．
4．（2012廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】（1）∵，∴，∴，
設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值，
∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，
∴橢圓的方程為．
（2）在中，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，
∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，
∴，即，①
∵點(diǎn)在橢圓上
5、，∴，②
由①②解得，，此時(shí)點(diǎn)．
5．（2012韶關(guān)質(zhì)檢）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)．
（1）求該橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問(wèn)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
準(zhǔn)線方程為，
∵ 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，
∴，．∴ ①
∵橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為，
∴拋物線的準(zhǔn)線與橢圓的交點(diǎn)為，∴ ， ②
由①、②解得或（舍去
6、），從而．
∴橢圓的方程為．
（2）∵ 傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，
∴ 直線的方程為，
由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，
設(shè)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
則得 ， 解得，即．
又滿(mǎn)足，故點(diǎn)在拋物線上．
∴拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
6．（2012廣州二模）已知對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線：有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，直線：與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(1)求直線的方程；
(2)若橢圓經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)，當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)，求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】(1)由，得．
∵直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴，解得．
∴直線的方程為．
(2)∵拋物線的焦點(diǎn)為，
∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為．
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
則
解得 ∴點(diǎn)．
∴直線與直線：的交點(diǎn)為．
由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)
，
其中當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，上面不等式取等號(hào)．
∴當(dāng)時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值，其值為4．
此時(shí)橢圓的方程為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（廣東專(zhuān)用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書(shū) 第70課 圓錐曲線綜合問(wèn)題 文
