2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理 難點(diǎn) 1 利用空間向量解立幾中的探索性問題 1．如圖11-23，PD⊥面ABCD，ABCD為正方形，AB=2，E是PB的中點(diǎn)，且異面直線DP與AE所成的角的余弦為。 1，m）， ∴cos<>= 得m=1. ∴P(0,0,2),E(1,1,1) 2．如圖11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一個(gè)直角梯形，AB、CD為梯形的兩腰，且AB=AD=AA1=a。 （Ⅰ）如果截面ACD1的面種為S，求點(diǎn)D到平面ACD1的距離； （Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，平面AB1C⊥平面AB1D1。證

2、明你的結(jié)論。 難點(diǎn) 2 利用空間向量求角和距離 1． 已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。 （1）棱BC上是否存在點(diǎn)P，使A1P⊥PD，說明理由； （2）若BC上有且僅有一點(diǎn)P，使A1P⊥PD，試求此時(shí)的二面角P-A1D-A的大小。 易錯(cuò)點(diǎn) 1 求異面直線所成的角 1．如圖11-1，四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。 （1）證明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC與PB所成的角； （3）求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-

3、B的大小。 2．如圖11-2，在直四棱術(shù)ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E。 （1）求證BD⊥A1C； （2）求二面角A1-BD-C1的大小； （3）求異面直線AD與BC1所成角的大小。 0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐標(biāo)容易求錯(cuò)。 【特別提醒】 利用空間向量求異面直線所成的角，公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)用三條 兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤，還會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點(diǎn)的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤。

4、寫點(diǎn)的 坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0，0），xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a,0,b）等，其次還 應(yīng)學(xué)會(huì)把某個(gè)平面單獨(dú)分化出來，利用平面幾何的知識(shí)求解，如本節(jié)的例2，求B的坐標(biāo)。 【變式訓(xùn)練】 1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2a,高為b，求異面直線AC1和A1B所成的角。 易錯(cuò)點(diǎn) 2 求直線與平面所成的角 1．如圖在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=KPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC。 （1）當(dāng)k=時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小； （2）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平

5、面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？ 2．如圖11-7，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)。 【特別提醒】 求直線與平面所成角的公式為：sinθ=,其中a為直線上某線段所確定的一個(gè)向量，n為平面的一個(gè)法向量，這個(gè)公式很容易記錯(cuò)， 關(guān)鍵是理解，有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來看，認(rèn)為n應(yīng)過直線上某個(gè)點(diǎn)，如例4中n應(yīng)過C點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的，這里n是平面的任意一個(gè)法向量， 再說一個(gè)向量過某一個(gè)具體的點(diǎn)這種說法也是錯(cuò)誤的。 【變式訓(xùn)練】 1 如圖11-9，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°AC=2，BC=6，D為A1

6、B1的中點(diǎn)，異面直線CD與A1B垂直。 （1）求直三棱術(shù)ABC-A1B1C1的高； =(-2，2，-4)，由·=0知A1C⊥BE，·BD=0知A1C⊥BD，∴A1C⊥平面BED （2）求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。 答案：由(1)知=(-2，2，-4)為平面BED的一個(gè)法向量，=(0，2，-4),∴sinθ= （3）求二面角P-MN-Q的余弦值。 答案：由(Ⅰ)，MN⊥平面PAD，知MQ⊥MN,MP⊥MN, ∴∠PMQ即為二面角P—MN—Q的平面角． 而PM=,MQ=，MD=, （1）證明：PC⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；

7、（3）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長。 PO= ∴P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。 【特別提醒】 利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：（1）根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角；（2）根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法（如三垂線定理作出二面角的平面角）簡(jiǎn)單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來解。 【變式訓(xùn)練】 1.如圖，在三棱錐P-OAC中，OP、OA、OC兩兩互相垂直，且OP=O

8、A=1，OC=2， B為OC的中點(diǎn)。 3 如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為4，AA1=6，Q為BB1的中點(diǎn)，P∈DD1，M∈A1B1，N∈C1D1，AM=1，D1N=3。 【特別提醒】 立體幾何中的距離以點(diǎn)到面的距離最為重要利用空間和量求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是對(duì)公式d=的理解和記憶，其中a為過該點(diǎn)且與平面相交的線段確定的向量，n為平面的任意一個(gè)法向量，這個(gè)任意給解題帶來了很大的方便。當(dāng)然有些題目用空間向量來解可能沒有傳統(tǒng)方法簡(jiǎn)單。 【變式訓(xùn)練】 1 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，PC垂直于ABCD所在的平面，且P

9、C=2。 求點(diǎn)B到平面PEF的距離。 2 如圖：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長是，側(cè)棱長是3，點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A2C。 3 在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，點(diǎn)P到平面ABC的距離為a （2）求點(diǎn)B’到平面PAC的距離。 3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線OM A．是AC和MN的公垂線 B．垂直于AC，但不垂直于MN C．垂直于MN，但不垂直于AC D．與AC、MN都不垂直 4 在正三棱柱AB

10、C-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BC1，則平面DBC1積與平面CBC1所成的角為 （ ） A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段AB的延長線上 C．點(diǎn)P在線段BA的延長線上 D．點(diǎn)P不一定在直線AB上 解析：∵0

11、1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且＝，N為B1B的中點(diǎn)，則||為(　　) 10．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．則以，為邊的平行四邊形的面積為________． 則－5＋＋＝0. ∴A、B、C、D共面． 13．設(shè)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計(jì)算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a與b所成角的余弦值，并確定λ，μ應(yīng)滿足的條件，使λa＋μb與z軸垂直． 解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)

12、＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. ∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝ ＝－. ∵λa＋μb與z軸垂直， ∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ. ∴當(dāng)λ，μ滿足λ＝2μ時(shí)，可使λa＋μb與z軸垂直． 14.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)． (2) ＝－a＋c，∴ 設(shè)二面角C-AB-D為θ，則由tanθ=因此 16、四棱錐P=ABC

13、D中，AB⊥CD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。 （1）求證BM∥平面PAD；? （3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。 18、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， （1）求證：PA⊥底面ABCD； 答案：∵ ∴AP⊥PB，AP⊥AD， ∴AP⊥底面ABCD． （2）求四棱錐P-ABCD的體積； (1)證明：EM⊥BF； (2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值． 20．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點(diǎn)

14、M. (1)求證：AM⊥PD； (2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值． 解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. 21．在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)． (1)求證：AB∥平面DEG； (2)求證：BD⊥EG； (3)求二面角C－DF－E的余弦值． 令z＝1，得n＝(－1,2,1)． 設(shè)二面角C－DF－E的大小為θ， ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)， ＝(－1,0,0)． 設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 因此可取n＝(，1，)． 23．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成角為60°. (1)求證：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F－BE－D的余弦值； (3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．